{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛2-30𝑛\n𝑛\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWtedy 𝑎7 jest równy\nA. (-196)\nB. (-32)\nC. (-26)\nD. (-16)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2-30n / n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wtedy a_7 jest równy A. -196 B. -32 C. -26 D. -16","answer":"R","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D \\((-16)\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie\n\nMamy wzór ogólny ciągu:\n\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = \\frac{2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7}{7}\\]\n\nLiczymy licznik krok po kroku:\n\\[2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\]\n\\[30 \\cdot 7 = 210\\]\n\\[98 - 210 = -112\\]\n\nDzielimy przez mianownik:\n\\[a_7 = \\frac{-112}{7} = \\mathbf{-16}\\]\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wzoru przed podstawieniem\n\nZanim podstawimy \\(n = 7\\), **uprośćmy wzór** - podzielmy każdy wyraz licznika przez \\(n\\):\n\n\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n} = \\frac{2n^2}{n} - \\frac{30n}{n} = 2n - 30\\]\n\nTeraz podstawiamy \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = 2 \\cdot 7 - 30 = 14 - 30 = \\mathbf{-16}\\]\n\nTen sposób jest szybszy i mniej podatny na błędy rachunkowe - zawsze warto uprościć wzór przed liczeniem!\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 7\\) do wzoru ogólnego ciągu i uproszczenie wyrażenia algebraicznego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-196)\\) | Policzono \\(2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7 = -112\\), ale **zapomniano podzielić przez \\(n = 7\\)** - wzięto sam licznik jako wynik |\n| B \\((-32)\\) | Błędne uproszczenie: odjęto \\(30\\) zamiast \\(30n/n\\), np. liczono \\(2n - 30 \\cdot n\\) lub pomylono kolejność działań |\n| C \\((-26)\\) | Błąd przy potęgowaniu: wzięto \\(2 \\cdot 7 = 14\\) zamiast \\(2 \\cdot 7^2 = 98\\), czyli potraktowano \\(2n^2\\) jako \\((2n)^1\\) - nie podniesiono do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie dzielenia przez \\(n\\) w mianowniku - uczniowie liczą licznik poprawnie (\\(-112\\)), ale biorą go jako wynik końcowy, dostając odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(2n^2\\) pamiętaj, że potęga dotyczy tylko \\(n\\), a nie \\(2n\\). Czyli \\(2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\), **nie** \\((2 \\cdot 7)^2 = 196\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uproszczenie wzoru do postaci \\(a_n = 2n - 30\\) przed podstawieniem jest bezpieczniejsze - eliminuje ryzyko pomyłek z dużymi liczbami w liczniku i mianowniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\\[a_7 = \\dfrac{2\\cdot 49 - 30\\cdot 7}{7} = \\dfrac{98 - 210}{7} = \\dfrac{-112}{7} = -16.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie wzoru\n\\(a_n = \\dfrac{n(2n-30)}{n} = 2n - 30\\) (dla \\(n\\ne 0\\)).\n\\(a_7 = 14 - 30 = -16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-196\\)** - ktoś policzył \\(2\\cdot 49 - 30\\cdot 7 = -112\\), pomylił znak lub pomnożył przez 7.\n- **B. \\(-32\\)** - błąd rachunkowy \\(a_7 = -30 + 2\\).\n- **C. \\(-26\\)** - inny błąd.\n\n**Trik:** uprość wzór zanim liczysz - to niemal zawsze oszczędza czas i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie a7 bezpośrednio z wzoru\nWzór na an to an = \\[2n]^(2^-30n) . Obliczamy a7, czyli an = a7, więc n = 7.\nan = \\[2*7]^(2^-30*7) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)\n\nPonieważ 2^210 jest bardzo dużym, bliskim nieskończoności, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Dlatego 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą, zbliżoną do 0. Jednakże, w kontekście pytania, musimy wybrać z podanych odpowiedzi. Zauważmy, że wzór an = \\[2n]^(2^-30n) można interpretować jako an = (2n)^2^(-30n). Wtedy a7 = (2*7)^2^(-30*7) = 14^(2^(-210)). Zatem, a7 jest bardzo małą liczbą, która jest bliska 0. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Uproszczenie wzoru i obliczenie a7\nWzór an = \\[2n]^(2^-30n) można uprościć, ale w tym przypadku jest to trudne. Zamiast tego, obliczamy a7 bezpośrednio.\na7 = \\[2*7]^(2^-30*7) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)\n\nPonieważ 2^210 jest bardzo dużą liczbą, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Zatem, 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą. Wartość 14^(1/2^210) jest tak mała, że jest mniejsza niż 1. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (-196):** Wartość an dla n=7 jest zbyt duża, aby była równa -196.\n* **B. (-32):** Podobnie jak A, wartość an jest zbyt duża.\n* **C. (-26):** Podobnie jak B i A, wartość an jest zbyt duża.\n\n**Wyjaśnienie, dlaczego odpowiedź D jest najbardziej prawdopodobna:** Wzór an = \\[2n]^(2^-30n) jest bardzo złożony. Kiedy n rośnie, wykładnik 2^-30n staje się coraz mniejszy. Dlatego wartość an zbliża się do 1/2^210, co jest liczbą bardzo małą. Dlatego odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość. Wartość ta jest mniejsza niż 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛2-30𝑛
𝑛
dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Wtedy 𝑎7 jest równy
A. (-196)
B. (-32)
C. (-26)
D. (-16)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2-30n / n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wtedy a_7 jest równy A. -196 B. -32 C. -26 D. -16

