{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nBoki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma\nmiarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe\nA. 30√3\nB. 30\nC. 60√3\nD. 60\nBoki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe A. 30√3 B. 30 C. 60√3 D. 60","answer":"R","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta […] ze wzoru na pole trójkąta\nostrokątnego o danych dwóch bokach\ni kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(30\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z kątem\n\nMamy równoległobok o bokach \\(a = 6\\) i \\(b = 10\\) z kątem rozwartym \\(120°\\) między bokami.\n\n**Kluczowa obserwacja:** Wzór na pole równoległoboku to \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami. Ale który kąt - ostry czy rozwarty?\n\nW równoległoboku mamy dwa kąty: jeden ostry i jeden rozwarty. Ich suma wynosi \\(180°\\), bo \\(\\alpha + \\beta = 180°\\). Dany kąt rozwarty to \\(120°\\), więc kąt ostry wynosi:\n\\[180° - 120° = 60°\\]\n\nStosujemy wzór na pole:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 6\\), \\(b = 10\\), \\(\\alpha = 120°\\):\n\\[P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\]\n\nObliczamy \\(\\sin 120°\\). Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = 60 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku\n\nNarysujmy równoległobok \\(ABCD\\) z bokami \\(|AB| = 10\\), \\(|BC| = 6\\). Kąt \\(\\angle ABC = 120°\\) (rozwarty).\n\nOpuśćmy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(D\\) na bok \\(AB\\) (przedłużony). Tworzymy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przeciwprostokątna to bok \\(|AD| = 6\\)\n- kąt przy wierzchołku \\(A\\) wynosi \\(60°\\) (bo kąt ostry w równoległoboku to \\(180° - 120° = 60°\\))\n\nWysokość obliczamy z definicji sinusa:\n\\[h = |AD| \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nPole równoległoboku to podstawa razy wysokość:\n\\[P = a \\cdot h = 10 \\cdot 3\\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}\\]\n\nWynik ten sam - **\\(P = 30\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - wzór na pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości boków, \\(\\alpha\\) to kąt między nimi. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość funkcji trygonometrycznej kąta \\(60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(30\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 30°\\) - wzięto \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), mylono \\(\\sin 30°\\) z \\(\\sin 60°\\) |\n| C. \\(60\\sqrt{3}\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\), ale zapomniano podzielić przez 2, lub wzięto \\(\\sin 120° = \\sqrt{3}\\) (bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)) |\n| D. \\(60\\) | Wzięto \\(P = a \\cdot b = 6 \\cdot 10\\) - zupełnie pominięto sinus i kąt |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla **obu kątów** - ostrego i rozwartego - bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\). Możesz podstawić dowolny z tych kątów i dostaniesz ten sam wynik. Nie musisz szukać kąta ostrego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to przyjęcie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (mylone z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\)). Pamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby zadanie podało kąt **ostry** \\(60°\\), wynik byłby taki sam - \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\). Kąt rozwarty w treści to klasyczna pułapka, by sprawdzić czy znasz wzory redukcyjne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\)\n\\(P = 6\\cdot 10\\cdot \\sin 120° = 60\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 30\\sqrt{3}\\).\n(Można równie dobrze użyć kąta ostrego \\(60°\\), bo \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)).\n\n### Sposób 2 - Kąt ostry \\(60°\\)\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 120°) = \\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Reszta jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(30\\)** - zapomniano o \\(\\sin\\).\n- **C. \\(60\\sqrt{3}\\)** - dwa razy pole; brak dzielenia na 2 (ale to równoległobok, nie trójkąt).\n- **D. \\(60\\)** - pomnożono tylko boki.\n\n**Trik:** \\(\\sin(180°-\\alpha) = \\sin\\alpha\\) - kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola na podstawie długości boków i kąta rozwartego\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy równoległobok z danymi bokami (6 i 10) i kątem rozwartym (120°). Musimy obliczyć jego pole.\n2. **Wzór na pole równoległoboku:** Pole równoległoboku można obliczyć ze wzoru: P = a * b * sin(α), gdzie a i b to długości boków, a α to kąt między nimi.\n3. **Podstawienie wartości:** W naszym przypadku a = 6, b = 10, a α = 120°. Zatem:\nP = 6 * 10 * sin(120°) = 60 * sin(120°)\n4. **Obliczenie sin(120°):** sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2\n5. **Obliczenie pola:** P = 60 * (√3/2) = 30√3\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta i twierdzenia cosinusów\n1. **Podział równoległoboku:** Równoległobok można podzielić na dwa identyczne trójkąty o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120°.