{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-2)\nWyznacz zbiór wszystkich wartości parametru 𝒎, dla których równanie 𝒈(𝒙) = |𝒎|\nma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.\n2.2.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną […];\nIII.R5) analizuje […] równania i nierówności\nkwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości 𝑚 dla których równanie 𝑔(𝑥) = |𝑚| posiada dwa rozwiązania\ntego samego znaku: 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).\n1 pkt - obliczenie/zapisanie drugiej współrzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią\n𝑂𝑦 oraz obliczenie wartości 𝑞 lokalnego maksimum funkcji 𝑔: 5 oraz 𝑞= 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią 𝑂𝑦:\n𝑔(0) = |-5| = 5\nNiech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5.\nObliczamy drugą współrzędną 𝑞 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑞= -\n32 -4 ⋅(-1\n4) ⋅(-5)\n4 ⋅(-1\n4)\n= 4\nWykres funkcji 𝑔 jest wykresem funkcji 𝑦= |𝑓(𝑥)|, więc funkcja 𝑔 ma lokalne maksimum\nrówne 4.\nPrzyjmijmy 𝑘= |𝑚|. Na podstawie analizy własności funkcji 𝑔 wyznaczamy wartości 𝑘\ndla których równanie 𝑔(𝑥) = 𝑘 posiada dwa rozwiązania dodatnie: 𝑘∈(4, 5) ∪{0}.\nObliczamy wartości parametru 𝑚:\n|𝑚| = 0 lub 4 < |𝑚| < 5\nStąd 𝑚= 0 lub 𝑚∈(-5, -4) ∪(4, 5).\nZatem 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in (-5, -4) \\cup \\{0\\} \\cup (4, 5)$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 2.2. (0-2)<br>Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru 𝒎, dla których równanie 𝒈(𝒙) = |𝒎|<br>ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.<br>2.2.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2.2. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>III.R4) rozwiązuje równania i nierówności<br>z wartością bezwzględną […];<br>III.R5) analizuje […] równania i nierówności<br>kwadratowe z parametrami,<br>w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań<br>w zależności od parametrów, podaje<br>warunki, przy których rozwiązania mają<br>żądaną własność, i wyznacza rozwiązania<br>w zależności od parametrów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - obliczenie wartości 𝑚 dla których równanie 𝑔(𝑥) = |𝑚| posiada dwa rozwiązania<br>tego samego znaku: 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).<br>1 pkt - obliczenie/zapisanie drugiej współrzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią<br>𝑂𝑦 oraz obliczenie wartości 𝑞 lokalnego maksimum funkcji 𝑔: 5 oraz 𝑞= 4.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Obliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią 𝑂𝑦:<br>𝑔(0) = |-5| = 5<br>Niech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1<br>4 𝑥2 + 3𝑥-5.<br>Obliczamy drugą współrzędną 𝑞 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:<br>𝑞= -<br>32 -4 ⋅(-1</p>\n<ol><li>⋅(-5)</li></ol>\n<p>4 ⋅(-1<br>4)<br>= 4<br>Wykres funkcji 𝑔 jest wykresem funkcji 𝑦= |𝑓(𝑥)|, więc funkcja 𝑔 ma lokalne maksimum<br>równe 4.<br>Przyjmijmy 𝑘= |𝑚|. Na podstawie analizy własności funkcji 𝑔 wyznaczamy wartości 𝑘<br>dla których równanie 𝑔(𝑥) = 𝑘 posiada dwa rozwiązania dodatnie: 𝑘∈(4, 5) ∪{0}.<br>Obliczamy wartości parametru 𝑚:<br>|𝑚| = 0 lub 4 &lt; |𝑚| &lt; 5<br>Stąd 𝑚= 0 lub 𝑚∈(-5, -4) ∪(4, 5).<br>Zatem 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$m \\in (-5, -4) \\cup \\{0\\} \\cup (4, 5)$</p>"}]}