{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDodatnie liczby 𝑥 i 𝑦 spełniają warunek 2𝑥= 3𝑦. Wynika stąd, że wartość wyrażenia\n𝑥2+𝑦2\n𝑥⋅𝑦 jest równa\nA. 2\n3\nB. 13\n6\nC. 6\n13\nD. 3\n2\nDodatnie liczby x i y spełniają warunek 2x=3y. Wynika stąd, że wartość wyrażenia x²+y² / x⋅y jest równa A. 2/3 B. 13/6 C. 6/13 D. 3/2⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG1.6) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nD\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{13}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie parametryczne\n\nZ warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy zależność między \\(x\\) i \\(y\\).\n\n**Zapiszmy \\(x\\) i \\(y\\) jako wielokrotności jednej liczby.**\n\nZ \\(2x = 3y\\) wynika:\n\\[x = \\frac{3}{2}y\\]\n\nWprowadźmy parametr \\(k > 0\\) i połóżmy:\n\\[y = 2k, \\qquad x = 3k\\]\n(wtedy \\(2 \\cdot 3k = 6k = 3 \\cdot 2k\\) ✓)\n\nTeraz obliczamy licznik i mianownik:\n\\[x^2 + y^2 = (3k)^2 + (2k)^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2\\]\n\\[x \\cdot y = 3k \\cdot 2k = 6k^2\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{13k^2}{6k^2} = \\boxed{\\frac{13}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{13}{6}\\), czyli odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - podzielenie przez \\(y^2\\)\n\nZamiast podstawiać parametr, podzielmy licznik i mianownik przez \\(y^2\\):\n\n\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{\\dfrac{x^2}{y^2} + 1}{\\dfrac{x}{y}}\\]\n\nZ warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy stosunek:\n\\[\\frac{x}{y} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + \\dfrac{4}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{13}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{13}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{26}{12} = \\frac{13}{6}\\]\n\n**Wynik potwierdza: \\(\\dfrac{13}{6}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe przekształcanie wyrażeń algebraicznych oraz umiejętność korzystania z warunku dodatkowego do wyznaczenia stosunku \\(\\dfrac{x}{y}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obliczono \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{2}{3}\\) (odwrócono stosunek) i na tym skończono - zapomniano obliczyć całe wyrażenie |\n| C | Obliczono wyrażenie odwrotne: \\(\\dfrac{x \\cdot y}{x^2 + y^2} = \\dfrac{6}{13}\\) - pomylono licznik z mianownikiem |\n| D | Wzięto po prostu stosunek \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\) nie obliczając całego wyrażenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(2x = 3y\\) daje \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), **nie** \\(\\dfrac{2}{3}\\) - tu łatwo odwrócić ułamek. Sprawdź podstawiając: \\(2 \\cdot 3 = 6 = 3 \\cdot 2\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie dzielenia przez \\(y^2\\) uważaj na dzielenie przez ułamek: \\(\\dfrac{\\tfrac{13}{4}}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{2}{3}\\), **nie** \\(\\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{3}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parametr \\(k\\) w Sposobie 1 można wziąć dowolny dodatni - wynik zawsze będzie taki sam, bo szukane wyrażenie jest jednorodne stopnia 0 (potęgi licznika i mianownika się równoważą).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Liczby konkretne\nZ warunku \\(2x = 3y\\) bierzemy \\(x = 3, y = 2\\). Wtedy:\n\\[\\dfrac{9+4}{3\\cdot 2} = \\dfrac{13}{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne\nPodzielmy licznik i mianownik przez \\(xy\\):\n\\[\\dfrac{x^2+y^2}{xy} = \\dfrac{x}{y} + \\dfrac{y}{x}.\\]\nZ \\(2x=3y\\) mamy \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), więc \\(\\dfrac{y}{x} = \\dfrac{2}{3}\\).\nSuma: \\(\\dfrac{3}{2} + \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{9+4}{6} = \\dfrac{13}{6}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - tylko \\(\\tfrac{y}{x}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{6}{13}\\)** - odwrotność poprawnej.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - tylko \\(\\tfrac{x}{y}\\).\n\n**Trik:** rozkład \\(\\tfrac{x^2+y^2}{xy} = \\tfrac{x}{y} + \\tfrac{y}{x}\\) eliminuje potrzebę znajdowania konkretnych \\(x, y\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda algebraiczna - rozwiązywanie równania\n\n1. **Znamy dane:** \\(2x = 3y\\)\n2. **Wyrażamy jedną zmienną przez drugą:** Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)\n3. **Podstawiamy do wyrażenia:** Mamy wyrażenie \\(x^2 + y^2\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego wyrażenia:\n\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\]\n4. **Wynik:** Zatem \\(x^2 + y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\). W zadaniu podano, że \\(x^2 + y^2 = xy\\). Zatem \\(\\frac{13}{4}y^2 = xy\\).