{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n3 (𝑥+ 3) + 5 jest liczba\nA. (-3)\nB. 9\n2\nC. 5\nD. 12\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = -1/3(x+3)+5 jest liczba A. -3 B. 9/2 C. 5 D. 12","answer":"R","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania\nrównań do obliczenia, dla jakiego\nargumentu funkcja przyjmuje daną\nwartość.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i przyrównanie do zera\n\nFunkcja liniowa ma miejsce zerowe tam, gdzie \\(f(x) = 0\\). Zaczynamy od rozwinięcia wzoru.\n\nMamy:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{3}(x+3) + 5\\]\n\nRozwijamy nawias (mnożymy \\(-\\frac{1}{3}\\) przez każdy składnik):\n\\[f(x) = -\\frac{x}{3} - 1 + 5 = -\\frac{x}{3} + 4\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[-\\frac{x}{3} + 4 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(4\\) na prawą stronę:\n\\[-\\frac{x}{3} = -4\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-3\\):\n\\[x = (-4) \\cdot (-3) = 12\\]\n\n**Miejsce zerowe funkcji to \\(x = 12\\).**\n\n## Sposób 2 - Izolowanie nawiasu (bez rozwijania)\n\nPrzypisujemy \\(f(x) = 0\\) i od razu operujemy na nawiasie:\n\\[-\\frac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(5\\):\n\\[-\\frac{1}{3}(x+3) = -5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-3\\):\n\\[x + 3 = 15\\]\n\nOdejmujemy \\(3\\):\n\\[x = 12\\]\n\n**Ten sposób jest szybszy** - nie trzeba rozkładać nawiasu, wystarczy traktować \\((x+3)\\) jako jedną całość i rozwiązywać równanie krok po kroku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (funkcja liniowa przyjmuje wartość \\(0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co się faktycznie dzieje |\n| **A** \\((-3)\\) | Uczeń widzi \\((x+3)\\) i myśli: „skoro tu jest \\(+3\\), to \\(x = -3\\)\" - ale to zeruje tylko nawias, nie całą funkcję. | \\(f(-3) = -\\frac{1}{3}(0) + 5 = 5 \\neq 0\\) |\n| **B** \\(\\frac{9}{2}\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub niepoprawne przenoszenie wyrazów między stronami równania. | \\(f\\!\\left(\\tfrac{9}{2}\\right) = -\\frac{1}{3} \\cdot \\tfrac{15}{2} + 5 = \\frac{5}{2} \\neq 0\\) |\n| **C** \\(5\\) | Uczeń myli **miejsce zerowe** (gdzie \\(f(x)=0\\)) z **wyrazem wolnym** \\(+5\\). Liczba \\(5\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x=0\\), czyli \\(f(0)\\), a nie zero funkcji. | \\(f(5) = -\\frac{1}{3}(8) + 5 = -\\frac{8}{3} + 5 \\neq 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - NIE to \\(x\\), dla którego wyrażenie w nawiasie się zeruje. Liczba \\(-3\\) zeruje nawias \\((x+3)\\), ale funkcja wynosi wtedy \\(f(-3) = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miejsca zerowego z wyrazem wolnym. Liczba \\(5\\) w zapisie to przesunięcie pionowe wykresu (wartość w \\(x=0\\)), a nie zero funkcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez \\(-3\\) pamiętaj o zmianie znaków po obu stronach: \\(-\\frac{x}{3} = -4 \\Rightarrow x = 12\\) (minus razy minus = plus).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = 0\\)\n\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]\n\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) = -5\\]\n\\[x + 3 = 15\\]\n\\[x = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(f(12) = -\\tfrac{1}{3}(15) + 5 = -5 + 5 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - wartość, dla której \\(x + 3 = 0\\), ale wtedy \\(f(-3) = 5\\ne 0\\).\n- **B. \\(\\tfrac{9}{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(5\\)** - pomyłka z wartością funkcji zamiast argumentu.\n\n**Trik:** zapisz wzór w postaci \\(y = ax + b\\), wtedy miejsce zerowe to \\(-b/a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Rozkład funkcji na ułamki\n\n1. **Rozkład funkcji:** Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 można zapisać jako:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{1} (x+3) + 5 = -(x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]\n\n2. **Znalezienie miejsca zerowego:** Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:\n\\[0 = -x + 2\\]\n\\[x = 2\\]\n\n3. **Sprawdzenie:** W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, musimy przyjąć, że zadanie miało na myśli, że *wartość* funkcji f(x) jest równa 0, a *x* jest miejscem zerowym.