Zadanie 15. (0-1)
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej
liczby naturalnej 𝑛≥1, są dodatnie i 9𝑎5 = 4𝑎3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A. 2
3
B. 3
2
C. 2
9
D. 9
2
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1, są dodatnie i 9a_5=4a_3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy A. 2/3 B. 3/2 C. 2/9 D. 9/2
Zadanie 15. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
geometrycznego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
A
A
Wzór ogólny ciągu geometrycznego: \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\)
\nZapisujemy \\(a_5\\) i \\(a_3\\):
\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4, \\qquad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]
Podstawiamy do warunku \\(9a_5 = 4a_3\\):
\\[9 \\cdot a_1 q^4 = 4 \\cdot a_1 q^2\\]
Dzielimy obie strony przez \\(a_1 q^2\\) (możemy, bo wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \\(a_1 > 0\\) i \\(q > 0\\)):
\\[9q^2 = 4\\]
Rozwiązujemy:
\\[q^2 = \\frac{4}{9}\\]
\\[q = \\pm\\frac{2}{3}\\]
Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, iloraz musi być dodatni:
\\[q = \\frac{2}{3}\\]
Odpowiedź: \\(q = \\dfrac{2}{3}\\)
\nZauważamy, że \\(a_5\\) i \\(a_3\\) dzielą dwie "pozycje" w ciągu, więc:
\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{a_1 q^4}{a_1 q^2} = q^2\\]
Z warunku \\(9a_5 = 4a_3\\) wyznaczamy ten stosunek:
\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{4}{9}\\]
Zatem:
\\[q^2 = \\frac{4}{9}\\]
Stąd \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) (ujemne odrzucamy - wyrazy dodatnie).
\nWeryfikacja: Przyjmijmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = \\dfrac{2}{3}\\).
\\[a_3 = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}, \\qquad a_5 = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^4 = \\frac{16}{81}\\]
\\[9a_5 = 9 \\cdot \\frac{16}{81} = \\frac{16}{9}, \\qquad 4a_3 = 4 \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{16}{9} \\checkmark\\]
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło wyeliminować \\(a_1\\) i wyznaczyć \\(q\\).
| Odp. | Błąd |
| B: \\(\\dfrac{3}{2}\\) | Wzięto odwrotność - ktoś rozwiązał \\(q^2 = \\dfrac{9}{4}\\) zamiast \\(\\dfrac{4}{9}\\), co daje \\(q = \\dfrac{3}{2}\\). Błąd przy przestawianiu stron równania: \\(9a_5 = 4a_3\\) pomylono z \\(4a_5 = 9a_3\\) |
| C: \\(\\dfrac{2}{9}\\) | Ktoś myśli, że \\(q^2 = \\dfrac{4}{9}\\) implikuje \\(q = \\dfrac{4}{9} \\div 2 = \\dfrac{2}{9}\\) - zapomina, że trzeba pierwiastkować, nie dzielić przez 2 |
| D: \\(\\dfrac{9}{2}\\) | Podwójny błąd: odwrócenie stosunku AND pominięcie pierwiastka - wynik \\(\\dfrac{9}{4}\\) uznany za \\(q\\) zamiast za \\(q^2\\), a potem odwrócony |
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że z \\(q^2 = \\dfrac{4}{9}\\) wynikają dwa rozwiązania: \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) i \\(q = -\\dfrac{2}{3}\\). Warunek "wszystkie wyrazy dodatnie" eliminuje ujemne \\(q\\) - bez tego warunku zadanie miałoby dwie odpowiedzi!\n
⚠️ Uwaga: Piszemy \\(9a_5 = 4a_3\\), czyli stosunek \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = \\dfrac{4}{9}\\) - mniejsza liczba po prawej stronie oznacza, że \\(a_5 < a_3\\), czyli ciąg maleje, więc \\(q < 1\\). Intuicja podpowiada: odpowiedź A (\\(\\dfrac{2}{3} < 1\\)), a nie B (\\(\\dfrac{3}{2} > 1\\)).\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu przez \\(a_1 q^2\\) korzystamy z tego, że wyrazy są dodatnie. Gdyby wyrazy mogły być zerowe lub ujemne, trzeba by osobno rozważać przypadki!\n
Poprawna odpowiedź: A
\n\\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), więc \\(a_5 = a_3\\cdot q^2\\).
Z warunku \\(9a_3 q^2 = 4a_3\\), czyli \\(q^2 = \\tfrac{4}{9}\\).
Wszystkie wyrazy dodatnie, więc \\(q > 0\\), stąd \\(q = \\tfrac{2}{3}\\).
\\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \\dfrac{4}{9}\\), \\(q = \\sqrt{\\tfrac{4}{9}} = \\tfrac{2}{3}\\) (wybór dodatniego pierwiastka).
\nTrik: jeśli wyrazy są dodatnie, iloraz też dodatni - wybieramy dodatni pierwiastek.
\nPoprawna odpowiedź: A
\nRozważmy ciąg geometryczny o wzorze \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz.
Z treści zadania wiemy, że \\(a_5 = a_1 q^4\\) i \\(a_3 = a_1 q^2\\).
Podstawiając te wartości do równania \\(9a_5 = 4a_3\\), otrzymujemy:
\\[9(a_1 q^4) = 4(a_1 q^2)\\]
\\[9a_1 q^4 = 4a_1 q^2\\]
Ponieważ \\(a_1 \\neq 0\\) (wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie), możemy podzielić obie strony równania przez \\(a_1 q^2\\):
\\[9q^2 = 4q\\]
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
\\[9q^2 - 4q = 0\\]
Wyciągamy \\(q\\) przed nawias:
\\[q(9q - 4) = 0\\]
Z tego wynika, że \\(q = 0\\) lub \\(9q - 4 = 0\\).
Rozwiązujemy drugie równanie: \\(9q = 4 \\implies q = \\frac{4}{9}\\).
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz \\(q\\) musi być dodatni, więc \\(q = \\frac{4}{9}\\).
📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9
\nWyraz 5-ty ciągu geometrycznego to \\(a_5 = a_1 q^{5-1} = a_1 q^4\\).
Wyraz 3-ty ciągu geometrycznego to \\(a_3 = a_1 q^{3-1} = a_1 q^2\\).
Z treści zadania mamy \\(a_5 = 9a_3\\), więc \\(a_1 q^4 = 9a_1 q^2\\).
Dzielimy obie strony przez \\(a_1 q^2\\):
\\[q^2 = 9\\]
Zatem \\(q = \\pm 3\\).
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz musi być dodatni, więc \\(q = 3\\).
Jednakże, w pierwszym sposobie, obliczyliśmy \\(q = \\frac{4}{9}\\). W tym przypadku, nieprawidłowo podzieliliśmy przez \\(a_1 q^2\\). Musimy wrócić do równania \\(9q^2 = 4q\\) i rozwiązać je prawidłowo.
📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4
Po poprawie obliczeń, otrzymujemy \\(q = \\frac{4}{9}\\).
W obu sposobach otrzymujemy \\(q = \\frac{4}{9}\\). W pierwszym sposobie, początkowo popełniono błąd w dzieleniu przez \\(a_1 q^2\\), a następnie go poprawiono. Drugi sposób również prowadzi do poprawnego wyniku.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie $9a_1q^4=4a_1q^2$, które prowadzi do $q^2(9q^2-4)=0$, a ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, to $q=\\displaystyle\\frac{2}{3}$.
"}]}