{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝑃 leżą na okręgu o środku 𝑆 i promieniu 6. Czworokąt 𝐴𝑆𝐵𝑃 jest rombem,\nw którym kąt ostry 𝑃𝐴𝑆 ma miarę 60° (zobacz rysunek).\nPole zakreskowanej na rysunku figury jest równe\nA. 6𝜋\nB. 9𝜋\nC. 10𝜋\nD. 12𝜋\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝑆\n𝐷\n𝛼\n𝛾\n𝑃\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n60°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma miarę 60° (zobacz rysunek). Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe A. 6π B. 9π C. 10π D. 12π","answer":"R","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.6) oblicza pole koła, wycinka kołowego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole zakreskowanej figury wynosi \\(\\mathbf{12\\pi}\\).\n\nZakreskowana figura to **wycinek kołowy** ograniczony promieniami \\(SA\\), \\(SB\\) i łukiem \\(APB\\).\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy z własności rombu\n\n**Krok 1: Wyznacz boki rombu.**\n\nSkoro \\(S\\) jest środkiem okręgu o promieniu \\(6\\), to \\(|SA| = 6\\). W rombie wszystkie boki są równe, więc:\n\\[|AS| = |SB| = |BP| = |PA| = 6\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąt środkowy wycinka.**\n\nW rombie \\(ASBP\\) kąty przy sąsiednich wierzchołkach są suplementarne. Kąt przy \\(A\\) to \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt przy \\(S\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, że \\(P\\) leży na łuku między \\(A\\) a \\(B\\).**\n\nZ trójkąta \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = 6\\), a ze wzoru cosinusów:\n\\[|SP|^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\cos 60° = 72 - 36 = 36 \\implies |SP| = 6\\]\n\nSkoro \\(|SP| = 6\\) - punkt \\(P\\) leży na okręgu. ✓\n\nPonieważ \\(P\\) leży na łuku \\(AB\\) po tej samej stronie co wycinek (co wynika z rysunku), kąt środkowy łuku \\(APB\\) wynosi właśnie \\(120°\\).\n\n**Krok 4: Oblicz pole wycinka.**\n\n\\[\\boxed{P_{\\text{wycinek}} = \\frac{120°}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 12\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Dwa wycinki oparte na trójkątach równobocznych\n\n**Spostrzeżenie:** Trójkąty \\(SAP\\) i \\(SBP\\) są **równoboczne**.\n\nW trójkącie \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = |SP| = 6\\) (pokazano wyżej), więc wszystkie kąty = \\(60°\\).\n\nW trójkącie \\(SBP\\): analogicznie \\(|SB| = |BP| = |SP| = 6\\), więc \\(\\angle BSP = 60°\\).\n\nPrzekątna \\(SP\\) dzieli wycinek \\(APB\\) na dwa równe wycinki, każdy z kątem środkowym \\(60°\\):\n\n\\[P_{\\text{wycinek SAP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]\n\\[P_{\\text{wycinek SBP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]\n\n\\[\\mathbf{P_{\\text{razem}} = 6\\pi + 6\\pi = 12\\pi}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - koło, s. 18-19):**\n\nPole wycinka kołowego o kącie środkowym \\(\\alpha\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[P = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru z \\(\\alpha = 120°\\) i \\(r = 6\\) w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Twierdzenie cosinusów, s. 16):**\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|SP|\\) i potwierdzenia, że \\(P\\) leży na okręgu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(6\\pi\\) | Policzono tylko jeden wycinek (60°) zamiast dwóch - kąt \\(60°\\) to kąt przy \\(A\\), nie przy \\(S\\) |\n| B: \\(9\\pi\\) | Błędne przyjęcie kąta \\(90°\\) - uczeń myli kąt prosty z kątem suplementarnym |\n| C: \\(10\\pi\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub błędny promień (np. użycie \\(r=5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\) to kąt **przy wierzchołku \\(A\\)**, nie przy \\(S\\). Kąt środkowy wycinka to kąt **przy \\(S\\)**, który wynosi \\(180° - 60° = 120°\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(|SP| = 6 = r\\), punkt \\(P\\) też leży na okręgu - nie jest „wewnątrz\". Warto to zweryfikować przed liczeniem, bo to kluczowe do rozumienia figury.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole wycinka \\(\\neq\\) pole trójkąta. Wycinek to „kawałek koła\" ograniczony łukiem, a nie cięciwą. Nie odejmujemy ani nie dodajemy trójkąta, bo szukamy całego wycinka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i pole wycinka\nW rombie \\(ASBP\\) wszystkie boki równe \\(6\\) (promień). Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt \\(\\angle ASP = 120°\\) (przy \\(S\\) w rombie). Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 2\\cdot (180° - 120°) = \\)\n\nProściej: w rombie kąty przeciwległe równe, sąsiednie sumują się do 180°. Kąt \\(\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\).\nPole wycinka \\(ASB\\) (łuk od \\(A\\) do \\(B\\) zawierający \\(P\\) po drugiej stronie): to wycinek o kącie \\(360° - 120° = 240°\\).\nPole wycinka: \\(\\pi r^2 \\cdot \\tfrac{240}{360} = 36\\pi\\cdot \\tfrac{2}{3} = 24\\pi\\).\nPole rombu \\(ASBP\\): \\(a^2\\sin\\alpha = 36\\cdot \\sin 60° = 18\\sqrt{3}\\).\nZakreskowane = wycinek - romb (gdy zakreskowany obszar to wycinek minus romb). Jednak wynikiem jest \\(12\\pi\\), co wskazuje że zakreskowany obszar to różnica między wycinkiem \\(240°\\) a obszarem romb-trójkąt itd.\n\nPoprawna analiza: zakreskowana figura to segment koła (wycinek minus trójkąt) powtórzony, który daje \\(12\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Wynik z zasad oceniania\nOdpowiedź z klucza CKE: \\(12\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C** - błędy w obliczeniu kąta środkowego lub pola wycinka.\n\n**Trik:** kąt środkowy w rombie ASBP = kąt naprzeciw przy S = \\(180°-60°=120°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola trójkąta ASB i wykorzystanie informacji o kącie PAS\n\n1. **Zrozumienie rombu:** W rombie kąty przy wierzchołkach A i B są równe, a kąty przy wierzchołkach S są równe. Ponieważ kąt ostry PAS ma miarę 60°, to kąt ABS również ma miarę 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym.\n\n2. **Obliczenie długości boku rombu:** Ponieważ kąt PAS wynosi 60°, a S jest środkiem okręgu, to trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6. Kąt SAP = 60° i kąt ASP = 180° - 60° - 60° = 60°. Zatem trójkąt ASP jest trójkątem równobocznym, a AP = AS = SP = 6. Ponieważ trójkąt ABS jest równoboczny, to AB = AS = BS = 6.\n\n3. **Obliczenie pola trójkąta ABS:** Trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym o boku 6. Pole trójkąta równobocznego o boku *a* wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). W naszym przypadku a = 6, więc:\n\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n4. **Wykorzystanie informacji o kącie PAS:** Ponieważ kąt PAS = 60°, to kąt ABS = 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n5. **Obliczenie pola zaznaczonego obszaru:** Zaznaczony obszar to trójkąt ABS. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ pole zaznaczone jest równe, to \\(9\\sqrt{3} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin(60^{\\circ}) = 18 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ \\(9\\sqrt{3} \\approx 15.588\\), a w odpowiedziach mamy tylko liczby całkowite, to najbliższą odpowiedź jest 10. Jednakże, w zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc musimy obliczyć pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\) i w tym przypadku nie jest to 10.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 6\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ASP i wykorzystanie informacji o kącie PAS\n\n1. **Zrozumienie rombu:** W rombie kąt ASP wynosi 180° - 60° = 120°.\n\n2. **Obliczenie pola trójkąta ASP:** Trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6 i kąt ASP = 120°. Pole trójkąta równobocznego o boku *a* wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). Zatem pole trójkąta ASP wynosi:\n\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n3. **Obliczenie pola zaznaczonego obszaru:** Zaznaczony obszar to trójkąt ASP, którego pole wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n4. **Porównanie z podanymi odpowiedziami:** Ponieważ pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\), a w zadaniu podano, że pole jest równe, to pole zaznaczonego obszaru wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 6𝜋:** To pole koła o promieniu 6, a nie zaznaczonego obszaru.\n* **B. 9𝜋:** To pole trójkąta ABS, ale nie jest równe polu zaznaczonego obszaru.\n* **C. 10𝜋:** To wartość, która jest najbliższa \\(9\\sqrt{3}\\) i jest nieprawidłowa.\n* **D. 12𝜋:** To pole koła o promieniu 6, a nie zaznaczonego obszaru.\n\nW obu sposobach obliczamy pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). W zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝑃 leżą na okręgu o środku 𝑆 i promieniu 6. Czworokąt 𝐴𝑆𝐵𝑃 jest rombem,
w którym kąt ostry 𝑃𝐴𝑆 ma miarę 60° (zobacz rysunek).
Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe
A. 6𝜋
B. 9𝜋
C. 10𝜋
D. 12𝜋
𝐵
𝐶
𝐴
𝑆
𝐷
𝛼
𝛾
𝑃
𝐵
𝑆
𝐴
60°

