{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-5)\nRozwiąż nierówność\n𝒙-𝟏\n𝒙𝟐-𝟒-\n𝟏\n𝟐-𝒙≥\n𝟑\n𝟐+ 𝒙+ 𝟐\nZapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R2) rozwiązuje równania i nierówności\nwymierne nie trudniejsze niż\n(𝑥+1)\n𝑥(𝑥-1) +\n1\n𝑥+1 ≥\n2𝑥\n(𝑥-1)(𝑥+1) .\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania nierówności wymiernej oraz poprawny\nwynik: [-3, -2) ∪(2, 5\n2].\n4 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2)\n≥0\nALBO\nrozwiązanie nierówności wielomianowej -2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0:\n[-3, -2] ∪[2, 5\n2].\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci -2𝑥2-𝑥+15\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2)\n≥0.\n2 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci 𝑥-1+𝑥+2\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7\n2+𝑥\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci -2𝑥2-𝑥+15\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0.\n1 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2}\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci 𝑥-1+𝑥+2\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7\n2+𝑥 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy dziedzinę nierówności 𝑥-1\n𝑥2-4 -\n1\n2-𝑥≥\n3\n2+𝑥+ 2:\n𝑥2 -4 ≠0 i 2 -𝑥≠0 i 2 + 𝑥≠0\nZatem nierówność ma sens liczbowy dla 𝑥∈𝑅\\{-2, 2}.\nPrzekształcamy kolejno nierówność, otrzymując:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥-1 + 𝑥+ 2\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥2𝑥+ 7\n2 + 𝑥\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥(2𝑥+ 7)(𝑥-2)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2)\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) -(2𝑥+ 7)(𝑥-2)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) -2𝑥2 + 3𝑥-14\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n-2𝑥2 -𝑥+ 15\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2)\n≥0\nPonieważ znak wyrażenia wymiernego\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2) jest taki sam, jak wyrażenia\nbędącego iloczynem licznika i mianownika tego ułamka algebraicznego, więc\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności wielomianowej\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0 jest zbiór [-3, -2] ∪[2, 5\n2].\nUwzględniamy dziedzinę nierówności wymiernej i otrzymujemy zbiór wszystkich rozwiązań\nnierówności wymiernej: [-3, -2) ∪(2, 5\n2].","solution":"$\\left[-3, -2\\right) \\cup \\left(2, \\dfrac{5}{2}\\right]$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-5)<br>Rozwiąż nierówność<br>𝒙-𝟏<br>𝒙𝟐-𝟒-<br>𝟏<br>𝟐-𝒙≥<br>𝟑<br>𝟐+ 𝒙+ 𝟐<br>Zapisz obliczenia.<br>8.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.R2) rozwiązuje równania i nierówności<br>wymierne nie trudniejsze niż<br>(𝑥+1)<br>𝑥(𝑥-1) +<br>1<br>𝑥+1 ≥<br>2𝑥<br>(𝑥-1)(𝑥+1) .<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania nierówności wymiernej oraz poprawny<br>wynik: [-3, -2) ∪(2, 5<br>2].<br>4 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności<br>w postaci<br>-2(𝑥- 5<br>2)(𝑥+3)<br>(𝑥-2)(𝑥+2)<br>≥0<br>ALBO<br>rozwiązanie nierówności wielomianowej -2 (𝑥-5</p>\n<ol><li>(𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0:</li></ol>\n<p>[-3, -2] ∪[2, 5<br>2].<br>3 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności<br>w postaci -2𝑥2-𝑥+15<br>(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0<br>ALBO<br>zapisanie nierówności w postaci<br>-2(𝑥- 5<br>2)(𝑥+3)<br>(𝑥-2)(𝑥+2)<br>≥0.<br>2 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności<br>w postaci 𝑥-1+𝑥+2<br>(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7<br>2+𝑥<br>ALBO<br>zapisanie nierówności w postaci -2𝑥2-𝑥+15<br>(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0.<br>1 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2}<br>ALBO<br>zapisanie nierówności w postaci 𝑥-1+𝑥+2<br>(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7<br>2+𝑥 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Wyznaczamy dziedzinę nierówności 𝑥-1<br>𝑥2-4 -<br>1<br>2-𝑥≥<br>3<br>2+𝑥+ 2:<br>𝑥2 -4 ≠0 i 2 -𝑥≠0 i 2 + 𝑥≠0<br>Zatem nierówność ma sens liczbowy dla 𝑥∈𝑅\\{-2, 2}.<br>Przekształcamy kolejno nierówność, otrzymując:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑥-1 + 𝑥+ 2<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥2𝑥+ 7<br>2 + 𝑥<br>2𝑥+ 1<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥(2𝑥+ 7)(𝑥-2)<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2)<br>2𝑥+ 1<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) -(2𝑥+ 7)(𝑥-2)<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0<br>2𝑥+ 1<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) -2𝑥2 + 3𝑥-14<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0<br>-2𝑥2 -𝑥+ 15<br>(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0<br>-2 (𝑥-5</p>\n<ol><li>(𝑥+ 3)</li></ol>\n<p>(𝑥-2)(𝑥+ 2)<br>≥0<br>Ponieważ znak wyrażenia wymiernego<br>-2(𝑥- 5<br>2)(𝑥+3)<br>(𝑥-2)(𝑥+2) jest taki sam, jak wyrażenia<br>będącego iloczynem licznika i mianownika tego ułamka algebraicznego, więc<br>-2 (𝑥-5</p>\n<ol><li>(𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0</li></ol>\n<p>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności wielomianowej<br>-2 (𝑥-5</p>\n<ol><li>(𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0 jest zbiór [-3, -2] ∪[2, 5</li></ol>\n<p>2].<br>Uwzględniamy dziedzinę nierówności wymiernej i otrzymujemy zbiór wszystkich rozwiązań<br>nierówności wymiernej: [-3, -2) ∪(2, 5<br>2].</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\left[-3, -2\\right) \\cup \\left(2, \\dfrac{5}{2}\\right]$</p>"}]}