{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nOlejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość\nprodukcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów\n(ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480 + 𝑥) litrów\ndziennie przeciętny koszt 𝐾 (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy\n𝐾(𝑥) = 22𝑥2 - 621,5𝑥 + 23 430\n480 + 𝑥\n, gdzie 𝑥∈[0, 50].\nOblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt\nprodukcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji).\nOblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - wyznaczenie poziomu produkcji, przy którym przeciętny koszt produkcji jednego litra\noleju jest najmniejszy oraz obliczenie najmniejszego przeciętnego kosztu produkcji:\n𝑥= 15 oraz 𝐾(15) = 38,50 zł.\n3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝐾: 𝐾′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) > 0\ndla 𝑥∈(15, 50], oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥, dla\nktórej funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą, np.: funkcja 𝐾 (określona na\nprzedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0,15] oraz rosnąca w przedziale\n[15, 50], więc w punkcie 𝑥= 15 osiąga najmniejszą wartość.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝐾: 𝑥= 15.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝐾:\n𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)\n(480 + 𝑥)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-”, znak pochodnej.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja 𝐾 posiada wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający:\n- opisuje (słownie lub graficznie, np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝐾\nlub\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝐾 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość w przyjętej dziedzinie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji 𝐾 w zbiorze ℝ, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝐾(𝑥) = 22𝑥2- 621,5𝑥 + 23 430\n480 + 𝑥\n:\n𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)\n(480 + 𝑥)2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n𝐾′(𝑥) = 0\n22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750\n(480 + 𝑥)2\n= 0\n22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750 = 0\n𝑥2 + 960𝑥-14 625 = 0\n𝑥= -975 ∉[0, 50] lub 𝑥= 15 ∈[0, 50]\nPonieważ 𝐾′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(15, 50], więc funkcja 𝐾\n(określona na przedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0, 15] oraz rosnąca\nw przedziale [15, 50]. Stąd funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑥= 15.\nPrzeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju jest najmniejszy przy poziomie produkcji\n495 litrów dziennie.\nObliczamy najmniejszy przeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju:\n𝐾(15) = 22 ∙152 -621,5 ∙15 + 23 430\n480 + 15\n= 38,50 zł","solution":"$x = 15$, $K(15) = 38{,}50$ zł","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-4)<br>Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość<br>produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów<br>(ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480 + 𝑥) litrów<br>dziennie przeciętny koszt 𝐾 (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy<br>𝐾(𝑥) = 22𝑥2 - 621,5𝑥 + 23 430<br>480 + 𝑥<br>, gdzie 𝑥∈[0, 50].<br>Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt<br>produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji).<br>Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.<br>Zapisz obliczenia.<br>7.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-4)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej<br>o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza<br>pochodną, korzystając z twierdzeń<br>o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu<br>i ilorazu;<br>XIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>z zastosowaniem pochodnej.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - wyznaczenie poziomu produkcji, przy którym przeciętny koszt produkcji jednego litra<br>oleju jest najmniejszy oraz obliczenie najmniejszego przeciętnego kosztu produkcji:<br>𝑥= 15 oraz 𝐾(15) = 38,50 zł.<br>3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝐾: 𝐾′(𝑥) &lt; 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) &gt; 0<br>dla 𝑥∈(15, 50], oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥, dla<br>której funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą, np.: funkcja 𝐾 (określona na<br>przedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0,15] oraz rosnąca w przedziale<br>[15, 50], więc w punkcie 𝑥= 15 osiąga najmniejszą wartość.<br>2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝐾: 𝑥= 15.<br>1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝐾:<br>𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)<br>(480 + 𝑥)2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres</li></ol>\n<p>funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,<br>np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej.</p>\n<ol><li>Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja 𝐾 posiada wartość najmniejszą dla</li></ol>\n<p>wyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy<br>zdający:</p>\n<ul><li>opisuje (słownie lub graficznie, np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝐾</li></ul>\n<p>lub</p>\n<ul><li>zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝐾 ma minimum lokalne i jest to</li></ul>\n<p>jednocześnie jej najmniejsza wartość w przyjętej dziedzinie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Jeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej<br>3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji 𝐾 w zbiorze ℝ, to może</li></ol>\n<p>otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Wyznaczamy pochodną funkcji 𝐾(𝑥) = 22𝑥2- 621,5𝑥 + 23 430<br>480 + 𝑥<br>:<br>𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)<br>(480 + 𝑥)2<br>Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:<br>𝐾′(𝑥) = 0<br>22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750<br>(480 + 𝑥)2<br>= 0<br>22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750 = 0<br>𝑥2 + 960𝑥-14 625 = 0<br>𝑥= -975 ∉[0, 50] lub 𝑥= 15 ∈[0, 50]<br>Ponieważ 𝐾′(𝑥) &lt; 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) &gt; 0 dla 𝑥∈(15, 50], więc funkcja 𝐾<br>(określona na przedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0, 15] oraz rosnąca<br>w przedziale [15, 50]. Stąd funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑥= 15.<br>Przeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju jest najmniejszy przy poziomie produkcji<br>495 litrów dziennie.<br>Obliczamy najmniejszy przeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju:<br>𝐾(15) = 22 ∙152 -621,5 ∙15 + 23 430<br>480 + 15<br>= 38,50 zł</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = 15$, $K(15) = 38{,}50$ zł</p>"}]}