{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,\n𝑎5 = -31 oraz 𝑎10 = -66. Różnica tego ciągu jest równa\nA. (-7)\nB. (-19,4)\nC. 7\nD. 19,4\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_5=-31 oraz a_10=-66. Różnica tego ciągu jest równa A. -7 B. -19,4 C. 7 D. 19,4","answer":"R","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - różnica wynosi \\(-7\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na \\(n\\)-ty wyraz\n\n**Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[a_5 = a_1 + 4r = -31\\]\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = -66\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego** (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\]\n\\[5r = -66 + 31\\]\n\\[5r = -35\\]\n\\[\\boxed{r = -7}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z własności ciągu arytmetycznego\n\nMiędzy wyrazem \\(a_5\\) a wyrazem \\(a_{10}\\) jest dokładnie **5 kroków** (przejść o różnicę \\(r\\)):\n\\[a_{10} = a_5 + 5r\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[-66 = -31 + 5r\\]\n\\[5r = -66 + 31 = -35\\]\n\\[\\boxed{r = -7}\\]\n\n**Weryfikacja** - wyznaczmy \\(a_1\\) i sprawdźmy:\n\\[a_1 = a_5 - 4r = -31 - 4 \\cdot (-7) = -31 + 28 = -3\\]\n\\[a_{10} = -3 + 9 \\cdot (-7) = -3 - 63 = -66 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, zapisując \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) jako równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-19{,}4\\) | Uczeń dzieli różnicę wyrazów przez liczbę wyrazów zamiast przez liczbę kroków: \\(\\frac{-66-(-31)}{5}\\) wydaje się ok, ale jest prawidłowe - błąd tkwi gdzie indziej, np. pomylenie \\(-66+31=-35\\) z \\(-66-31=-97\\), a następnie \\(\\frac{-97}{5} = -19{,}4\\) |\n| C. \\(7\\) | Poprawna wartość bezwzględna \\(|r| = 7\\), ale uczeń gubi znak - zapomina, że ciąg **maleje** (\\(a_{10} < a_5\\)), więc \\(r < 0\\) |\n| D. \\(19{,}4\\) | Połączenie obu błędów z B i C - pomylony znak i zła liczba w liczniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **kroków** między \\(a_5\\) a \\(a_{10}\\) to \\(10 - 5 = 5\\), nie 6. Łatwo pomylić liczbę wyrazów z liczbą kroków - zawsze odejmuj indeksy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg maleje (\\(-31 > -66\\)), więc różnica **musi być ujemna**. Jeśli wychodzi \\(r > 0\\), na pewno popełniłeś błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić różnicy ciągu \\(r\\) z różnicą wyrazów \\(a_{10} - a_5 = -35\\). Różnica ciągu to \\(r = \\frac{-35}{5} = -7\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Różnica między wyrazami\n\\(a_{10} - a_5 = 5r\\) (bo mamy 5 kroków różnicy).\n\\(-66 - (-31) = -35 = 5r\\), więc \\(r = -7\\).\n\n### Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Układ:\n\\(a_1 + 4r = -31\\), \\(a_1 + 9r = -66\\).\nOdejmujemy: \\(5r = -35\\), \\(r = -7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-19{,}4\\)** - pomyłka dzielenia \\(-97/5\\).\n- **C. \\(7\\)** - zły znak.\n- **D. \\(19{,}4\\)** - błąd analogicznie do B.\n\n**Trik:** \\(a_m - a_n = (m-n)r\\) - szybki sposób na znalezienie różnicy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy ciąg arytmetyczny, gdzie \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Chcemy znaleźć różnicę tego ciągu, oznaczmy ją przez \\(r\\).\n2. **Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\n3. **Wykorzystanie danych:**\n* Dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + (5-1)r = a_1 + 4r = -31\\)\n* Dla \\(n = 10\\): \\(a_{10} = a_1 + (10-1)r = a_1 + 9r = -66\\)\n4. **Rozwiązanie układu równań:** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\\((a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\)\n\\(5r = -35\\)\n\\(r = -7\\)\n5. **Wniosek:** Różnica ciągu arytmetycznego wynosi -7.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Możemy wykorzystać sumę n-tych wyrazów, aby znaleźć różnicę.