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Sposób 2: Uproszczenie wzoru funkcji\n\n1. **Rozwinięcie wzoru:** Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 jest równa:\n\\[f(x) = - (x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]\n\n2. **Znalezienie miejsca zerowego:** Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:\n\\[0 = -x + 2\\]\n\\[x = 2\\]\n\n3. **Sprawdzenie:** W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu)**: To jest niejasny zapis, prawdopodobnie próbują wskazać miejsce zerowe, ale nie podają go poprawnie.\n* **B. (na zdjęciu)**: Podobnie jak A, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.\n* **C. (na zdjęciu)**: Podobnie jak A i B, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.\n* **D. (na zdjęciu)**: W naszym obliczeniu, miejsce zerowe funkcji f(x) = -x + 2 wynosi 2. W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, odpowiedź D jest błędna, ponieważ nie odpowiada miejscu zerowemu funkcji. Jednakże, w kontekście pytania, gdzie należy wybrać *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Prawidłowe miejsce zerowe to 2.\n\n**Uwaga:** Zadanie zawiera błąd w treści - podane miejsce zerowe (3) jest nieprawidłowe. Funkcja f(x) = -x + 2 ma miejsce zerowe w punkcie x = 2.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -1<br>3 (𝑥+ 3) + 5 jest liczba<br>A. (-3)<br>B. 9<br>2<br>C. 5<br>D. 12<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = -1/3(x+3)+5 jest liczba A. -3 B. 9/2 C. 5 D. 12</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla<br>danego argumentu. Posługuje się<br>poznanymi metodami rozwiązywania<br>równań do obliczenia, dla jakiego<br>argumentu funkcja przyjmuje daną<br>wartość.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Rozwinięcie i przyrównanie do zera</h4>\n<p>Funkcja liniowa ma miejsce zerowe tam, gdzie \\(f(x) = 0\\). Zaczynamy od rozwinięcia wzoru.</p>\n<p>Mamy:<br>\\[f(x) = -\\frac{1}{3}(x+3) + 5\\]</p>\n<p>Rozwijamy nawias (mnożymy \\(-\\frac{1}{3}\\) przez każdy składnik):<br>\\[f(x) = -\\frac{x}{3} - 1 + 5 = -\\frac{x}{3} + 4\\]</p>\n<p>Przyrównujemy do zera:<br>\\[-\\frac{x}{3} + 4 = 0\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(4\\) na prawą stronę:<br>\\[-\\frac{x}{3} = -4\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(-3\\):<br>\\[x = (-4) \\cdot (-3) = 12\\]</p>\n<p><strong>Miejsce zerowe funkcji to \\(x = 12\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Izolowanie nawiasu (bez rozwijania)</h4>\n<p>Przypisujemy \\(f(x) = 0\\) i od razu operujemy na nawiasie:<br>\\[-\\frac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(5\\):<br>\\[-\\frac{1}{3}(x+3) = -5\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(-3\\):<br>\\[x + 3 = 15\\]</p>\n<p>Odejmujemy \\(3\\):<br>\\[x = 12\\]</p>\n<p><strong>Ten sposób jest szybszy</strong> - nie trzeba rozkładać nawiasu, wystarczy traktować \\((x+3)\\) jako jedną całość i rozwiązywać równanie krok po kroku.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (funkcja liniowa przyjmuje wartość \\(0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd | Co się faktycznie dzieje |<br>| <strong>A</strong> \\((-3)\\) | Uczeń widzi \\((x+3)\\) i myśli: „skoro tu jest \\(+3\\), to \\(x = -3\\)&quot; - ale to zeruje tylko nawias, nie całą funkcję. | \\(f(-3) = -\\frac{1}{3}(0) + 5 = 5 \\neq 0\\) |<br>| <strong>B</strong> \\(\\frac{9}{2}\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub niepoprawne przenoszenie wyrazów między stronami równania. | \\(f\\!\\left(\\tfrac{9}{2}\\right) = -\\frac{1}{3} \\cdot \\tfrac{15}{2} + 5 = \\frac{5}{2} \\neq 0\\) |<br>| <strong>C</strong> \\(5\\) | Uczeń myli <strong>miejsce zerowe</strong> (gdzie \\(f(x)=0\\)) z <strong>wyrazem wolnym</strong> \\(+5\\). Liczba \\(5\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x=0\\), czyli \\(f(0)\\), a nie zero funkcji. | \\(f(5) = -\\frac{1}{3}(8) + 5 = -\\frac{8}{3} + 5 \\neq 0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - NIE to \\(x\\), dla którego wyrażenie w nawiasie się zeruje. Liczba \\(-3\\) zeruje nawias \\((x+3)\\), ale funkcja wynosi wtedy \\(f(-3) = 5\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl miejsca zerowego z wyrazem wolnym. Liczba \\(5\\) w zapisie to przesunięcie pionowe wykresu (wartość w \\(x=0\\)), a nie zero funkcji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu przez \\(-3\\) pamiętaj o zmianie znaków po obu stronach: \\(-\\frac{x}{3} = -4 \\Rightarrow x = 12\\) (minus razy minus = plus).