{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nMaszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty.\nTorebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą.\nPrawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest\nz niedowagą, jest równe 0,1. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych\nprzez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 20 torebek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych\n𝟐𝟎 losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.\nZapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) ≈0,68.\n2 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów\nw 𝑛 próbach Bernoullego i zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w postaci\n𝑃(𝐴) = (20\n0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20\n1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20\n2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18.\n1 pkt - określenie sukcesu i porażki w pojedynczej próbie Bernoullego oraz podanie ich\nprawdopodobieństw: 𝑝= 0,1 oraz 𝑞= 0,9.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest kontrola masy herbaty nasypanej przez maszynę do torebki.\nSukcesem w tej próbie jest uzyskanie torebki herbaty z niedowagą. Prawdopodobieństwo 𝑝\nsukcesu jest równe 0,1, natomiast prawdopodobieństwo 𝑞 porażki jest równe 0,9.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wylosowanych do kontroli\n20 torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Przez 𝑃20(𝑘) oznaczmy\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród skontrolowanych\n20 torebek znajdzie się dokładnie 𝑘 torebek z niedowagą.\nWtedy 𝑃(𝐴) = 𝑃20(0) + 𝑃20(1) + 𝑃20(2). Zatem\n𝑃(𝐴) = (20\n0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20\n1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20\n2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18\n𝑃(𝐴) = (0,9)18 ∙4,51 ≈0,68","solution":"$P(A) \\approx 0{,}68$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty.
Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą.
Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest
z niedowagą, jest równe 0,1. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych
przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 20 torebek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych
𝟐𝟎 losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.
Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
4.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
XII.R2) stosuje schemat Bernoullego.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny wynik:
𝑃(𝐴) ≈0,68.
2 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów
w 𝑛 próbach Bernoullego i zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w postaci
𝑃(𝐴) = (20
0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20
1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20
2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18.
1 pkt - określenie sukcesu i porażki w pojedynczej próbie Bernoullego oraz podanie ich
prawdopodobieństw: 𝑝= 0,1 oraz 𝑞= 0,9.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Próbą Bernoullego jest kontrola masy herbaty nasypanej przez maszynę do torebki.
Sukcesem w tej próbie jest uzyskanie torebki herbaty z niedowagą. Prawdopodobieństwo 𝑝
sukcesu jest równe 0,1, natomiast prawdopodobieństwo 𝑞 porażki jest równe 0,9.
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wylosowanych do kontroli
20 torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Przez 𝑃20(𝑘) oznaczmy
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród skontrolowanych
20 torebek znajdzie się dokładnie 𝑘 torebek z niedowagą.
Wtedy 𝑃(𝐴) = 𝑃20(0) + 𝑃20(1) + 𝑃20(2). Zatem
𝑃(𝐴) = (20
0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20
1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20
2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18
𝑃(𝐴) = (0,9)18 ∙4,51 ≈0,68

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) \\approx 0{,}68$

"}]}