{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n𝑊= (-3, 2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to\nA. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-3)2 + 2\nB. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 3)2 + 2\nC. 𝑓(𝑥) = (𝑥-3)2 + 2\nD. 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 3)2 + 2\nWykresem funkcji kwadratowej f(x)=3x^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to A. f(x)=3(x-3)^2+2 B. f(x)=3(x+3)^2+2 C. f(x)=(x-3)^2+2 D. f(x)=(x+3)^2+2","answer":"R","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.10) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej,\nw postaci ogólnej i w postaci iloczynowej\n(o ile istnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(f(x) = 3(x+3)^2 + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie do postaci kanonicznej\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej to:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli.\n\n**Odczytujemy dane:**\n- \\(a = 3\\) (współczynnik przy \\(x^2\\) dany w treści)\n- Wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\), więc \\(p = -3\\), \\(q = 2\\)\n\n**Podstawiamy:**\n\\[f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2\\]\n\\[f(x) = 3(x + 3)^2 + 2\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\) z warunków wierzchołka, potem powrót do postaci kanonicznej\n\nZe wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\implies -3 = -\\frac{b}{2 \\cdot 3} = -\\frac{b}{6}\\]\n\\[b = 18\\]\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} \\implies 2 = -\\frac{b^2 - 4ac}{4 \\cdot 3}\\]\n\\[2 = -\\frac{18^2 - 12c}{12} = -\\frac{324 - 12c}{12}\\]\n\\[24 = -(324 - 12c) = -324 + 12c\\]\n\\[12c = 348 \\implies c = 29\\]\n\nMamy więc \\(f(x) = 3x^2 + 18x + 29\\). Zapisujemy w postaci kanonicznej przez uzupełnienie do pełnego kwadratu:\n\\[f(x) = 3(x^2 + 6x) + 29 = 3(x^2 + 6x + 9 - 9) + 29\\]\n\\[= 3(x+3)^2 - 27 + 29 = 3(x+3)^2 + 2\\]\n\nWynik zgodny z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nKluczowy wzór w tym zadaniu - bezpośrednio łączy wierzchołek \\((p, q)\\) z postacią kanoniczną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wstawiono \\(p = +3\\) zamiast \\(p = -3\\) - pomylono znak. Wzór to \\((x - p)^2\\), więc dla \\(p = -3\\) mamy \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\), nie \\((x-3)^2\\) |\n| C | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\) oraz użyto złego znaku \\((x-3)^2\\) |\n| D | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\), choć przynajmniej znak przy \\(x\\) jest poprawny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać kanoniczna to \\(a(x - p)^2 + q\\) - jest **minus** przed \\(p\\). Gdy wierzchołek ma ujemną współrzędną \\(x\\), np. \\(p = -3\\), to wzór daje \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\). Bardzo łatwo tu o błąd znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a\\) przy \\(x^2\\) jest dany wprost w treści zadania (\\(3x^2\\)), więc \\(a = 3\\) przechodzi bez zmian do postaci kanonicznej. Nie wolno go \"zgubić\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\) to punkt \\((p, q)\\) - nie mylić kolejności: pierwsza współrzędna to \\(p\\) (pozioma), druga to \\(q\\) (pionowa, wartość minimum/maksimum funkcji).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\((p,q)\\) to wierzchołek.\nTutaj \\(a = 3\\), \\(p = -3\\), \\(q = 2\\):\n\\[f(x) = 3(x-(-3))^2 + 2 = 3(x+3)^2 + 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) w postaci ogólnej to \\(3\\), więc eliminujemy C, D. Zostaje A lub B. Wierzchołek ma \\(x = -3\\), więc \\((x+3)\\) w kwadracie, nie \\((x-3)\\). Odpowiedź: B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zły znak przed 3 - dawałoby wierzchołek \\((3, 2)\\).\n- **C, D.** Brak współczynnika 3 przed kwadratem.\n\n**Trik:** \\((x-p)^2\\) w postaci kanonicznej, gdzie \\(p\\) to x-współrzędna wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i postaci kanonicznej\n\n1. **Znamy wierzchołek:** W=(-3, 2). Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej ma współrzędne w postaci: \\(W = \\left(-\\frac{b}{2a}, -\\frac{Δ}{4a}\\right)\\). W naszym przypadku \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\), więc \\(a = 3\\).\n2. **Obliczamy b/2a:** \\(b/2a = -3/2 \\cdot 3 = -9/2\\).\n3. **Obliczamy Δ:** Wierzchołek jest w punkcie (-3, 2), więc \\(2 = f(-3) = 3(-3)^2 + b(-3) + c = 27 - 3b + c\\).\n4. **Postać kanoniczna:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to: \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie \\(w\\) to współrzędna x wierzchołka, a \\(p\\) to wartość funkcji w wierzchołku. W naszym przypadku \\(w = -3\\) i \\(p = 2\\). Zatem: \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs)** (s.4)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie danych o wierzchołku i współczynnika przy x² do bezpośredniego wypisania wzoru\n\n1. **Wierzchołek:** W=(-3, 2)\n2. **Współczynnik przy x²:** a = 3\n3. **Wzór na funkcję w postaci kanonicznej:** \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie a = 3, w = -3, p = 2.\n4. **Podstawiamy wartości:** \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** (s.7)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(x) = 3(x - 3)^2 + 2\\)**: Wierzchołek paraboli w tym przypadku to (3, 2), co jest błędne.\n* **C. \\((x - 3)^2 + 2\\)**: To jest postać ogólna funkcji kwadratowej, a nie kanoniczna. Wierzchołek tej funkcji to (3, 2), co również jest błędne.\n* **B. \\(f(x) = 3(x + 3)^2 + 2\\)**: To jest poprawna postać kanoniczna funkcji, zgodnie z danymi w zadaniu.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wykresem funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest parabola o wierzchołku w punkcie
𝑊= (-3, 2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to
A. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-3)2 + 2
B. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 3)2 + 2
C. 𝑓(𝑥) = (𝑥-3)2 + 2
D. 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 3)2 + 2
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=3x^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to A. f(x)=3(x-3)^2+2 B. f(x)=3(x+3)^2+2 C. f(x)=(x-3)^2+2 D. f(x)=(x+3)^2+2