\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3\n\n### Sposób 2: Metoda wzorów i równań\n\n1. **Znamy dane:** \\(2x = 3y\\)\n2. **Wyznaczamy x w zależności od y:** Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)\n3. **Wykorzystujemy warunek:** Zgodnie z zadaniem, \\(x^2 + y^2 = xy\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego równania:\n\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\left(\\frac{3}{2}y\\right)y\\]\n\\[\\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{3}{2}y^2\\]\n\\[\\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]\n\\[\\frac{13}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]\n\\[\\frac{13}{4}y^2 - \\frac{6}{4}y^2 = 0\\]\n\\[\\frac{7}{4}y^2 = 0\\]\n\\[y^2 = 0\\]\n\\[y = 0\\]\n4. **Obliczamy x:** Ponieważ \\(2x = 3y\\), to \\(2x = 3(0) = 0\\), więc \\(x = 0\\).\n5. **Sprawdzamy:** \\(x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0\\), a \\(xy = 0 \\cdot 0 = 0\\). Zatem \\(x^2 + y^2 = xy\\) jest spełnione.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. [2]:** Ta odpowiedź jest bezsensowna, ponieważ nie ma żadnego związku z treścią zadania.\n* **C. [6]:** Ta odpowiedź jest również bezsensowna i nie ma związku z treścią zadania.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie przedstawia prawidłowego rozwiązania. W tym przypadku, \\(x=y=0\\) jest prawidłową odpowiedzią.\n\n**Podsumowanie:**\n\nRozwiązanie polega na wyznaczeniu x w zależności od y, a następnie podstawieniu tego do wyrażenia \\(x^2 + y^2\\) i porównaniu z wyrażeniem \\(xy\\). Ostatecznie, otrzymujemy równanie, którego rozwiązaniem jest \\(y=0\\) i \\(x=0\\). Ważne jest, aby pamiętać o wzorach i umiejętnościach algebraicznych, aby móc rozwiązać takie zadania.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Dodatnie liczby 𝑥 i 𝑦 spełniają warunek 2𝑥= 3𝑦. Wynika stąd, że wartość wyrażenia<br>𝑥2+𝑦2<br>𝑥⋅𝑦 jest równa<br>A. 2<br>3<br>B. 13<br>6<br>C. 6<br>13<br>D. 3<br>2<br>Dodatnie liczby x i y spełniają warunek 2x=3y. Wynika stąd, że wartość wyrażenia x²+y² / x⋅y jest równa A. 2/3 B. 13/6 C. 6/13 D. 3/2⋅r</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G1.6) oblicza wartości liczbowe wyrażeń<br>algebraicznych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>B<br>D<br>1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych<br>rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku<br>z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{13}{6}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie parametryczne</h4>\n<p>Z warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy zależność między \\(x\\) i \\(y\\).</p>\n<p><strong>Zapiszmy \\(x\\) i \\(y\\) jako wielokrotności jednej liczby.</strong></p>\n<p>Z \\(2x = 3y\\) wynika:<br>\\[x = \\frac{3}{2}y\\]</p>\n<p>Wprowadźmy parametr \\(k &gt; 0\\) i połóżmy:<br>\\[y = 2k, \\qquad x = 3k\\]<br>(wtedy \\(2 \\cdot 3k = 6k = 3 \\cdot 2k\\) ✓)</p>\n<p>Teraz obliczamy licznik i mianownik:<br>\\[x^2 + y^2 = (3k)^2 + (2k)^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2\\]<br>\\[x \\cdot y = 3k \\cdot 2k = 6k^2\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{13k^2}{6k^2} = \\boxed{\\frac{13}{6}}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{13}{6}\\), czyli odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - podzielenie przez \\(y^2\\)</h4>\n<p>Zamiast podstawiać parametr, podzielmy licznik i mianownik przez \\(y^2\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{\\dfrac{x^2}{y^2} + 1}{\\dfrac{x}{y}}\\]</p>\n<p>Z warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy stosunek:<br>\\[\\frac{x}{y} = \\frac{3}{2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[\\frac{\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + \\dfrac{4}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{13}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{13}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{26}{12} = \\frac{13}{6}\\]</p>\n<p><strong>Wynik potwierdza: \\(\\dfrac{13}{6}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe przekształcanie wyrażeń algebraicznych oraz umiejętność korzystania z warunku dodatkowego do wyznaczenia stosunku \\(\\dfrac{x}{y}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Obliczono \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{2}{3}\\) (odwrócono stosunek) i na tym skończono - zapomniano obliczyć całe wyrażenie |<br>| C | Obliczono wyrażenie odwrotne: \\(\\dfrac{x \\cdot y}{x^2 + y^2} = \\dfrac{6}{13}\\) - pomylono licznik z mianownikiem |<br>| D | Wzięto po prostu stosunek \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\) nie obliczając całego wyrażenia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek \\(2x = 3y\\) daje \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), <strong>nie</strong> \\(\\dfrac{2}{3}\\) - tu łatwo odwrócić ułamek. Sprawdź podstawiając: \\(2 \\cdot 3 = 6 = 3 \\cdot 2\\) ✓</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy metodzie dzielenia przez \\(y^2\\) uważaj na dzielenie przez ułamek: \\(\\dfrac{\\tfrac{13}{4}}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{2}{3}\\), <strong>nie</strong> \\(\\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{3}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parametr \\(k\\) w Sposobie 1 można wziąć dowolny dodatni - wynik zawsze będzie taki sam, bo szukane wyrażenie jest jednorodne stopnia 0 (potęgi licznika i mianownika się równoważą).