{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba (2√8 -3√2)\n2 jest równa\nA. 2\nB. 1\nC. 26\nD. 14\nLiczba (2√8-3√2)² jest równa A. 2 B. 1 C. 26 D. 14⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia przed potęgowaniem\n\n**Kluczowy trick:** najpierw upraszczamy każdy składnik, żeby sprowadzić wszystko do wspólnego pierwiastka \\(\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 1.** Upraszczamy \\(2\\sqrt{8}\\):\n\\[2\\sqrt{8} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} = 2 \\cdot \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{2} = 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy do nawiasu:\n\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 1\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 3.** Podnosimy do kwadratu:\n\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na kwadrat różnicy (bez upraszczania na początku)\n\nStosujemy wzór \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) bezpośrednio dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 1.** Liczymy \\(a^2\\):\n\\[(2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy \\(2ab\\):\n\\[2 \\cdot 2\\sqrt{8} \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{8 \\cdot 2} = 12\\sqrt{16} = 12 \\cdot 4 = 48\\]\n\n**Krok 3.** Liczymy \\(b^2\\):\n\\[(3\\sqrt{2})^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]\n\n**Krok 4.** Składamy wynik:\n\\[32 - 48 + 18 = \\mathbf{2}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy** na egzaminie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozłożenia \\(\\sqrt{8} = \\sqrt{4 \\cdot 2} = 2\\sqrt{2}\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(1\\) | Uczeń oblicza \\((4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2}\\), ale potem bierze \\(\\sqrt{2} \\approx 1\\) (zaokrąglenie) i zapomina podnieść do kwadratu - lub w ogóle pomija kwadrat |\n| C: \\(26\\) | Uczeń stosuje wzór \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) zamiast \\(a^2 - 2ab + b^2\\) - pomija środkowy wyraz \\(2ab = 48\\); wtedy \\(32 - 18 = 14\\) (nie 26), albo liczy \\(a^2 + b^2 = 32 + 18 = 50\\) i dalej błądzi |\n| D: \\(14\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 32\\) i \\(b^2 = 18\\), ale pomija środkowy wyraz \\(-2ab\\), przez co dostaje \\(32 - 18 = 14\\) - klasyczny błąd pominięcia \\(2ab\\) we wzorze skróconego mnożenia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a - b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To najczęstszy błąd na maturze. Kwadrat różnicy zawsze ma trzy składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed potęgowaniem zawsze warto uprościć pierwiastki - \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) zmienia obliczenia z żmudnych w trywialne. Szukaj wspólnych pierwiastków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\), nie \\(2 \\cdot 8 = 16\\). Pamiętaj, że cały wyraz \\(2\\sqrt{8}\\) jest podnoszony do kwadratu - obie części, i \\(2\\), i \\(\\sqrt{8}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Upraszczamy pierwiastki\n\\(2\\sqrt{8} = 2\\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\), więc \\(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\).\n\\[(\\sqrt{2})^2 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\). Dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):\n\\(a^2 = 4\\cdot 8 = 32\\), \\(b^2 = 9\\cdot 2 = 18\\), \\(2ab = 2\\cdot 2\\sqrt{8}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{16} = 48\\).\nZatem \\(32 - 48 + 18 = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(1\\)** - pomyłka w uproszczeniu pierwiastka.\n- **C. \\(26\\)** - \\(32 + 18 - 2\\cdot 12\\) zle policzone.\n- **D. \\(14\\)** - brak składnika środkowego.\n\n**Trik:** zawsze najpierw uprość \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) - unikniesz błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Upraszczanie wyrażenia\n1. **Rozwinięcie pierwiastków:** Zaczynamy od rozwinięcia wyrażenia:\n\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} - 3\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]\n2. **Uproszczenie:** Zatem wyrażenie jest równe \\[\\sqrt{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4 - Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na silnię\n1. **Rozpisanie silni:** Zauważamy, że możemy zapisać wyrażenie jako:\n\\[(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2(8)} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - 3\\sqrt{2} = 4 - 3\\sqrt{2}\\]\n2. **Przekształcenie:** Możemy to zapisać jako:\n\\[4 - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - \\sqrt{18}\\]\n3. **Zauważenie:** Zauważamy, że to wyrażenie jest równe 2.\n\\[ \\sqrt{16} - \\sqrt{18} = 4 - \\sqrt{18} \\approx 4 - 4.24 = -0.24\\]\nTo nie jest 2.\n\n📖 Karta wzorów: s.13 - Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13. (W tym przypadku nie wykorzystujemy bezpośrednio silni, ale rozumujemy o pierwiastkach).\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 1:** Wynik wyrażenia nie jest równy 1.\n* **C. 26:** Wynik wyrażenia nie jest równy 26.\n* **D. 14:** Wynik wyrażenia nie jest równy 14.\n\nWyjaśnienie: Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe rozwinięcie wyrażenia zawierającego pierwiastki. W pierwszym sposobie, dzięki rozpisaniu pierwiastków, otrzymujemy \\[\\sqrt{2}\\], co jest równe 1.414 Zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2} = 1.414 A zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} jest równe 1. W tym przypadku, odpowiedź A jest poprawna.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba (2√8 -3√2)
2 jest równa
A. 2
B. 1
C. 26
D. 14
Liczba (2√8-3√2)² jest równa A. 2 B. 1 C. 26 D. 14⋅r

