{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nLiczba cos 12° ⋅sin 78° + sin 12° ⋅cos 78° jest równa\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD. 1\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba cos12°⋅sin78° + sin12°⋅cos78° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1","answer":"R","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […] oraz\nsin(90° -𝛼) = cos 𝛼.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus sumy kątów\n\nRozpoznajemy, że wyrażenie \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78°\\) ma dokładnie postać wzoru na sinus sumy:\n\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 78°\\), \\(\\beta = 12°\\):\n\n\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\cos 12° + \\cos 78° \\cdot \\sin 12°\\]\n\n\\[= \\sin(78° + 12°) = \\sin 90° = \\boxed{1}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór redukcyjny (zamiana cosinus → sinus)\n\nZauważamy, że \\(\\cos 12° = \\sin(90° - 12°) = \\sin 78°\\) oraz \\(\\cos 78° = \\sin(90° - 78°) = \\sin 12°\\).\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\sin 12°\\]\n\n\\[= \\sin^2 78° + \\sin^2 12°\\]\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ \\(78° + 12° = 90°\\), mamy \\(12° = 90° - 78°\\), więc \\(\\sin 12° = \\cos 78°\\). Ale sprawdźmy inaczej:\n\n\\[\\sin^2 78° + \\sin^2 12° = \\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\]\n\nbo \\(\\sin 12° = \\sin(90° - 78°) = \\cos 78°\\). Zatem:\n\n\\[\\sin^2 78° + \\cos^2 78° = 1\\]\n\n**Wynik: \\(1\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 1 - rozpoznanie struktury wyrażenia jako gotowego wzoru.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 do zamiany \\(\\cos 12°\\) i \\(\\cos 78°\\) na sinusy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik \\(\\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 30°\\) lub \\(\\cos 60°\\) i błędnie redukuje wyrażenie do sumy \\(12° + 18°\\) albo liczy coś innego |\n| B: \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 45°\\) - błędna intuicja, że skoro \\(12° + 78° = 90°\\) to pojawia się kąt \\(45°\\) |\n| C: \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) - błędne użycie wzoru, np. obliczenie tylko jednego składnika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczem jest **rozpoznanie wzoru** \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\) w treści zadania - nie licz osobno żadnych wartości! Gdy widzisz \\(\\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\), to zawsze \\(\\sin(A+B)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać wartości \\(\\sin 78°\\) ani \\(\\cos 12°\\) z pamięci - zadanie jest czysto wzorowe. Wszelkie próby \"liczenia na piechotę\" to zmarnowany czas i prosta droga do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na kolejność w wyrażeniu: \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78°\\) to to samo co \\(\\sin 78° \\cdot \\cos 12°\\) - mnożenie jest przemienne, więc wzór pasuje idealnie niezależnie od kolejności składników.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(\\sin(90°-\\alpha) = \\cos\\alpha\\)\n\\(\\sin 78° = \\sin(90°-12°) = \\cos 12°\\). \\(\\cos 78° = \\cos(90°-12°) = \\sin 12°\\).\nWyrażenie: \\(\\cos 12°\\cdot \\cos 12° + \\sin 12°\\cdot \\sin 12° = \\cos^2 12° + \\sin^2 12° = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Tożsamość \\(\\cos(\\alpha - \\beta)\\)\n\\(\\cos(A-B) = \\cos A\\cos B + \\sin A\\sin B\\). Tu \\(A = 78°\\), \\(B = 12°\\):\n\\(\\cos(78° - 12°) = \\cos 66°\\) Ale uwaga: w zadaniu jest \\(\\cos 12°\\cdot \\sin 78° + \\sin 12°\\cdot \\cos 78° = \\sin(12°+78°) = \\sin 90° = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - \\(\\sin 30°\\), nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - \\(\\sin 45°\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - \\(\\sin 60°\\).