Zadanie 12. (0-6)
Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest liczbą dodatnią; pierwsza
współrzędna punktu 𝐵 jest liczbą ujemną. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i styczna
do danej paraboli w punkcie 𝐶.
Oblicz odległość punktu 𝑪 od prostej 𝒌 oraz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.
Zapisz obliczenia.
12.
0-1-
2-3-
4-5-6
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMAP-R0_100
\nMATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
Zadanie 12. (0-6)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
IX.R1) posługuje się równaniem prostej
w postaci ogólnej na płaszczyźnie […];
IX.R3) znajduje punkty wspólne prostej
i okręgu oraz prostej i paraboli będącej
wykresem funkcji kwadratowej.
Zasady oceniania
6 pkt - obliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
ℎ𝐶= 9
√2 i 𝑃= 54.
5 pkt - obliczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑃= 54
ALBO
obliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz obliczenie współrzędnych
punktów 𝐴 i 𝐵: ℎ𝐶= 9
√2 oraz 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14).
4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶: 𝐴= (7, 2), 𝐵= (-5, 14)
i 𝐶= (1, -1)
ALBO
obliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz zapisanie układu równań
prowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵:
ℎ𝐶= 9
√2 oraz {
𝑥+ 𝑦-9 = 0
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 oraz wyznaczenie pochodnej funkcji
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4 : 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14) oraz 𝑦′ = 1
2 𝑥-3
2
ALBO
obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz zapisanie układu równań prowadzącego do
obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵: 𝐶= (1, -1) oraz {
𝑥+ 𝑦-9 = 0
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
ALBO
obliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘: ℎ𝐶= 9
√2 .
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵: 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14)
ALBO
obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (1, -1),
ALBO
zapisanie układu równań prowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵
oraz wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4 :
{
𝑥+ 𝑦-9 = 0
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
oraz 𝑦′ = 1
2 𝑥-3
2 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - zapisanie układu równań prowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵:
{
𝑥+ 𝑦-9 = 0
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
ALBO
wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4 : 𝑦′ = 1
2 𝑥-3
2 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zapisujemy układ równań prowadzący do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵.
{
𝑥+ 𝑦-9 = 0
𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
Z pierwszego równania wyznaczamy 𝑦= -𝑥+ 9 i podstawiamy wyrażenie -𝑥+ 9
w miejsce 𝑦 do drugiego równania, otrzymując:
-𝑥+ 9 = 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4
𝑥2 -2𝑥-35 = 0
𝑥= -5 lub 𝑥= 7
Dla 𝑥= -5 otrzymujemy 𝑦= 14, więc 𝐵= (-5, 14).
Dla 𝑥= 7 otrzymujemy 𝑦= 2, więc 𝐴= (7, 2).
Oznaczmy pierwszą współrzędną punktu 𝐶 przez 𝑥𝐶. Prosta 𝑙 jest równoległa do
prostej 𝑘, więc współczynnik kierunkowy obu prostych jest równy (-1). Prosta 𝑙 jest
styczna do paraboli w punkcie 𝐶, więc współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy
pochodnej funkcji 𝑦= 1
4 𝑥2 -3
2 𝑥+ 1
4 w punkcie 𝑥= 𝑥𝐶. Zatem
𝑦′ = 1
2 𝑥-3
2 i 𝑦′(𝑥𝐶) = -1
1
2 𝑥𝐶-3
2 = -1
𝑥𝐶= 1
czyli 𝐶= (1, -1).
Obliczamy wysokość ℎ𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵
(wysokość ta jest równa odległości punktu 𝐶 od prostej 𝑘):
ℎ𝐶=
|1 + (-1) -9|
√12 + 12
= 9
√2
Obliczamy długość boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = √(-5 -7)2 + (14 -2)2 = 12√2.
Obliczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑃= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 1
2 ⋅12√2 ⋅9
√2 = 54.
Uwaga.
Pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można również obliczyć ze wzoru
𝑃= 1
2 ⋅|(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|
Wówczas otrzymujemy
𝑃= 1
2 ⋅|(-5 -7)(-1 -2) -(14 -2)(1 -7)| = 1
2 ⋅|36 -(-72)| = 54
$P = 54$
"}]}