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20221
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.3) posługuje się w obliczeniach
pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje
prawa działań na pierwiastkach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
A
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)

\n

Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia przed potęgowaniem

\n

Kluczowy trick: najpierw upraszczamy każdy składnik, żeby sprowadzić wszystko do wspólnego pierwiastka \\(\\sqrt{2}\\).

\n

Krok 1. Upraszczamy \\(2\\sqrt{8}\\):
\\[2\\sqrt{8} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} = 2 \\cdot \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{2} = 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy do nawiasu:
\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 1\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]

\n

Krok 3. Podnosimy do kwadratu:
\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = \\mathbf{2}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na kwadrat różnicy (bez upraszczania na początku)

\n

Stosujemy wzór \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) bezpośrednio dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).

\n

Krok 1. Liczymy \\(a^2\\):
\\[(2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\]

\n

Krok 2. Liczymy \\(2ab\\):
\\[2 \\cdot 2\\sqrt{8} \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{8 \\cdot 2} = 12\\sqrt{16} = 12 \\cdot 4 = 48\\]

\n

Krok 3. Liczymy \\(b^2\\):
\\[(3\\sqrt{2})^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]

\n

Krok 4. Składamy wynik:
\\[32 - 48 + 18 = \\mathbf{2}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy na egzaminie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozłożenia \\(\\sqrt{8} = \\sqrt{4 \\cdot 2} = 2\\sqrt{2}\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B: \\(1\\) | Uczeń oblicza \\((4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2}\\), ale potem bierze \\(\\sqrt{2} \\approx 1\\) (zaokrąglenie) i zapomina podnieść do kwadratu - lub w ogóle pomija kwadrat |
| C: \\(26\\) | Uczeń stosuje wzór \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) zamiast \\(a^2 - 2ab + b^2\\) - pomija środkowy wyraz \\(2ab = 48\\); wtedy \\(32 - 18 = 14\\) (nie 26), albo liczy \\(a^2 + b^2 = 32 + 18 = 50\\) i dalej błądzi |
| D: \\(14\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 32\\) i \\(b^2 = 18\\), ale pomija środkowy wyraz \\(-2ab\\), przez co dostaje \\(32 - 18 = 14\\) - klasyczny błąd pominięcia \\(2ab\\) we wzorze skróconego mnożenia |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\((a - b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To najczęstszy błąd na maturze. Kwadrat różnicy zawsze ma trzy składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przed potęgowaniem zawsze warto uprościć pierwiastki - \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) zmienia obliczenia z żmudnych w trywialne. Szukaj wspólnych pierwiastków!
\n
⚠️ Uwaga: \\((2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\), nie \\(2 \\cdot 8 = 16\\). Pamiętaj, że cały wyraz \\(2\\sqrt{8}\\) jest podnoszony do kwadratu - obie części, i \\(2\\), i \\(\\sqrt{8}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Upraszczamy pierwiastki
\n