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
4.10) interpretuje współczynniki
występujące we wzorze funkcji
kwadratowej w postaci kanonicznej,
w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej
(o ile istnieje).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
B
A
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(f(x) = 3(x+3)^2 + 2\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie do postaci kanonicznej

\n

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]
gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli.

\n

Odczytujemy dane:

\n\n

Podstawiamy:
\\[f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2\\]
\\[f(x) = 3(x + 3)^2 + 2\\]

\n

Odpowiedź: B

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\) z warunków wierzchołka, potem powrót do postaci kanonicznej

\n

Ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\):
\\[p = -\\frac{b}{2a} \\implies -3 = -\\frac{b}{2 \\cdot 3} = -\\frac{b}{6}\\]
\\[b = 18\\]

\n

\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} \\implies 2 = -\\frac{b^2 - 4ac}{4 \\cdot 3}\\]
\\[2 = -\\frac{18^2 - 12c}{12} = -\\frac{324 - 12c}{12}\\]
\\[24 = -(324 - 12c) = -324 + 12c\\]
\\[12c = 348 \\implies c = 29\\]

\n

Mamy więc \\(f(x) = 3x^2 + 18x + 29\\). Zapisujemy w postaci kanonicznej przez uzupełnienie do pełnego kwadratu:
\\[f(x) = 3(x^2 + 6x) + 29 = 3(x^2 + 6x + 9 - 9) + 29\\]
\\[= 3(x+3)^2 - 27 + 29 = 3(x+3)^2 + 2\\]