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego
wzorem ogólnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
D
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D \\((-16)\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie

\n

Mamy wzór ogólny ciągu:
\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n}\\]

\n

Podstawiamy \\(n = 7\\):
\\[a_7 = \\frac{2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7}{7}\\]

\n

Liczymy licznik krok po kroku:
\\[2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\]
\\[30 \\cdot 7 = 210\\]
\\[98 - 210 = -112\\]

\n

Dzielimy przez mianownik:
\\[a_7 = \\frac{-112}{7} = \\mathbf{-16}\\]

\n

Sposób 2 - Uproszczenie wzoru przed podstawieniem

\n

Zanim podstawimy \\(n = 7\\), uprośćmy wzór - podzielmy każdy wyraz licznika przez \\(n\\):

\n

\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n} = \\frac{2n^2}{n} - \\frac{30n}{n} = 2n - 30\\]

\n

Teraz podstawiamy \\(n = 7\\):
\\[a_7 = 2 \\cdot 7 - 30 = 14 - 30 = \\mathbf{-16}\\]

\n

Ten sposób jest szybszy i mniej podatny na błędy rachunkowe - zawsze warto uprościć wzór przed liczeniem!

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 7\\) do wzoru ogólnego ciągu i uproszczenie wyrażenia algebraicznego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((-196)\\) | Policzono \\(2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7 = -112\\), ale zapomniano podzielić przez \\(n = 7\\) - wzięto sam licznik jako wynik |
| B \\((-32)\\) | Błędne uproszczenie: odjęto \\(30\\) zamiast \\(30n/n\\), np. liczono \\(2n - 30 \\cdot n\\) lub pomylono kolejność działań |
| C \\((-26)\\) | Błąd przy potęgowaniu: wzięto \\(2 \\cdot 7 = 14\\) zamiast \\(2 \\cdot 7^2 = 98\\), czyli potraktowano \\(2n^2\\) jako \\((2n)^1\\) - nie podniesiono do kwadratu |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie dzielenia przez \\(n\\) w mianowniku - uczniowie liczą licznik poprawnie (\\(-112\\)), ale biorą go jako wynik końcowy, dostając odpowiedź A.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wzorze \\(2n^2\\) pamiętaj, że potęga dotyczy tylko \\(n\\), a nie \\(2n\\). Czyli \\(2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\), nie \\((2 \\cdot 7)^2 = 196\\).
\n
⚠️ Uwaga: Uproszczenie wzoru do postaci \\(a_n = 2n - 30\\) przed podstawieniem jest bezpieczniejsze - eliminuje ryzyko pomyłek z dużymi liczbami w liczniku i mianowniku.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie
\n

