{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐-(𝒎-𝟒)𝒙+ 𝒎𝟐-𝟕𝒎+ 𝟏𝟐= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐\n, spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑< 𝟓𝒙𝟏\n𝟐⋅𝒙𝟐+ 𝟓𝒙𝟏⋅𝒙𝟐\n𝟐\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności […]\nkwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz poprawny wynik: 𝑚∈(20\n7 , 4).\n4 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz zapisanie nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2)\nw postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0\nALBO\npoprawne rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2): 𝑚∈(20\n7 , 4) ∪(4, +∞).\n3 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz zapisanie nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚, która wynika z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 , np.\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)\nALBO\nzapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2) w postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz przekształcenie\nwarunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\nALBO\nzastosowanie wzorów Viète’a i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która\nwynika z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 , np.\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4).\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\nprzekształcenie warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nTrójmian 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tylko\nwtedy, gdy jego wyróżnik Δ jest dodatni, tj.\n(𝑚-4)2 -4(𝑚2 -7𝑚+ 12) > 0\n-3𝑚2 + 20𝑚-32 > 0\n-3(𝑚-4) (𝑚-8\n3) > 0\nZatem 𝑚∈(8\n3 , 4).\nNierówność 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 przekształcamy równoważnie do postaci, która\npozwoli na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2\n(𝑥1 + 𝑥2)[𝑥1\n2 -𝑥1𝑥2 + 𝑥2\n2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\nStosujemy wzory Viète’a i otrzymujemy:\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -8(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 0\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0\n-7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0\n𝑚∈(20\n7 , 4) ∪(4, +∞)\nCzęścią wspólną zbiorów (8\n3 , 4) i (20\n7 , 4) ∪(4, +∞) jest (20\n7 , 4).\nRównanie 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste,\nspełniające warunki zadania, dla 𝑚∈(20\n7 , 4).","solution":"$m \\in \\left(\\dfrac{20}{7}, 4\\right)$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie
𝒙𝟐-(𝒎-𝟒)𝒙+ 𝒎𝟐-𝟕𝒎+ 𝟏𝟐= 𝟎
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐
, spełniające warunek
𝒙𝟏
𝟑+ 𝒙𝟐
𝟑< 𝟓𝒙𝟏
𝟐⋅𝒙𝟐+ 𝟓𝒙𝟏⋅𝒙𝟐
𝟐
Zapisz obliczenia.
9.
0-1-
2-3-
4-5

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności […]
kwadratowe z parametrami,
w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań
w zależności od parametrów, podaje
warunki, przy których rozwiązania mają
żądaną własność, i wyznacza rozwiązania
w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz poprawny wynik: 𝑚∈(20
7 , 4).
4 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8
3 , 4) oraz zapisanie nierówności
z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2)
w postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub
(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20
7 ) < 0
ALBO
poprawne rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2): 𝑚∈(20
7 , 4) ∪(4, +∞).
3 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8
3 , 4) oraz zapisanie nierówności
z jedną niewiadomą 𝑚, która wynika z warunku 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2 , np.
(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)
ALBO
zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2

\n
  1. w postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub
\n

(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20
7 ) < 0.
2 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8
3 , 4) oraz przekształcenie
warunku 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
ALBO
zastosowanie wzorów Viète’a i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która
wynika z warunku 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2 , np.
(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4).
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8
3 , 4)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO
przekształcenie warunku 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Trójmian 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tylko
wtedy, gdy jego wyróżnik Δ jest dodatni, tj.
(𝑚-4)2 -4(𝑚2 -7𝑚+ 12) > 0
-3𝑚2 + 20𝑚-32 > 0
-3(𝑚-4) (𝑚-8

\n
  1. > 0
\n

Zatem 𝑚∈(8
3 , 4).
Nierówność 𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2 przekształcamy równoważnie do postaci, która
pozwoli na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a:
𝑥1
3 + 𝑥2
3 < 5𝑥1
2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2
2
(𝑥1 + 𝑥2)[𝑥1
2 -𝑥1𝑥2 + 𝑥2
2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)
Stosujemy wzory Viète’a i otrzymujemy:
(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)
(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -8(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 0
(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0
-7(𝑚-4)2(𝑚-20
7 ) < 0
𝑚∈(20
7 , 4) ∪(4, +∞)
Częścią wspólną zbiorów (8
3 , 4) i (20
7 , 4) ∪(4, +∞) jest (20
7 , 4).
Równanie 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste,
spełniające warunki zadania, dla 𝑚∈(20
7 , 4).

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in \\left(\\dfrac{20}{7}, 4\\right)$

"}]}