{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 i 𝐴𝐵 tego\ntrójkąta w punktach - odpowiednio - 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀. Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia tych\ndwusiecznych. Na czworokątach 𝐶𝐿𝑃𝐾 oraz 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg.\nUdowodnij, że trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest równoboczny.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - wyznaczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie miary kąta 𝛾: 𝛾= 60°.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia o kątach wierzchołkowych i zapisanie zależności\n𝛾= 𝛼+ 𝛽.\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i zapisanie zależności\n|∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾\nALBO\nzastosowanie twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i zapisanie\nzależności |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ na czworokącie 𝐶𝐿𝑃𝐾 można opisać okrąg, więc |∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾.\nZ własności kątów wierzchołkowych\n|∡𝐿𝑃𝐾| = |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽\nZatem\n180° -𝛾= 180° -𝛼-𝛽\nStąd\n𝛾= 𝛼+ 𝛽\nKorzystamy z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i otrzymujemy:\n𝛾+ 2𝛼+ 2𝛽= 180°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐿\n𝐾\n𝑃\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛾\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝛾+ 2(𝛼+ 𝛽) = 180°\n3𝛾= 180°\n𝛾= 60°\nAnalogicznie, ponieważ na czworokącie 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 60°.\nStąd\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 180° -|∡𝐴𝐵𝐶| -|∡𝐵𝐶𝐴| = 60°\nZatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 i 𝐴𝐵 tego<br>trójkąta w punktach - odpowiednio - 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀. Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia tych<br>dwusiecznych. Na czworokątach 𝐶𝐿𝑃𝐾 oraz 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg.<br>Udowodnij, że trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest równoboczny.<br>6.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.R1) stosuje własności czworokątów<br>wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - wyznaczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶.<br>3 pkt - obliczenie miary kąta 𝛾: 𝛾= 60°.<br>2 pkt - zastosowanie twierdzenia o kątach wierzchołkowych i zapisanie zależności<br>𝛾= 𝛼+ 𝛽.<br>1 pkt - zastosowanie twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i zapisanie zależności<br>|∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾<br>ALBO<br>zastosowanie twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i zapisanie<br>zależności |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.<br>Ponieważ na czworokącie 𝐶𝐿𝑃𝐾 można opisać okrąg, więc |∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾.<br>Z własności kątów wierzchołkowych<br>|∡𝐿𝑃𝐾| = |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽<br>Zatem<br>180° -𝛾= 180° -𝛼-𝛽<br>Stąd<br>𝛾= 𝛼+ 𝛽<br>Korzystamy z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i otrzymujemy:<br>𝛾+ 2𝛼+ 2𝛽= 180°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐿<br>𝐾<br>𝑃<br>𝛼<br>𝛼<br>𝛽<br>𝛽<br>𝛾<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝛾+ 2(𝛼+ 𝛽) = 180°<br>3𝛾= 180°<br>𝛾= 60°<br>Analogicznie, ponieważ na czworokącie 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 60°.<br>Stąd<br>|∡𝐶𝐴𝐵| = 180° -|∡𝐴𝐵𝐶| -|∡𝐵𝐶𝐴| = 60°<br>Zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.<br>To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód.</p>"}]}