\n\n**Trik:** rozpoznaj \\(\\sin(A+B)\\) w postaci \\(\\sin A\\cos B + \\cos A\\sin B\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na iloczyn cosinusów\nTen wzór wykorzystuje tożsamość trygonometryczną: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ. Możemy przekształcić wyrażenie do postaci, która pozwoli nam zastosować tę tożsamość.\n\nKrok 1: Rozwijamy wyrażenia cos(12°) i sin(78°)\ncos(12°) = cos(45° - 33°) = cos45°cos33° + sin45°sin33°\nsin(78°) = sin(45° + 33°) = sin45°cos33° + cos45°sin33°\n\nKrok 2: Podstawiamy do oryginalnego wyrażenia\n(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos45°cos33° + sin45°sin33°)(sin45°cos33° + cos45°sin33°) + (sin12°)(cos78°)\n\nKrok 3: Rozwijamy wyrażenie\n= cos²45°cos³33° + sin²45°sin³33° + 2sin45°cos45°cos²33°sin33° + 2sin45°cos45°sin33°cos33° + sin12°cos78°\n\nKrok 4: Uproszczamy, wykorzystując cos45° = sin45° = √2/2\n= (1/2)²cos³33° + (1/2)²sin³33° + 2(1/2)(1/2)cos²33°sin33° + 2(1/2)(1/2)sin33°cos33° + sin12°cos78°\n= 1/4(cos³33° + sin³33°) + 1/2(cos²33°sin33° + sin³33°) + sin12°cos78°\n\nKrok 5: Zauważamy, że wyrażenie można uprościć do postaci (cosα + sinα)²\nWyrażenie można przekształcić do postaci (cosα + sinα)² = cos²α + 2cosαsinα + sin²α = 1 + 2cosαsinα = 1 + sin2α. W tym przypadku, α = 78° - 12° = 66°. Zatem:\n(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = cos(12° - 78°) = cos(-66°) = cos66°\n\nKrok 6: Obliczamy cos66°\ncos66° = cos(60° + 6°) = cos60°cos6° - sin60°sin6° = (1/2)cos6° - (√3/2)sin6°\n\nTo nie jest łatwe do obliczenia, więc wracamy do pierwotnego wyrażenia i korzystamy z wzoru na iloczyn cosinusów:\ncos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ\nZatem:\ncos12°sin78° + sin12°cos78° = cos(78° - 12°) = cos66°\n\nWzór z karty wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** (s.7) - używamy go do rozwijania wyrażenia.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn tangensów\nMożemy również użyć wzoru na iloczyn tangensów: tan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)\n\nKrok 1: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°\nZatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°\n\nKrok 2: Używamy wzoru na iloczyn tangensów:\ntan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)\nW naszym przypadku: tan12°tan78° = tan(90°) / (1 - tan12°tan78°)\nPonieważ tan90° jest nieoznaczona, ten sposób nie jest możliwy do zastosowania.\n\nKrok 3: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°\nZatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°\n\nWzór z karty wzorów: **sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ** (s.13) - używamy go do rozwijania wyrażenia.\n\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. Wyrażenie to nie jest równy sin30° = 1/2, ponieważ kąty nie są takie same.\nB. Wyrażenie to nie jest równy √2/2, ponieważ kąty nie są takie same.\nC. Wyrażenie to nie jest równy √3/2, ponieważ kąty nie są takie same.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnej wartości wyrażenia. Poprawna odpowiedź to cos66°.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Liczba cos 12° ⋅sin 78° + sin 12° ⋅cos 78° jest równa<br>A. 1<br>2<br>B.<br>√2<br>2<br>C.<br>√3<br>2<br>D. 1</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Liczba cos12°⋅sin78° + sin12°⋅cos78° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>6.3) stosuje proste zależności między<br>funkcjami trygonometrycznymi:<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […] oraz<br>sin(90° -𝛼) = cos 𝛼.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na sinus sumy kątów</h4>\n<p>Rozpoznajemy, że wyrażenie \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78°\\) ma dokładnie postać wzoru na sinus sumy:</p>\n<p>\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\alpha = 78°\\), \\(\\beta = 12°\\):</p>\n<p>\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\cos 12° + \\cos 78° \\cdot \\sin 12°\\]</p>\n<p>\\[= \\sin(78° + 12°) = \\sin 90° = \\boxed{1}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór redukcyjny (zamiana cosinus → sinus)</h4>\n<p>Zauważamy, że \\(\\cos 12° = \\sin(90° - 12°) = \\sin 78°\\) oraz \\(\\cos 78° = \\sin(90° - 78°) = \\sin 12°\\).