{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Punkt 𝐷 jest punktem przecięcia cięciwy 𝐴𝐶\ni średnicy okręgu poprowadzonej z punktu 𝐵. Miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝛼, a miara kąta\n𝐴𝐷𝐵 jest równa 𝛾 (zobacz rysunek).\nWtedy kąt 𝐴𝐵𝐷 ma miarę\nA. 𝛼\n2 + 𝛾-180°\nB. 180° -𝛼\n2 -𝛾\nC. 180° -𝛼-𝛾\nD. 𝛼+ 𝛾-180°\nPunkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy kąt ABD ma miarę A. α/2 + γ - 180° B. 180°-α/2-γ C. 180°-α-γ D. α + γ - 180°","answer":"R","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\boxed{180° - \\dfrac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany + suma kątów w trójkącie\n\n**Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A w trójkącie ABD.**\n\nKąt \\(\\angle BSC = \\alpha\\) jest **kątem środkowym** opartym na łuku \\(BC\\).\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym: kąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(BC\\) jest **dwa razy mniejszy** od kąta środkowego. Ponieważ punkt \\(A\\) leży na okręgu:\n\n\\[\\angle BAC = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nPunkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) (między \\(A\\) i \\(C\\)), więc kąt \\(\\angle DAB\\) jest tym samym kątem co \\(\\angle BAC\\):\n\n\\[\\angle DAB = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj sumę kątów w trójkącie ABD.**\n\nW trójkącie \\(ABD\\) mamy trzy kąty:\n- \\(\\angle DAB = \\dfrac{\\alpha}{2}\\)\n- \\(\\angle ADB = \\gamma\\) (dane z zadania)\n- \\(\\angle ABD = ?\\) (szukany)\n\n\\[\\angle ABD + \\angle DAB + \\angle ADB = 180°\\]\n\n\\[\\angle ABD + \\frac{\\alpha}{2} + \\gamma = 180°\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o kącie zewnętrznym\n\nSkorzystamy z innego narzędzia, dochodząc do tego samego wyniku.\n\n**Krok 1: Znajdź kąt zewnętrzny trójkąta ABD przy wierzchołku D.**\n\nPonieważ punkty \\(A\\), \\(D\\), \\(C\\) są współliniowe (D leży na cięciwie AC), kąt \\(\\angle BDC\\) jest **kątem suplementarnym** do \\(\\angle ADB = \\gamma\\):\n\n\\[\\angle BDC = 180° - \\gamma\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta.**\n\nKąt zewnętrzny trójkąta \\(ABD\\) przy wierzchołku \\(D\\) równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nie-przyległych:\n\n\\[\\angle BDC = \\angle DAB + \\angle ABD\\]\n\n\\[180° - \\gamma = \\frac{\\alpha}{2} + \\angle ABD\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\nWynik zgodny z Podejściem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\angle BAC = \\dfrac{\\alpha}{2}\\) z danego kąta środkowego \\(\\angle BSC = \\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Suma kątów trójkąta = \\(180°\\).\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia szukanego kąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędny wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\alpha}{2} + \\gamma - 180°\\) | Poprawne wzory, ale przestawiono znaki - wynik taki sam jak B, lecz z przeciwnym znakiem. Dla typowych wartości daje liczbę ujemną (co jest absurdalne dla miary kąta) |\n| C | \\(180° - \\alpha - \\gamma\\) | **Najczęstszy błąd:** użyto pełnego kąta środkowego \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\). Uczeń zapomniał podzielić przez 2 przy stosowaniu tw. o kącie wpisanym |\n| D | \\(\\alpha + \\gamma - 180°\\) | Dwa błędy naraz: pełne \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ORAZ odwrócone znaki (jak w odpowiedzi A) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\alpha = \\angle BSC\\) i kąt wpisany \\(\\angle BAC\\) są obu oparte na **łuku BC** - ale kąt wpisany jest **o połowę mniejszy**. Najczęstszy błąd to wstawienie \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) do sumy kątów. Prowadzi to do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) *i* na średnicy z \\(B\\) - to znaczy, że \\(\\angle DAB = \\angle BAC\\) (ten sam kąt, D jest „gdzieś na AC\"). Nie myśl o D jak o odrębnym punkcie zmieniającym kąt przy A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle ADB = \\gamma\\) jest zadany, ale uważaj na to, że kąt suplementarny \\(\\angle BDC = 180° - \\gamma\\) może się przydać (jak w Sposobie 2) - nie myląc go z samym \\(\\gamma\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\nKąt \\(BSC = \\alpha\\) jest kątem środkowym opartym na łuku \\(BC\\). Kąt wpisany \\(BAC\\) oparty na tym samym łuku ma miarę \\(\\tfrac{\\alpha}{2}\\).\nW trójkącie \\(ABD\\): \\(\\angle BAD + \\angle ADB + \\angle ABD = 180°\\).