\\(2\\sqrt{8} = 2\\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\), więc \\(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\).
\\[(\\sqrt{2})^2 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia
\n

\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\). Dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):
\\(a^2 = 4\\cdot 8 = 32\\), \\(b^2 = 9\\cdot 2 = 18\\), \\(2ab = 2\\cdot 2\\sqrt{8}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{16} = 48\\).
Zatem \\(32 - 48 + 18 = 2\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze najpierw uprość \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) - unikniesz błędów.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Upraszczanie wyrażenia
\n
  1. Rozwinięcie pierwiastków: Zaczynamy od rozwinięcia wyrażenia:
\n

\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} - 3\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]

\n
  1. Uproszczenie: Zatem wyrażenie jest równe \\[\\sqrt{2}\\]
\n

📖 Karta wzorów: s.4 - Potęgi, strona 4

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na silnię
\n
  1. Rozpisanie silni: Zauważamy, że możemy zapisać wyrażenie jako:
\n

\\[(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2(8)} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - 3\\sqrt{2} = 4 - 3\\sqrt{2}\\]

\n
  1. Przekształcenie: Możemy to zapisać jako:
\n

\\[4 - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - \\sqrt{18}\\]

\n
  1. Zauważenie: Zauważamy, że to wyrażenie jest równe 2.
\n

\\[ \\sqrt{16} - \\sqrt{18} = 4 - \\sqrt{18} \\approx 4 - 4.24 = -0.24\\]
To nie jest 2.

\n

📖 Karta wzorów: s.13 - Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13. (W tym przypadku nie wykorzystujemy bezpośrednio silni, ale rozumujemy o pierwiastkach).

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wyjaśnienie: Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe rozwinięcie wyrażenia zawierającego pierwiastki. W pierwszym sposobie, dzięki rozpisaniu pierwiastków, otrzymujemy \\[\\sqrt{2}\\], co jest równe 1.414 Zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2} = 1.414 A zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} jest równe 1. W tym przypadku, odpowiedź A jest poprawna.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które mamy obliczyć:
\n

$$\\text{Wyrażenie} = \\big(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}\\big)^2$$

\n
  1. Aby obliczyć kwadrat tego wyrażenia, stosujemy wzór na kwadrat ró difference, który ma postać: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. W naszym przypadku $a = 2\\sqrt{8}$ i $b = 3\\sqrt{2}$. Zapisujemy:
\n

$$\\big(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}\\big)^2 = (2\\sqrt{8})^2 - 2\\cdot(2\\sqrt{8})\\cdot(3\\sqrt{2}) + (3\\sqrt{2})^2$$

\n
  1. Obliczamy $a^2$: $$ (2\\sqrt{8})^2 = 2^2\\cdot(\\sqrt{8})^2 = 4\\cdot8 = 32 $$
\n

Zatem, $a^2 = 32$.

\n
  1. Obliczamy $b^2$: $$ (3\\sqrt{2})^2 = 3^2\\cdot(\\sqrt{2})^2 = 9\\cdot2 = 18 $$
\n

Zatem, $b^2 = 18$.

\n
  1. Teraz obliczamy $2ab$: $$ 2\\cdot(2\\sqrt{8})\\cdot(3\\sqrt{2}) = 2\\cdot2\\cdot3\\cdot\\sqrt{8}\\cdot\\sqrt{2} = 12\\cdot\\sqrt{16} = 12\\cdot4 = 48 $$
\n
  1. Zapisujemy pełne wyrażenie:
\n

$$\\big(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}\\big)^2 = 32 - 48 + 18$$

\n
  1. Obliczamy wynik:
\n

$$32 - 48 + 18 = -16 + 18 = 2$$

\n

Odpowiedź: 2

"}]}