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Liczby konkretne</h5>\n<p>Z warunku \\(2x = 3y\\) bierzemy \\(x = 3, y = 2\\). Wtedy:<br>\\[\\dfrac{9+4}{3\\cdot 2} = \\dfrac{13}{6}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne</h5>\n<p>Podzielmy licznik i mianownik przez \\(xy\\):<br>\\[\\dfrac{x^2+y^2}{xy} = \\dfrac{x}{y} + \\dfrac{y}{x}.\\]<br>Z \\(2x=3y\\) mamy \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), więc \\(\\dfrac{y}{x} = \\dfrac{2}{3}\\).<br>Suma: \\(\\dfrac{3}{2} + \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{9+4}{6} = \\dfrac{13}{6}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)</strong> - tylko \\(\\tfrac{y}{x}\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{6}{13}\\)</strong> - odwrotność poprawnej.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)</strong> - tylko \\(\\tfrac{x}{y}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> rozkład \\(\\tfrac{x^2+y^2}{xy} = \\tfrac{x}{y} + \\tfrac{y}{x}\\) eliminuje potrzebę znajdowania konkretnych \\(x, y\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Metoda algebraiczna - rozwiązywanie równania</h5>\n<ol><li><strong>Znamy dane:</strong> \\(2x = 3y\\)</li><li><strong>Wyrażamy jedną zmienną przez drugą:</strong> Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)</li><li><strong>Podstawiamy do wyrażenia:</strong> Mamy wyrażenie \\(x^2 + y^2\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego wyrażenia:</li></ol>\n<p>\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\]</p>\n<ol><li><strong>Wynik:</strong> Zatem \\(x^2 + y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\). W zadaniu podano, że \\(x^2 + y^2 = xy\\). Zatem \\(\\frac{13}{4}y^2 = xy\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3</p>\n<h5>Sposób 2: Metoda wzorów i równań</h5>\n<ol><li><strong>Znamy dane:</strong> \\(2x = 3y\\)</li><li><strong>Wyznaczamy x w zależności od y:</strong> Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)</li><li><strong>Wykorzystujemy warunek:</strong> Zgodnie z zadaniem, \\(x^2 + y^2 = xy\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego równania:</li></ol>\n<p>\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\left(\\frac{3}{2}y\\right)y\\]<br>\\[\\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{3}{2}y^2\\]<br>\\[\\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]<br>\\[\\frac{13}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]<br>\\[\\frac{13}{4}y^2 - \\frac{6}{4}y^2 = 0\\]<br>\\[\\frac{7}{4}y^2 = 0\\]<br>\\[y^2 = 0\\]<br>\\[y = 0\\]</p>\n<ol><li><strong>Obliczamy x:</strong> Ponieważ \\(2x = 3y\\), to \\(2x = 3(0) = 0\\), więc \\(x = 0\\).</li><li><strong>Sprawdzamy:</strong> \\(x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0\\), a \\(xy = 0 \\cdot 0 = 0\\). Zatem \\(x^2 + y^2 = xy\\) jest spełnione.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: Silnia, strona 3</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. [2]:</strong> Ta odpowiedź jest bezsensowna, ponieważ nie ma żadnego związku z treścią zadania.</li><li><strong>C. [6]:</strong> Ta odpowiedź jest również bezsensowna i nie ma związku z treścią zadania.</li><li><strong>D. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie przedstawia prawidłowego rozwiązania. W tym przypadku, \\(x=y=0\\) jest prawidłową odpowiedzią.</li></ul>\n<p><strong>Podsumowanie:</strong></p>\n<p>Rozwiązanie polega na wyznaczeniu x w zależności od y, a następnie podstawieniu tego do wyrażenia \\(x^2 + y^2\\) i porównaniu z wyrażeniem \\(xy\\). Ostatecznie, otrzymujemy równanie, którego rozwiązaniem jest \\(y=0\\) i \\(x=0\\). Ważne jest, aby pamiętać o wzorach i umiejętnościach algebraicznych, aby móc rozwiązać takie zadania.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, po wyznaczeniu np. $x$ z równania $2x=3y$, mamy $x=\\small\\displaystyle{\\frac{3}{2}}y$, zatem $\\displaystyle{\\frac{x^2+y^2}{x\\cdot y}=\\frac{\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2+y^2}{\\frac{3}{2}y\\cdot y}=\\frac{\\frac{9}{4}y^2+y^2}{\\frac{3}{2}y^2}=\\frac{\\frac{13}{4}y^2}{\\frac{3}{2}y^2}=\\frac{13}{4}\\cdot\\frac{2}{3}=\\frac{13}{6}}$.</p>"}]}