\n\\(\\angle BAD = \\tfrac{\\alpha}{2}\\), \\(\\angle ADB = \\gamma\\), więc:\n\\(\\angle ABD = 180° - \\tfrac{\\alpha}{2} - \\gamma\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza bezpośrednia\nKąt \\(\\angle BAC\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BC\\), więc równy \\(\\tfrac{1}{2}\\alpha\\). W trójkącie \\(ABD\\): suma kątów = 180°.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - błędne zastosowanie twierdzeń o sumie kątów lub relacji środkowy-wpisany.\n\n**Trik:** kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta wpisanego\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n2. **Kąt BSC:** Mamy dane, że miara kąta BSC (α) jest równa α.\n3. **Kąt ADB:** Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.\n4. **Kąt ABD:** Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.\n\n\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kąta środkowego\n\n1. **Symetria:** Zauważ, że punkt S jest środkiem okręgu, a S, A, B, C leżą na tym okręgu. Zatem kąt środkowy SAB jest równy kątowi środkowemu SBC.\n2. **Kąt środkowy:** Kąt środkowy, który opiera się na łuku AB, to kąt ABC.\n3. **Kąt ADB:** Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.\n4. **Kąt ABD:** Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.\n\n\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź nie uwzględnia miary kąta BSC i ADB, a także nie wykorzystuje informacji o środku okręgu.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy 180° - α - γ.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy α + γ - 180°.\n\n**Podsumowanie:** Kluczem do rozwiązania tego zadania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi oraz wykorzystanie informacji o środku okręgu. Odpowiedź B jest poprawna, ponieważ uwzględnia wszystkie dane i wykorzystuje właściwe relacje geometryczne.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Punkt 𝐷 jest punktem przecięcia cięciwy 𝐴𝐶<br>i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu 𝐵. Miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝛼, a miara kąta<br>𝐴𝐷𝐵 jest równa 𝛾 (zobacz rysunek).<br>Wtedy kąt 𝐴𝐵𝐷 ma miarę<br>A. 𝛼<br>2 + 𝛾-180°<br>B. 180° -𝛼<br>2 -𝛾<br>C. 180° -𝛼-𝛾<br>D. 𝛼+ 𝛾-180°<br>Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy kąt ABD ma miarę A. α/2 + γ - 180° B. 180°-α/2-γ C. 180°-α-γ D. α + γ - 180°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.1) stosuje zależności między kątem<br>środkowym i kątem wpisanym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>B<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[\\boxed{180° - \\dfrac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Kąt wpisany + suma kątów w trójkącie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A w trójkącie ABD.</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle BSC = \\alpha\\) jest <strong>kątem środkowym</strong> opartym na łuku \\(BC\\).</p>\n<p>Z twierdzenia o kącie wpisanym: kąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(BC\\) jest <strong>dwa razy mniejszy</strong> od kąta środkowego. Ponieważ punkt \\(A\\) leży na okręgu:</p>\n<p>\\[\\angle BAC = \\frac{\\alpha}{2}\\]</p>\n<p>Punkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) (między \\(A\\) i \\(C\\)), więc kąt \\(\\angle DAB\\) jest tym samym kątem co \\(\\angle BAC\\):</p>\n<p>\\[\\angle DAB = \\frac{\\alpha}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj sumę kątów w trójkącie ABD.</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(ABD\\) mamy trzy kąty:</p>\n<ul><li>\\(\\angle DAB = \\dfrac{\\alpha}{2}\\)</li><li>\\(\\angle ADB = \\gamma\\) (dane z zadania)</li><li>\\(\\angle ABD = ?\\) (szukany)</li></ul>\n<p>\\[\\angle ABD + \\angle DAB + \\angle ADB = 180°\\]</p>\n<p>\\[\\angle ABD + \\frac{\\alpha}{2} + \\gamma = 180°\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie o kącie zewnętrznym</h4>\n<p>Skorzystamy z innego narzędzia, dochodząc do tego samego wyniku.</p>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź kąt zewnętrzny trójkąta ABD przy wierzchołku D.</strong></p>\n<p>Ponieważ punkty \\(A\\), \\(D\\), \\(C\\) są współliniowe (D leży na cięciwie AC), kąt \\(\\angle BDC\\) jest <strong>kątem suplementarnym</strong> do \\(\\angle ADB = \\gamma\\):</p>\n<p>\\[\\angle BDC = 180° - \\gamma\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta.</strong></p>\n<p>Kąt zewnętrzny trójkąta \\(ABD\\) przy wierzchołku \\(D\\) równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nie-przyległych:</p>\n<p>\\[\\angle BDC = \\angle DAB + \\angle ABD\\]</p>\n<p>\\[180° - \\gamma = \\frac{\\alpha}{2} + \\angle ABD\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Podejściem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - Twierdzenie o kącie wpisanym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:<br>\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\angle BAC = \\dfrac{\\alpha}{2}\\) z danego kąta środkowego \\(\\angle BSC = \\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - Suma kątów trójkąta = \\(180°\\).