</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\sin 12°\\]</p>\n<p>\\[= \\sin^2 78° + \\sin^2 12°\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ \\(78° + 12° = 90°\\), mamy \\(12° = 90° - 78°\\), więc \\(\\sin 12° = \\cos 78°\\). Ale sprawdźmy inaczej:</p>\n<p>\\[\\sin^2 78° + \\sin^2 12° = \\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\]</p>\n<p>bo \\(\\sin 12° = \\sin(90° - 78°) = \\cos 78°\\). Zatem:</p>\n<p>\\[\\sin^2 78° + \\cos^2 78° = 1\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(1\\)</strong> - zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wzór na sinus sumy kątów:<br>\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]<br>Użyty bezpośrednio w Sposobie 1 - rozpoznanie struktury wyrażenia jako gotowego wzoru.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 14)</strong> - wzór redukcyjny:<br>\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]<br>Użyty w Sposobie 2 do zamiany \\(\\cos 12°\\) i \\(\\cos 78°\\) na sinusy.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik \\(\\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 30°\\) lub \\(\\cos 60°\\) i błędnie redukuje wyrażenie do sumy \\(12° + 18°\\) albo liczy coś innego |<br>| B: \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 45°\\) - błędna intuicja, że skoro \\(12° + 78° = 90°\\) to pojawia się kąt \\(45°\\) |<br>| C: \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) - błędne użycie wzoru, np. obliczenie tylko jednego składnika |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczem jest <strong>rozpoznanie wzoru</strong> \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\) w treści zadania - nie licz osobno żadnych wartości! Gdy widzisz \\(\\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\), to zawsze \\(\\sin(A+B)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie musisz znać wartości \\(\\sin 78°\\) ani \\(\\cos 12°\\) z pamięci - zadanie jest czysto wzorowe. Wszelkie próby &quot;liczenia na piechotę&quot; to zmarnowany czas i prosta droga do błędu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwróć uwagę na kolejność w wyrażeniu: \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78°\\) to to samo co \\(\\sin 78° \\cdot \\cos 12°\\) - mnożenie jest przemienne, więc wzór pasuje idealnie niezależnie od kolejności składników.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność \\(\\sin(90°-\\alpha) = \\cos\\alpha\\)</h5>\n<p>\\(\\sin 78° = \\sin(90°-12°) = \\cos 12°\\). \\(\\cos 78° = \\cos(90°-12°) = \\sin 12°\\).<br>Wyrażenie: \\(\\cos 12°\\cdot \\cos 12° + \\sin 12°\\cdot \\sin 12° = \\cos^2 12° + \\sin^2 12° = 1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Tożsamość \\(\\cos(\\alpha - \\beta)\\)</h5>\n<p>\\(\\cos(A-B) = \\cos A\\cos B + \\sin A\\sin B\\). Tu \\(A = 78°\\), \\(B = 12°\\):<br>\\(\\cos(78° - 12°) = \\cos 66°\\) Ale uwaga: w zadaniu jest \\(\\cos 12°\\cdot \\sin 78° + \\sin 12°\\cdot \\cos 78° = \\sin(12°+78°) = \\sin 90° = 1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong> - \\(\\sin 30°\\), nie pasuje.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)</strong> - \\(\\sin 45°\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)</strong> - \\(\\sin 60°\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> rozpoznaj \\(\\sin(A+B)\\) w postaci \\(\\sin A\\cos B + \\cos A\\sin B\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie wzoru na iloczyn cosinusów</h5>\n<p>Ten wzór wykorzystuje tożsamość trygonometryczną: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ. Możemy przekształcić wyrażenie do postaci, która pozwoli nam zastosować tę tożsamość.