{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2.1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja 𝒈 przyjmuje w przedziale [𝟗, 𝟏𝟏].\nZapisz obliczenia.\n2.1.\n0-1-2\n𝑦\n0 𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.R1) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) rysuje wykres funkcji\n𝑦= |𝑓(𝑥)|.\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑔(11) oraz zapisanie zbioru wszystkich wartości, jakie\nfunkcja 𝑔 przyjmuje w przedziale [9, 11]: 𝑔(11) = 9\n4 oraz [0, 9\n4].\n1 pkt - obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑔 i obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 punktu,\nw którym funkcja ma maksimum lokalne (lub zapisanie, że 𝑝∉[9, 11]): 2 i 10 oraz\n𝑝= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑔:\n|-1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5| = 0\n-1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= 10\nNiech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5.\nW przedziale [2, 10] funkcja 𝑓 przyjmuje wartości nieujemne, więc w tym przedziale\nwykres funkcji 𝑔 pokrywa się z wykresem funkcji 𝑓. W przedziałach (-∞, 2) oraz\n(10, +∞) funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, więc w tych przedziałach wykres funkcji 𝑔\njest obrazem wykresu funkcji 𝑓 w symetrii względem osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= -\n3\n2⋅(- 1\n4) = 6.\nPonieważ 𝑝< 9, więc funkcja 𝑔 w przedziale [9, 10] jest malejąca, a w przedziale\n[10, 11] jest rosnąca. Obliczamy 𝑔(9) i 𝑔(11):\n𝑔(9) = |-1\n4 ∙92 + 3 ∙9 -5| = |-1\n4 ∙81 + 27 -5| = |-20 1\n4 + 22| = 7\n4\n𝑔(11) = |-1\n4 ∙112 + 3 ∙11 -5| = |-1\n4 ∙121 + 33 -5| = |-30 1\n4 + 28| = 9\n4\nZbiorem wszystkich wartości, jakie funkcja 𝑔 przyjmuje w zbiorze [9, 11], jest [0, 9\n4].","solution":"$g(11) = \\dfrac{9}{4}$ oraz $\\left[0, \\dfrac{9}{4}\\right]$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 2.1. (0-2)
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja 𝒈 przyjmuje w przedziale [𝟗, 𝟏𝟏].
Zapisz obliczenia.
2.1.
0-1-2
𝑦
0 𝑥
𝑦= 𝑔(𝑥)

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.1. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.R1) na podstawie wykresu funkcji
𝑦= 𝑓(𝑥) rysuje wykres funkcji
𝑦= |𝑓(𝑥)|.
Zasady oceniania
2 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑔(11) oraz zapisanie zbioru wszystkich wartości, jakie
funkcja 𝑔 przyjmuje w przedziale [9, 11]: 𝑔(11) = 9
4 oraz [0, 9
4].
1 pkt - obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑔 i obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 punktu,
w którym funkcja ma maksimum lokalne (lub zapisanie, że 𝑝∉[9, 11]): 2 i 10 oraz
𝑝= 6.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑔:
|-1
4 𝑥2 + 3𝑥-5| = 0
-1
4 𝑥2 + 3𝑥-5 = 0
𝑥= 2 lub 𝑥= 10
Niech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1
4 𝑥2 + 3𝑥-5.
W przedziale [2, 10] funkcja 𝑓 przyjmuje wartości nieujemne, więc w tym przedziale
wykres funkcji 𝑔 pokrywa się z wykresem funkcji 𝑓. W przedziałach (-∞, 2) oraz
(10, +∞) funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, więc w tych przedziałach wykres funkcji 𝑔
jest obrazem wykresu funkcji 𝑓 w symetrii względem osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.
Obliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:
𝑝= -
3
2⋅(- 1

\n
  1. = 6.
\n

Ponieważ 𝑝< 9, więc funkcja 𝑔 w przedziale [9, 10] jest malejąca, a w przedziale
[10, 11] jest rosnąca. Obliczamy 𝑔(9) i 𝑔(11):
𝑔(9) = |-1
4 ∙92 + 3 ∙9 -5| = |-1
4 ∙81 + 27 -5| = |-20 1
4 + 22| = 7
4
𝑔(11) = |-1
4 ∙112 + 3 ∙11 -5| = |-1
4 ∙121 + 33 -5| = |-30 1
4 + 28| = 9
4
Zbiorem wszystkich wartości, jakie funkcja 𝑔 przyjmuje w zbiorze [9, 11], jest [0, 9
4].

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$g(11) = \\dfrac{9}{4}$ oraz $\\left[0, \\dfrac{9}{4}\\right]$

"}]}