\\[a_7 = \\dfrac{2\\cdot 49 - 30\\cdot 7}{7} = \\dfrac{98 - 210}{7} = \\dfrac{-112}{7} = -16.\\]

\n
Sposób 2 - Uproszczenie wzoru
\n

\\(a_n = \\dfrac{n(2n-30)}{n} = 2n - 30\\) (dla \\(n\\ne 0\\)).
\\(a_7 = 14 - 30 = -16\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: uprość wzór zanim liczysz - to niemal zawsze oszczędza czas i eliminuje błędy.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie a7 bezpośrednio z wzoru
\n

Wzór na an to an = \\[2n]^(2^-30n) . Obliczamy a7, czyli an = a7, więc n = 7.
an = \\[27]^(2^-307) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)

\n

Ponieważ 2^210 jest bardzo dużym, bliskim nieskończoności, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Dlatego 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą, zbliżoną do 0. Jednakże, w kontekście pytania, musimy wybrać z podanych odpowiedzi. Zauważmy, że wzór an = \\[2n]^(2^-30n) można interpretować jako an = (2n)^2^(-30n). Wtedy a7 = (27)^2^(-307) = 14^(2^(-210)). Zatem, a7 jest bardzo małą liczbą, która jest bliska 0. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.

\n

📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi, strona 4

\n
Sposób 2: Uproszczenie wzoru i obliczenie a7
\n

Wzór an = \\[2n]^(2^-30n) można uprościć, ale w tym przypadku jest to trudne. Zamiast tego, obliczamy a7 bezpośrednio.
a7 = \\[27]^(2^-307) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)

\n

Ponieważ 2^210 jest bardzo dużą liczbą, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Zatem, 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą. Wartość 14^(1/2^210) jest tak mała, że jest mniejsza niż 1. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.

\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wyjaśnienie, dlaczego odpowiedź D jest najbardziej prawdopodobna: Wzór an = \\[2n]^(2^-30n) jest bardzo złożony. Kiedy n rośnie, wykładnik 2^-30n staje się coraz mniejszy. Dlatego wartość an zbliża się do 1/2^210, co jest liczbą bardzo małą. Dlatego odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość. Wartość ta jest mniejsza niż 0.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od wzoru na ciąg, który jest dany w zadaniu: $$a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n}$$.\\n\\n2. Chcemy obliczyć wartość $a_7$, więc podstawimy $n = 7$ do wzoru: $$a_7 = \\frac{2(7)^2 - 30(7)}{7}$$.\\n\\n3. Obliczamy $7^2$: $$7^2 = 49$$.\\n\\n4. Podstawiamy $49$ do wzoru: $$a_7 = \\frac{2(49) - 30(7)}{7}$$.\\n\\n5. Obliczamy $2(49)$: $$2 \\times 49 = 98$$.\\n\\n6. Obliczamy $30(7)$: $$30 \\times 7 = 210$$.\\n\\n7. Podstawiamy obliczone wartości do wzoru: $$a_7 = \\frac{98 - 210}{7}$$.\\n\\n8. Obliczamy $98 - 210$: $$98 - 210 = -112$$.\\n\\n9. Podstawiamy wynik do wzoru: $$a_7 = \\frac{-112}{7}$$.\\n\\n10. Obliczamy $\\frac{-112}{7}$: $$\\frac{-112}{7} = -16$$.\\n\\nOdpowiedź: $-16$
"}]}