</p>\n<p>Krok 1: Rozwijamy wyrażenia cos(12°) i sin(78°)<br>cos(12°) = cos(45° - 33°) = cos45°cos33° + sin45°sin33°<br>sin(78°) = sin(45° + 33°) = sin45°cos33° + cos45°sin33°</p>\n<p>Krok 2: Podstawiamy do oryginalnego wyrażenia<br>(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos45°cos33° + sin45°sin33°)(sin45°cos33° + cos45°sin33°) + (sin12°)(cos78°)</p>\n<p>Krok 3: Rozwijamy wyrażenie<br>= cos²45°cos³33° + sin²45°sin³33° + 2sin45°cos45°cos²33°sin33° + 2sin45°cos45°sin33°cos33° + sin12°cos78°</p>\n<p>Krok 4: Uproszczamy, wykorzystując cos45° = sin45° = √2/2<br>= (1/2)²cos³33° + (1/2)²sin³33° + 2(1/2)(1/2)cos²33°sin33° + 2(1/2)(1/2)sin33°cos33° + sin12°cos78°<br>= 1/4(cos³33° + sin³33°) + 1/2(cos²33°sin33° + sin³33°) + sin12°cos78°</p>\n<p>Krok 5: Zauważamy, że wyrażenie można uprościć do postaci (cosα + sinα)²<br>Wyrażenie można przekształcić do postaci (cosα + sinα)² = cos²α + 2cosαsinα + sin²α = 1 + 2cosαsinα = 1 + sin2α. W tym przypadku, α = 78° - 12° = 66°. Zatem:<br>(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = cos(12° - 78°) = cos(-66°) = cos66°</p>\n<p>Krok 6: Obliczamy cos66°<br>cos66° = cos(60° + 6°) = cos60°cos6° - sin60°sin6° = (1/2)cos6° - (√3/2)sin6°</p>\n<p>To nie jest łatwe do obliczenia, więc wracamy do pierwotnego wyrażenia i korzystamy z wzoru na iloczyn cosinusów:<br>cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ<br>Zatem:<br>cos12°sin78° + sin12°cos78° = cos(78° - 12°) = cos66°</p>\n<p>Wzór z karty wzorów: <strong>Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²</strong> (s.7) - używamy go do rozwijania wyrażenia.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 7</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn tangensów</h5>\n<p>Możemy również użyć wzoru na iloczyn tangensów: tan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)</p>\n<p>Krok 1: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°<br>Zatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°</p>\n<p>Krok 2: Używamy wzoru na iloczyn tangensów:<br>tan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)<br>W naszym przypadku: tan12°tan78° = tan(90°) / (1 - tan12°tan78°)<br>Ponieważ tan90° jest nieoznaczona, ten sposób nie jest możliwy do zastosowania.</p>\n<p>Krok 3: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°<br>Zatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°</p>\n<p>Wzór z karty wzorów: <strong>sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ</strong> (s.13) - używamy go do rozwijania wyrażenia.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.13, strona 13</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<p>A. Wyrażenie to nie jest równy sin30° = 1/2, ponieważ kąty nie są takie same.<br>B. Wyrażenie to nie jest równy √2/2, ponieważ kąty nie są takie same.<br>C. Wyrażenie to nie jest równy √3/2, ponieważ kąty nie są takie same.</p>\n<p>Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnej wartości wyrażenia. Poprawna odpowiedź to cos66°.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zauważmy, że mamy do czynienia z wyrażeniem, które możemy przekształcić za pomocą wzoru na sinus sumy kątów. Wzór ten zapisujemy: $$\\sin(a + b) = \\sin a \\cdot \\cos b + \\cos a \\cdot \\sin b$$\\n\\n2. W naszym przypadku mamy: $$a = 12^\\circ$$ oraz $$b = 78^\\circ$$. Zapisujemy to w postaci odpowiedniego wzoru: $$\\sin(12^\\circ + 78^\\circ) = \\sin 12^\\circ \\cdot \\cos 78^\\circ + \\cos 12^\\circ \\cdot \\sin 78^\\circ$$\\n\\n3. Obliczamy sumę kątów: $$12^\\circ + 78^\\circ = 90^\\circ$$. Zatem możemy zapisać: $$\\sin(90^\\circ)$$\\n\\n4. Znamy wartość funkcji sinus dla kąta $90^\\circ$: $$\\sin(90^\\circ) = 1$$\\n\\n5. Podstawiamy tę wartość do naszego równania: $$\\cos 12^\\circ \\cdot \\sin 78^\\circ + \\sin 12^\\circ \\cdot \\cos 78^\\circ = 1$$\\n\\n6. Stąd możemy wywnioskować, że liczba $$\\cos 12^\\circ \\cdot \\sin 78^\\circ + \\sin 12^\\circ \\cdot \\cos 78^\\circ$$ równa się 1, co odpowiada odpowiedzi D z przedstawionych opcji.\\n\\n<strong>Odpowiedź:</strong> 1</li></ol>"}]}