</p>\n<p>Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia szukanego kąta.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błędny wynik | Typowy błąd |<br>| A | \\(\\dfrac{\\alpha}{2} + \\gamma - 180°\\) | Poprawne wzory, ale przestawiono znaki - wynik taki sam jak B, lecz z przeciwnym znakiem. Dla typowych wartości daje liczbę ujemną (co jest absurdalne dla miary kąta) |<br>| C | \\(180° - \\alpha - \\gamma\\) | <strong>Najczęstszy błąd:</strong> użyto pełnego kąta środkowego \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\). Uczeń zapomniał podzielić przez 2 przy stosowaniu tw. o kącie wpisanym |<br>| D | \\(\\alpha + \\gamma - 180°\\) | Dwa błędy naraz: pełne \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ORAZ odwrócone znaki (jak w odpowiedzi A) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt środkowy \\(\\alpha = \\angle BSC\\) i kąt wpisany \\(\\angle BAC\\) są obu oparte na <strong>łuku BC</strong> - ale kąt wpisany jest <strong>o połowę mniejszy</strong>. Najczęstszy błąd to wstawienie \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) do sumy kątów. Prowadzi to do odpowiedzi C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) <em>i</em> na średnicy z \\(B\\) - to znaczy, że \\(\\angle DAB = \\angle BAC\\) (ten sam kąt, D jest „gdzieś na AC&quot;). Nie myśl o D jak o odrębnym punkcie zmieniającym kąt przy A.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\angle ADB = \\gamma\\) jest zadany, ale uważaj na to, że kąt suplementarny \\(\\angle BDC = 180° - \\gamma\\) może się przydać (jak w Sposobie 2) - nie myląc go z samym \\(\\gamma\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany</h5>\n<p>Kąt \\(BSC = \\alpha\\) jest kątem środkowym opartym na łuku \\(BC\\). Kąt wpisany \\(BAC\\) oparty na tym samym łuku ma miarę \\(\\tfrac{\\alpha}{2}\\).<br>W trójkącie \\(ABD\\): \\(\\angle BAD + \\angle ADB + \\angle ABD = 180°\\).<br>\\(\\angle BAD = \\tfrac{\\alpha}{2}\\), \\(\\angle ADB = \\gamma\\), więc:<br>\\(\\angle ABD = 180° - \\tfrac{\\alpha}{2} - \\gamma\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza bezpośrednia</h5>\n<p>Kąt \\(\\angle BAC\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BC\\), więc równy \\(\\tfrac{1}{2}\\alpha\\). W trójkącie \\(ABD\\): suma kątów = 180°.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D</strong> - błędne zastosowanie twierdzeń o sumie kątów lub relacji środkowy-wpisany.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta wpisanego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie relacji:</strong> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.</li><li><strong>Kąt BSC:</strong> Mamy dane, że miara kąta BSC (α) jest równa α.</li><li><strong>Kąt ADB:</strong> Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.</li><li><strong>Kąt ABD:</strong> Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.</li></ol>\n<p>\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kąta środkowego</h5>\n<ol><li><strong>Symetria:</strong> Zauważ, że punkt S jest środkiem okręgu, a S, A, B, C leżą na tym okręgu. Zatem kąt środkowy SAB jest równy kątowi środkowemu SBC.</li><li><strong>Kąt środkowy:</strong> Kąt środkowy, który opiera się na łuku AB, to kąt ABC.</li><li><strong>Kąt ADB:</strong> Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.</li><li><strong>Kąt ABD:</strong> Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.</li></ol>\n<p>\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź nie uwzględnia miary kąta BSC i ADB, a także nie wykorzystuje informacji o środku okręgu.</li><li><strong>C. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy 180° - α - γ.</li><li><strong>D. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy α + γ - 180°.</li></ul>\n<p><strong>Podsumowanie:</strong> Kluczem do rozwiązania tego zadania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi oraz wykorzystanie informacji o środku okręgu. Odpowiedź B jest poprawna, ponieważ uwzględnia wszystkie dane i wykorzystuje właściwe relacje geometryczne.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, kąt środkowy $BSC$ i kąt wpisany $BAC$ są oparte na tym samym łuku, więc $\\displaystyle|\\sphericalangle BAC|=\\frac{\\alpha}{2}$, a korzystając z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie, otrzymujemy $\\displaystyle|\\sphericalangle ABD|=180^{\\circ}-\\frac{\\alpha}{2}-\\gamma$.</p>"}]}