Zadanie 19. (0-1)
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 6√3. Pole tego trójkąta jest równe
A. 3√3
B. 4√3
C. 27√3
D. 36√3
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 6√3. Pole tego trójkąta jest równe A. 3√3 B. 4√3 C. 27√3 D. 36√3
Zadanie 19. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
G10.9) oblicza pola i obwody trójkątów […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
D
B
Krok 1: Wyznaczamy bok trójkąta z wysokości.
\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wysokość wynosi:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
Podstawiamy \\(h = 6\\sqrt{3}\\):
\\[6\\sqrt{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
Mnożymy obie strony przez \\(2\\):
\\[12\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}\\]
Dzielimy przez \\(\\sqrt{3}\\):
\\[a = 12\\]
Krok 2: Liczymy pole trójkąta równobocznego.
\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{12^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{144\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{36\\sqrt{3}}\\]
\nPole trójkąta można wyrazić przez podstawę i wysokość:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]
Mamy \\(a = 12\\) (wyznaczone w Sposobie 1) oraz \\(h = 6\\sqrt{3}\\):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6\\sqrt{3} = \\frac{72\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{36\\sqrt{3}}\\]
Wynik zgodny - weryfikacja poprawna.
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-21) - wzory na trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy pierwszego wzoru do wyznaczenia boku \\(a\\), a drugiego do obliczenia pola.
| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(3\\sqrt{3}\\) | Obliczono \\(\\frac{h}{2\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = 3\\), a potem pomnożono przez \\(\\sqrt{3}\\) - błędna próba odwrócenia wzoru |
| B: \\(4\\sqrt{3}\\) | Wzięto samo \\(h = 6\\sqrt{3}\\) i podzielono przez \\(\\sqrt{3}\\), otrzymując \\(a = 6\\), następnie \\(P = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{1}{…}\\) - błąd w wyznaczeniu boku |
| C: \\(27\\sqrt{3}\\) | Pomylono wzory i wzięto \\(a = h = 6\\sqrt{3}\\), czyli traktowano wysokość jak bok: \\(\\frac{(6\\sqrt{3})^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{108\\sqrt{3}}{4} = 27\\sqrt{3}\\) - klasyczna pułapka! |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie boku z wysokością. Wysokość trójkąta równobocznego NIE jest równa jego bokowi - jest krótsza o czynnik \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Zawsze najpierw wyznacz bok \\(a\\) ze wzoru \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), a dopiero potem licz pole.\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{3}\\) skraca się po obu stronach - to prosty krok, ale łatwo go zbagatelizować i popełnić błąd arytmetyczny.\n
⚠️ Uwaga: Masz dwa wzory na pole trójkąta równobocznego - ogólny \\(P = \\frac{1}{2}ah\\) i specjalny \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Oba dają ten sam wynik, ale jeśli masz już obliczone \\(a\\) i \\(h\\), wzór ogólny jest szybszy.\n
Poprawna odpowiedź: D
\n\\(6\\sqrt{3} = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), więc \\(a = 12\\).
Pole: \\(P = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{144\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\).
\\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 6\\sqrt{3} = 36\\sqrt{3}\\).
\nTrik: wzór \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\) zawsze łączy bok i wysokość w trójkącie równobocznym.
\nPoprawna odpowiedź: D
\n\\[a = \\frac{6\\sqrt{3} \\cdot 2}{\\sqrt{3}} = 12\\]
\n\\[P = \\frac{12^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{144 \\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\]
\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15
\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6\\sqrt{3} = 6 \\cdot 6\\sqrt{3} = 36\\sqrt{3}\\]
\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15
\nPoprawnie, ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy równanie $\\displaystyle\\frac{a\\sqrt{3}}{2}=6\\sqrt{3}$, z którego wynika, że $a=12$, a pole trójkąta równobocznego o boku długości $12$ wynosi $\\small\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}=\\frac{12^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}=36\\sqrt{3}$.
"}]}