\n

Wynik zgodny z Odpowiedzią B. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Kluczowy wzór w tym zadaniu - bezpośrednio łączy wierzchołek \\((p, q)\\) z postacią kanoniczną.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Wstawiono \\(p = +3\\) zamiast \\(p = -3\\) - pomylono znak. Wzór to \\((x - p)^2\\), więc dla \\(p = -3\\) mamy \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\), nie \\((x-3)^2\\) |
| C | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\) oraz użyto złego znaku \\((x-3)^2\\) |
| D | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\), choć przynajmniej znak przy \\(x\\) jest poprawny |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Postać kanoniczna to \\(a(x - p)^2 + q\\) - jest minus przed \\(p\\). Gdy wierzchołek ma ujemną współrzędną \\(x\\), np. \\(p = -3\\), to wzór daje \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\). Bardzo łatwo tu o błąd znaku!
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik \\(a\\) przy \\(x^2\\) jest dany wprost w treści zadania (\\(3x^2\\)), więc \\(a = 3\\) przechodzi bez zmian do postaci kanonicznej. Nie wolno go "zgubić".
\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\) to punkt \\((p, q)\\) - nie mylić kolejności: pierwsza współrzędna to \\(p\\) (pozioma), druga to \\(q\\) (pionowa, wartość minimum/maksimum funkcji).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Postać kanoniczna
\n

Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\((p,q)\\) to wierzchołek.
Tutaj \\(a = 3\\), \\(p = -3\\), \\(q = 2\\):
\\[f(x) = 3(x-(-3))^2 + 2 = 3(x+3)^2 + 2.\\]

\n
Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi
\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) w postaci ogólnej to \\(3\\), więc eliminujemy C, D. Zostaje A lub B. Wierzchołek ma \\(x = -3\\), więc \\((x+3)\\) w kwadracie, nie \\((x-3)\\). Odpowiedź: B.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\((x-p)^2\\) w postaci kanonicznej, gdzie \\(p\\) to x-współrzędna wierzchołka.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i postaci kanonicznej
\n
  1. Znamy wierzchołek: W=(-3, 2). Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej ma współrzędne w postaci: \\(W = \\left(-\\frac{b}{2a}, -\\frac{Δ}{4a}\\right)\\). W naszym przypadku \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\), więc \\(a = 3\\).
  2. Obliczamy b/2a: \\(b/2a = -3/2 \\cdot 3 = -9/2\\).
  3. Obliczamy Δ: Wierzchołek jest w punkcie (-3, 2), więc \\(2 = f(-3) = 3(-3)^2 + b(-3) + c = 27 - 3b + c\\).
  4. Postać kanoniczna: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to: \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie \\(w\\) to współrzędna x wierzchołka, a \\(p\\) to wartość funkcji w wierzchołku. W naszym przypadku \\(w = -3\\) i \\(p = 2\\). Zatem: \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).
\n

📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs) (s.4)

\n
Sposób 2: Wykorzystanie danych o wierzchołku i współczynnika przy x² do bezpośredniego wypisania wzoru
\n
  1. Wierzchołek: W=(-3, 2)
  2. Współczynnik przy x²: a = 3
  3. Wzór na funkcję w postaci kanonicznej: \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie a = 3, w = -3, p = 2.
  4. Podstawiamy wartości: \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).
\n

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b² (s.7)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: $$f(x) = 3x^2 + bx + c$$.\\n\\n2. Wiemy, że wierzchołek parabolii $W$ ma współrzędne $(-3, 2)$. Funkcję kwadratową możemy zapisać w postaci kanonicznej jako: $$f(x) = a(x - p)^2 + q$$, gdzie $(p, q)$ to wierzchołek. \\n\\n3. W naszym przypadku mamy: $p = -3$ oraz $q = 2$. Zauważamy więc, że $a = 3$, ponieważ to jest współczynnik przy $x^2$.\\n\\n4. Podstawiamy wartości do wzoru kanonicznego: $$f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2$$.\\n\\n5. Upraszczamy wyrażenie: $$f(x) = 3(x + 3)^2 + 2$$.\\n\\n6. Teraz, porównując to z opcjami podanymi w zadaniu, widzimy, że dokładnie odpowiada opcji B: $$f(x) = 3(x + 3)^2 + 2$$.\\n\\n7. Zauważamy, że pozostałe opcje, A, C i D, mają różne współczynniki oraz wierzchołki. W szczególności: \\n- opcja A: $f(x) = 3(x - 3)^2 + 2$ ma wierzchołek w $x = 3$.\\n- opcja C: $f(x) = (x - 3)^2 + 2$ ma złe $a$ i wierzchołek w $x = 3$.\\n- opcja D: $f(x) = (x + 3)^2 + 2$ ma złe $a$ i wierzchołek w $x = -3$ z wartością $q$ różną.\\n\\nOdpowiedź: B
"}]}