\n2. **Wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n3. **Wykorzystanie danych:**\n* \\(S_{10} - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = a_{6.5}*5 = a_{10} - a_5 = -66 - (-31) = -35\\)\n* Ponieważ \\(a_6.5 = \\frac{a_6+a_7}{2}\\), to możemy też \\(a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = \\frac{5}{2}(a_6 + a_{10}) = \\frac{5}{2}(a_6 + a_1 + 9r)\\)\n4. **Wykorzystanie wzoru na sumę:**\n* \\(S_{10} = \\frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(a_1 - 66)\\)\n* \\(S_5 = \\frac{5}{2}(a_1 + a_5) = \\frac{5}{2}(a_1 - 31)\\)\n* \\(S_{10} - S_5 = 5(a_1 - 66) - \\frac{5}{2}(a_1 - 31) = -35\\)\n5. **Rozwiązanie równania:**\n\\(5a_1 - 330 - \\frac{5}{2}a_1 + \\frac{155}{2} = -35\\)\n\\(\\frac{10}{2}a_1 - \\frac{5}{2}a_1 = -35 + 330 - \\frac{155}{2}\\)\n\\(\\frac{5}{2}a_1 = 295 - \\frac{155}{2} = \\frac{590 - 155}{2} = \\frac{435}{2}\\)\n\\(a_1 = \\frac{435}{2} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{435}{5} = 87\\)\nTeraz możemy obliczyć \\(r\\) z równania \\(a_5 = a_1 + 4r\\):\n\\(-31 = 87 + 4r\\)\n\\(4r = -31 - 87 = -118\\)\n\\(r = -\\frac{118}{4} = -\\frac{59}{2}\\) (To jest błąd, ponieważ r= -7)\nMusimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na różnicę ciągu arytmetycznego.\n* **C) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.\n* **D) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, który pozwala bezpośrednio obliczyć różnicę \\(r\\). Sposób 2, choć teoretycznie poprawny, prowadzi do bardziej skomplikowanych obliczeń i łatwo popełnić błąd.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,<br>𝑎5 = -31 oraz 𝑎10 = -66. Różnica tego ciągu jest równa<br>A. (-7)<br>B. (-19,4)<br>C. 7<br>D. 19,4<br>W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_5=-31 oraz a_10=-66. Różnica tego ciągu jest równa A. -7 B. -19,4 C. 7 D. 19,4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - różnica wynosi \\(-7\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z wzoru na \\(n\\)-ty wyraz</h4>\n<p><strong>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:</strong><br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p>Zapisujemy dwa równania na podstawie danych:<br>\\[a_5 = a_1 + 4r = -31\\]<br>\\[a_{10} = a_1 + 9r = -66\\]</p>\n<p><strong>Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego</strong> (eliminujemy \\(a_1\\)):<br>\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\]<br>\\[5r = -66 + 31\\]<br>\\[5r = -35\\]<br>\\[\\boxed{r = -7}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio z własności ciągu arytmetycznego</h4>\n<p>Między wyrazem \\(a_5\\) a wyrazem \\(a_{10}\\) jest dokładnie <strong>5 kroków</strong> (przejść o różnicę \\(r\\)):<br>\\[a_{10} = a_5 + 5r\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[-66 = -31 + 5r\\]<br>\\[5r = -66 + 31 = -35\\]<br>\\[\\boxed{r = -7}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja</strong> - wyznaczmy \\(a_1\\) i sprawdźmy:<br>\\[a_1 = a_5 - 4r = -31 - 4 \\cdot (-7) = -31 + 28 = -3\\]<br>\\[a_{10} = -3 + 9 \\cdot (-7) = -3 - 63 = -66 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, zapisując \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) jako równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B. \\(-19{,}4\\) | Uczeń dzieli różnicę wyrazów przez liczbę wyrazów zamiast przez liczbę kroków: \\(\\frac{-66-(-31)}{5}\\) wydaje się ok, ale jest prawidłowe - błąd tkwi gdzie indziej, np. pomylenie \\(-66+31=-35\\) z \\(-66-31=-97\\), a następnie \\(\\frac{-97}{5} = -19{,}4\\) |<br>| C. \\(7\\) | Poprawna wartość bezwzględna \\(|r| = 7\\), ale uczeń gubi znak - zapomina, że ciąg <strong>maleje</strong> (\\(a_{10} &lt; a_5\\)), więc \\(r &lt; 0\\) |<br>| D. \\(19{,}4\\) | Połączenie obu błędów z B i C - pomylony znak i zła liczba w liczniku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba <strong>kroków</strong> między \\(a_5\\) a \\(a_{10}\\) to \\(10 - 5 = 5\\), nie 6. Łatwo pomylić liczbę wyrazów z liczbą kroków - zawsze odejmuj indeksy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg maleje (\\(-31 &gt; -66\\)), więc różnica <strong>musi być ujemna</strong>. Jeśli wychodzi \\(r &gt; 0\\), na pewno popełniłeś błąd znaku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić różnicy ciągu \\(r\\) z różnicą wyrazów \\(a_{10} - a_5 = -35\\). Różnica ciągu to \\(r = \\frac{-35}{5} = -7\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Różnica między wyrazami</h5>\n<p>\\(a_{10} - a_5 = 5r\\) (bo mamy 5 kroków różnicy).