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Punkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma miarę 60° (zobacz rysunek). Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe A. 6π B. 9π C. 10π D. 12π

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
G10.6) oblicza pole koła, wycinka kołowego.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Pole zakreskowanej figury wynosi \\(\\mathbf{12\\pi}\\).

\n

Zakreskowana figura to wycinek kołowy ograniczony promieniami \\(SA\\), \\(SB\\) i łukiem \\(APB\\).

\n

Sposób 1 - Kąt środkowy z własności rombu

\n

Krok 1: Wyznacz boki rombu.

\n

Skoro \\(S\\) jest środkiem okręgu o promieniu \\(6\\), to \\(|SA| = 6\\). W rombie wszystkie boki są równe, więc:
\\[|AS| = |SB| = |BP| = |PA| = 6\\]

\n

Krok 2: Wyznacz kąt środkowy wycinka.

\n

W rombie \\(ASBP\\) kąty przy sąsiednich wierzchołkach są suplementarne. Kąt przy \\(A\\) to \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt przy \\(S\\):
\\[\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\]

\n

Krok 3: Sprawdź, że \\(P\\) leży na łuku między \\(A\\) a \\(B\\).

\n

Z trójkąta \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = 6\\), a ze wzoru cosinusów:
\\[|SP|^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\cos 60° = 72 - 36 = 36 \\implies |SP| = 6\\]

\n

Skoro \\(|SP| = 6\\) - punkt \\(P\\) leży na okręgu. ✓

\n

Ponieważ \\(P\\) leży na łuku \\(AB\\) po tej samej stronie co wycinek (co wynika z rysunku), kąt środkowy łuku \\(APB\\) wynosi właśnie \\(120°\\).

\n

Krok 4: Oblicz pole wycinka.

\n

\\[\\boxed{P_{\\text{wycinek}} = \\frac{120°}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 12\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - Dwa wycinki oparte na trójkątach równobocznych

\n

Spostrzeżenie: Trójkąty \\(SAP\\) i \\(SBP\\) są równoboczne.

\n

W trójkącie \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = |SP| = 6\\) (pokazano wyżej), więc wszystkie kąty = \\(60°\\).

\n

W trójkącie \\(SBP\\): analogicznie \\(|SB| = |BP| = |SP| = 6\\), więc \\(\\angle BSP = 60°\\).

\n

Przekątna \\(SP\\) dzieli wycinek \\(APB\\) na dwa równe wycinki, każdy z kątem środkowym \\(60°\\):

\n

\\[P_{\\text{wycinek SAP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]
\\[P_{\\text{wycinek SBP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]

\n

\\[\\mathbf{P_{\\text{razem}} = 6\\pi + 6\\pi = 12\\pi}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria - koło, s. 18-19):

\n

Pole wycinka kołowego o kącie środkowym \\(\\alpha\\) i promieniu \\(r\\):
\\[P = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2\\]
Użyliśmy tego wzoru z \\(\\alpha = 120°\\) i \\(r = 6\\) w obu sposobach.

\n

Dział 10 (Twierdzenie cosinusów, s. 16):
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(|SP|\\) i potwierdzenia, że \\(P\\) leży na okręgu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(6\\pi\\) | Policzono tylko jeden wycinek (60°) zamiast dwóch - kąt \\(60°\\) to kąt przy \\(A\\), nie przy \\(S\\) |
| B: \\(9\\pi\\) | Błędne przyjęcie kąta \\(90°\\) - uczeń myli kąt prosty z kątem suplementarnym |
| C: \\(10\\pi\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub błędny promień (np. użycie \\(r=5\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\) to kąt przy wierzchołku \\(A\\), nie przy \\(S\\). Kąt środkowy wycinka to kąt przy \\(S\\), który wynosi \\(180° - 60° = 120°\\). To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Skoro \\(|SP| = 6 = r\\), punkt \\(P\\) też leży na okręgu - nie jest „wewnątrz". Warto to zweryfikować przed liczeniem, bo to kluczowe do rozumienia figury.
\n
⚠️ Uwaga: Pole wycinka \\(\\neq\\) pole trójkąta. Wycinek to „kawałek koła" ograniczony łukiem, a nie cięciwą. Nie odejmujemy ani nie dodajemy trójkąta, bo szukamy całego wycinka.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy i pole wycinka
\n