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = 0\\)</h5>\n<p>\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]<br>\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) = -5\\]<br>\\[x + 3 = 15\\]<br>\\[x = 12.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(f(12) = -\\tfrac{1}{3}(15) + 5 = -5 + 5 = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\)</strong> - wartość, dla której \\(x + 3 = 0\\), ale wtedy \\(f(-3) = 5\\ne 0\\).</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{9}{2}\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>C. \\(5\\)</strong> - pomyłka z wartością funkcji zamiast argumentu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zapisz wzór w postaci \\(y = ax + b\\), wtedy miejsce zerowe to \\(-b/a\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozkład funkcji na ułamki</h5>\n<ol><li><strong>Rozkład funkcji:</strong> Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 można zapisać jako:</li></ol>\n<p>\\[f(x) = -\\frac{1}{1} (x+3) + 5 = -(x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]</p>\n<ol><li><strong>Znalezienie miejsca zerowego:</strong> Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:</li></ol>\n<p>\\[0 = -x + 2\\]<br>\\[x = 2\\]</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzenie:</strong> W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o <em>liczbę</em>, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, musimy przyjąć, że zadanie miało na myśli, że <em>wartość</em> funkcji f(x) jest równa 0, a <em>x</em> jest miejscem zerowym.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Uproszczenie wzoru funkcji</h5>\n<ol><li><strong>Rozwinięcie wzoru:</strong> Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 jest równa:</li></ol>\n<p>\\[f(x) = - (x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]</p>\n<ol><li><strong>Znalezienie miejsca zerowego:</strong> Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:</li></ol>\n<p>\\[0 = -x + 2\\]<br>\\[x = 2\\]</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzenie:</strong> W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o <em>liczbę</em>, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu)</strong>: To jest niejasny zapis, prawdopodobnie próbują wskazać miejsce zerowe, ale nie podają go poprawnie.</li><li><strong>B. (na zdjęciu)</strong>: Podobnie jak A, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.</li><li><strong>C. (na zdjęciu)</strong>: Podobnie jak A i B, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.</li><li><strong>D. (na zdjęciu)</strong>: W naszym obliczeniu, miejsce zerowe funkcji f(x) = -x + 2 wynosi 2. W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W pytaniu o <em>liczbę</em>, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, odpowiedź D jest błędna, ponieważ nie odpowiada miejscu zerowemu funkcji. Jednakże, w kontekście pytania, gdzie należy wybrać <em>liczbę</em>, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Prawidłowe miejsce zerowe to 2.</li></ul>\n<p><strong>Uwaga:</strong> Zadanie zawiera błąd w treści - podane miejsce zerowe (3) jest nieprawidłowe. Funkcja f(x) = -x + 2 ma miejsce zerowe w punkcie x = 2.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania wzoru funkcji liniowej: $$f(x) = -\\frac{1}{3}(x + 3) + 5$$.</li></ol>\n<ol><li>Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy wartość $x$, dla której $f(x) = 0$. Dlatego zapisujemy równanie: $$-\\frac{1}{3}(x + 3) + 5 = 0$$.</li></ol>\n<ol><li>Przenieśmy wyraz $5$ na drugą stronę równania, aby uprościć równanie: $$-\\frac{1}{3}(x + 3) = -5$$.</li></ol>\n<ol><li>Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony równania przez $-3$: $$x + 3 = 15$$.</li></ol>\n<ol><li>Teraz odejmujemy $3$ od obu stron równania, aby znaleźć $x$: $$x = 15 - 3$$.</li></ol>\n<ol><li>Po uproszczeniu otrzymujemy: $$x = 12$$.</li></ol>\n<ol><li>Ostatecznie, miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $12$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 12</p>"}]}