<br>\\(-66 - (-31) = -35 = 5r\\), więc \\(r = -7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego</h5>\n<p>\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Układ:<br>\\(a_1 + 4r = -31\\), \\(a_1 + 9r = -66\\).<br>Odejmujemy: \\(5r = -35\\), \\(r = -7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-19{,}4\\)</strong> - pomyłka dzielenia \\(-97/5\\).</li><li><strong>C. \\(7\\)</strong> - zły znak.</li><li><strong>D. \\(19{,}4\\)</strong> - błąd analogicznie do B.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_m - a_n = (m-n)r\\) - szybki sposób na znalezienie różnicy.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie problemu:</strong> Mamy ciąg arytmetyczny, gdzie \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Chcemy znaleźć różnicę tego ciągu, oznaczmy ją przez \\(r\\).</li><li><strong>Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:</strong> \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)</li><li><strong>Wykorzystanie danych:</strong></li></ol>\n<ul><li>Dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + (5-1)r = a_1 + 4r = -31\\)</li><li>Dla \\(n = 10\\): \\(a_{10} = a_1 + (10-1)r = a_1 + 9r = -66\\)</li></ul>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie układu równań:</strong> Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:</li></ol>\n<p>\\((a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\)<br>\\(5r = -35\\)<br>\\(r = -7\\)</p>\n<ol><li><strong>Wniosek:</strong> Różnica ciągu arytmetycznego wynosi -7.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie problemu:</strong> Mamy \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Możemy wykorzystać sumę n-tych wyrazów, aby znaleźć różnicę.</li><li><strong>Wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:</strong> \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)</li><li><strong>Wykorzystanie danych:</strong></li></ol>\n<ul><li>\\(S_{10} - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = a_{6.5}*5 = a_{10} - a_5 = -66 - (-31) = -35\\)</li><li>Ponieważ \\(a_6.5 = \\frac{a_6+a_7}{2}\\), to możemy też \\(a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = \\frac{5}{2}(a_6 + a_{10}) = \\frac{5}{2}(a_6 + a_1 + 9r)\\)</li></ul>\n<ol><li><strong>Wykorzystanie wzoru na sumę:</strong></li></ol>\n<ul><li>\\(S_{10} = \\frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(a_1 - 66)\\)</li><li>\\(S_5 = \\frac{5}{2}(a_1 + a_5) = \\frac{5}{2}(a_1 - 31)\\)</li><li>\\(S_{10} - S_5 = 5(a_1 - 66) - \\frac{5}{2}(a_1 - 31) = -35\\)</li></ul>\n<ol><li><strong>Rozwiązanie równania:</strong></li></ol>\n<p>\\(5a_1 - 330 - \\frac{5}{2}a_1 + \\frac{155}{2} = -35\\)<br>\\(\\frac{10}{2}a_1 - \\frac{5}{2}a_1 = -35 + 330 - \\frac{155}{2}\\)<br>\\(\\frac{5}{2}a_1 = 295 - \\frac{155}{2} = \\frac{590 - 155}{2} = \\frac{435}{2}\\)<br>\\(a_1 = \\frac{435}{2} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{435}{5} = 87\\)<br>Teraz możemy obliczyć \\(r\\) z równania \\(a_5 = a_1 + 4r\\):<br>\\(-31 = 87 + 4r\\)<br>\\(4r = -31 - 87 = -118\\)<br>\\(r = -\\frac{118}{4} = -\\frac{59}{2}\\) (To jest błąd, ponieważ r= -7)<br>Musimy wrócić do pierwszego sposobu.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B) (na zdjęciu)</strong> - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na różnicę ciągu arytmetycznego.</li><li><strong>C) (na zdjęciu)</strong> - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.</li><li><strong>D) (na zdjęciu)</strong> - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.</li></ul>\n<p>W tym zadaniu kluczowe jest zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, który pozwala bezpośrednio obliczyć różnicę \\(r\\). Sposób 2, choć teoretycznie poprawny, prowadzi do bardziej skomplikowanych obliczeń i łatwo popełnić błąd.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy: $a_{10}=a_5+5r$, więc $-66=-31+5r$, co prowadzi do $r=-7$.</p>"}]}