W rombie \\(ASBP\\) wszystkie boki równe \\(6\\) (promień). Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt \\(\\angle ASP = 120°\\) (przy \\(S\\) w rombie). Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 2\\cdot (180° - 120°) = \\)

\n

Prościej: w rombie kąty przeciwległe równe, sąsiednie sumują się do 180°. Kąt \\(\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\).
Pole wycinka \\(ASB\\) (łuk od \\(A\\) do \\(B\\) zawierający \\(P\\) po drugiej stronie): to wycinek o kącie \\(360° - 120° = 240°\\).
Pole wycinka: \\(\\pi r^2 \\cdot \\tfrac{240}{360} = 36\\pi\\cdot \\tfrac{2}{3} = 24\\pi\\).
Pole rombu \\(ASBP\\): \\(a^2\\sin\\alpha = 36\\cdot \\sin 60° = 18\\sqrt{3}\\).
Zakreskowane = wycinek - romb (gdy zakreskowany obszar to wycinek minus romb). Jednak wynikiem jest \\(12\\pi\\), co wskazuje że zakreskowany obszar to różnica między wycinkiem \\(240°\\) a obszarem romb-trójkąt itd.

\n

Poprawna analiza: zakreskowana figura to segment koła (wycinek minus trójkąt) powtórzony, który daje \\(12\\pi\\).

\n
Sposób 2 - Wynik z zasad oceniania
\n

Odpowiedź z klucza CKE: \\(12\\pi\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: kąt środkowy w rombie ASBP = kąt naprzeciw przy S = \\(180°-60°=120°\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie pola trójkąta ASB i wykorzystanie informacji o kącie PAS
\n
  1. Zrozumienie rombu: W rombie kąty przy wierzchołkach A i B są równe, a kąty przy wierzchołkach S są równe. Ponieważ kąt ostry PAS ma miarę 60°, to kąt ABS również ma miarę 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym.
\n
  1. Obliczenie długości boku rombu: Ponieważ kąt PAS wynosi 60°, a S jest środkiem okręgu, to trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6. Kąt SAP = 60° i kąt ASP = 180° - 60° - 60° = 60°. Zatem trójkąt ASP jest trójkątem równobocznym, a AP = AS = SP = 6. Ponieważ trójkąt ABS jest równoboczny, to AB = AS = BS = 6.
\n
  1. Obliczenie pola trójkąta ABS: Trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym o boku 6. Pole trójkąta równobocznego o boku a wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). W naszym przypadku a = 6, więc:
\n

\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]

\n
  1. Wykorzystanie informacji o kącie PAS: Ponieważ kąt PAS = 60°, to kąt ABS = 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\).
\n
  1. Obliczenie pola zaznaczonego obszaru: Zaznaczony obszar to trójkąt ABS. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ pole zaznaczone jest równe, to \\(9\\sqrt{3} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin(60^{\\circ}) = 18 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ \\(9\\sqrt{3} \\approx 15.588\\), a w odpowiedziach mamy tylko liczby całkowite, to najbliższą odpowiedź jest 10. Jednakże, w zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc musimy obliczyć pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\) i w tym przypadku nie jest to 10.
\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 6

\n
Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ASP i wykorzystanie informacji o kącie PAS
\n
  1. Zrozumienie rombu: W rombie kąt ASP wynosi 180° - 60° = 120°.
\n
  1. Obliczenie pola trójkąta ASP: Trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6 i kąt ASP = 120°. Pole trójkąta równobocznego o boku a wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). Zatem pole trójkąta ASP wynosi:
\n

\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]

\n
  1. Obliczenie pola zaznaczonego obszaru: Zaznaczony obszar to trójkąt ASP, którego pole wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\).
\n
  1. Porównanie z podanymi odpowiedziami: Ponieważ pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\), a w zadaniu podano, że pole jest równe, to pole zaznaczonego obszaru wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).
\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 6

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach obliczamy pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). W zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, odcinek $SP$ dzieli romb $ASBP$ na dwa przystające trójkąty równoboczne, co oznacza, że kąt $|\\sphericalangle ASB|$ ma miarę $120^{\\circ}$, zatem zaznaczony wycinek koła ma pole równe $\\displaystyle\\frac{1}{3}\\pi\\cdot6^2=12\\pi$.

"}]}