Zadanie 5. (0-4)
Rozwiąż równanie
𝟔𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝟐√𝟑𝐜𝐨𝐬𝒙+ 𝟑𝐭𝐠𝒙+ √𝟑= 𝟎
Zapisz obliczenia.
5.
0-1-
2-3-4
MMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 5. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne o stopniu trudności nie
większym niż w przykładzie
4cos 2𝑥cos 5𝑥= 2cos 7𝑥+ 1.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝑥= -𝜋
6 + 𝑘𝜋 lub
𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - rozwiązanie równania elementarnego tg 𝑥= -
√3
3 (lub cos 𝑥= -1
2):
𝑥= -𝜋
6 + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍 (lub: 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 oraz 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ).
2 pkt - przekształcenie równania 6 sin 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0 do postaci
alternatywy równań trygonometrycznych, np. 3 tg 𝑥+ √3 = 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0,
dla 𝑥≠𝜋
2 + 𝑘𝜋.
1 pkt - zapisanie, że lewa strona równania ma sens liczbowy dla 𝑥≠𝜋
2 + 𝑘𝜋 oraz
przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu, np.
(3tg 𝑥+ √3)(2 cos 𝑥+ 1) = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozwiązań równania szukamy wśród liczb 𝑥≠𝜋
2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ, gdyż tangens nie jest
określony dla liczb postaci 𝜋
2 + 𝑘𝜋 (gdzie 𝑘∈ℤ).
Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
6 ⋅sin 𝑥
cos 𝑥∙cos 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0
6 tg 𝑥⋅cos 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0
2 cos 𝑥(3 tg 𝑥+ √3) + (3 tg 𝑥+ √3) = 0
(3 tg 𝑥+ √3)(2 cos 𝑥+ 1) = 0
Otrzymane równanie jest równoważne alternatywie równań:
3 tg 𝑥+ √3 = 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0
Stąd
tg 𝑥= -√3
3 lub cos 𝑥= -1
2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥= -𝜋
6 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -2𝜋
3 + 2𝑘𝜋
gdzie 𝑘∈ℤ. Żadna z otrzymanych liczb nie jest postaci 𝜋
2 + 𝑘𝜋.
Rozwiązaniami równania są liczby postaci: -𝜋
6 + 𝑘𝜋 oraz 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋, oraz -2𝜋
3 + 2𝑘𝜋,
gdzie 𝑘∈ℤ.
$x = -\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi$ lub $x = \\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi$ lub $x = -\\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$
"}]}