{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚,\nspełniających warunek 𝒙+ 𝒚≥𝟏, prawdziwa jest nierówność\n𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝒚+ 𝒚𝟑≥𝒙𝟐+ 𝒙𝒚(𝒙+ 𝒚) + 𝒚𝟐\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. przekształcenie nierówności do postaci\n(𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0 oraz uzasadnienie jej prawdziwości dla wszystkich liczb\nrzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥+ 𝑦) występuje jako\nwspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\nALBO\nprzekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥-𝑦) występuje jako\nwspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.\n𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\n(𝑥+ 𝑦)[(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦] -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0\nPonieważ:\nz założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0\nkwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,\nwięc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych\n𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.\nTo oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla\nwszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\n𝑥3 -𝑥2𝑦+ 𝑦3 -𝑥𝑦2 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\n𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0\nPonieważ:\nz założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0\nkwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,\nwięc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych\n𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.\nTo oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla\nwszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚,
spełniających warunek 𝒙+ 𝒚≥𝟏, prawdziwa jest nierówność
𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝒚+ 𝒚𝟑≥𝒙𝟐+ 𝒙𝒚(𝒙+ 𝒚) + 𝒚𝟐
3.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
II.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,
(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. przekształcenie nierówności do postaci
(𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0 oraz uzasadnienie jej prawdziwości dla wszystkich liczb
rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.
2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0.
1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥+ 𝑦) występuje jako
wspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.
(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0
ALBO
przekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥-𝑦) występuje jako
wspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.
𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny
𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0
(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0
(𝑥+ 𝑦)[(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦] -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0
Ponieważ:
z założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0
kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,
więc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych
𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.
To oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla
wszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.
To należało wykazać.
Sposób II
Przekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny
𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0
𝑥3 -𝑥2𝑦+ 𝑦3 -𝑥𝑦2 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0
𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0
(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0
Ponieważ:
z założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0
kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,
więc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych
𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.
To oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla
wszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.
To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód.

"}]}