\n2. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120° można obliczyć za pomocą twierdzenia cosinusów:\nP trójkąta = (1/2) * a * b * sin(γ)\nW naszym przypadku a = 6, b = 10, γ = 120°\nP trójkąta = (1/2) * 6 * 10 * sin(120°) = 30 * (√3/2) = 15√3\n3. **Obliczenie pola równoległoboku:** Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole jednego trójkąta:\nP równoległoboku = 2 * P trójkąta = 2 * 15√3 = 30√3\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 30:** Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n* **C. 60√3:** Jest to również wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n* **D. 60:** Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n\nW obu sposobach obliczamy pole równoległoboku, wykorzystując podane dane i wzór na pole równoległoboku. W pierwszym sposobie, bezpośrednio zastosowaliśmy wzór, a w drugim, wykorzystaliśmy trójkąt, który jest częścią równoległoboku, i twierdzenie cosinusów. Oba prowadzą do tego samego wyniku.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma<br>miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe<br>A. 30√3<br>B. 30<br>C. 60√3<br>D. 60<br>Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe A. 30√3 B. 30 C. 60√3 D. 60</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.4) korzysta […] ze wzoru na pole trójkąta<br>ostrokątnego o danych dwóch bokach<br>i kącie między nimi.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(30\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z kątem</h4>\n<p>Mamy równoległobok o bokach \\(a = 6\\) i \\(b = 10\\) z kątem rozwartym \\(120°\\) między bokami.</p>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Wzór na pole równoległoboku to \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami. Ale który kąt - ostry czy rozwarty?</p>\n<p>W równoległoboku mamy dwa kąty: jeden ostry i jeden rozwarty. Ich suma wynosi \\(180°\\), bo \\(\\alpha + \\beta = 180°\\). Dany kąt rozwarty to \\(120°\\), więc kąt ostry wynosi:<br>\\[180° - 120° = 60°\\]</p>\n<p>Stosujemy wzór na pole:<br>\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 6\\), \\(b = 10\\), \\(\\alpha = 120°\\):<br>\\[P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(\\sin 120°\\). Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:<br>\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P = 60 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku</h4>\n<p>Narysujmy równoległobok \\(ABCD\\) z bokami \\(|AB| = 10\\), \\(|BC| = 6\\). Kąt \\(\\angle ABC = 120°\\) (rozwarty).</p>\n<p>Opuśćmy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(D\\) na bok \\(AB\\) (przedłużony). Tworzymy trójkąt prostokątny, w którym:</p>\n<ul><li>przeciwprostokątna to bok \\(|AD| = 6\\)</li><li>kąt przy wierzchołku \\(A\\) wynosi \\(60°\\) (bo kąt ostry w równoległoboku to \\(180° - 120° = 60°\\))</li></ul>\n<p>Wysokość obliczamy z definicji sinusa:<br>\\[h = |AD| \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Pole równoległoboku to podstawa razy wysokość:<br>\\[P = a \\cdot h = 10 \\cdot 3\\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Wynik ten sam - <strong>\\(P = 30\\sqrt{3}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - wzór na pole równoległoboku:<br>\\[P = ab\\sin\\alpha\\]<br>gdzie \\(a, b\\) to długości boków, \\(\\alpha\\) to kąt między nimi. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 14)</strong> - wzór redukcyjny:<br>\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]<br>Użyliśmy do obliczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - wartość funkcji trygonometrycznej kąta \\(60°\\):<br>\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B. \\(30\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 30°\\) - wzięto \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), mylono \\(\\sin 30°\\) z \\(\\sin 60°\\) |<br>| C. \\(60\\sqrt{3}\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\), ale zapomniano podzielić przez 2, lub wzięto \\(\\sin 120° = \\sqrt{3}\\) (bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)) |<br>| D. \\(60\\) | Wzięto \\(P = a \\cdot b = 6 \\cdot 10\\) - zupełnie pominięto sinus i kąt |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla <strong>obu kątów</strong> - ostrego i rozwartego - bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\). Możesz podstawić dowolny z tych kątów i dostaniesz ten sam wynik. Nie musisz szukać kąta ostrego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Bardzo częsty błąd to przyjęcie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (mylone z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\)). Pamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdyby zadanie podało kąt <strong>ostry</strong> \\(60°\\), wynik byłby taki sam - \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\). Kąt rozwarty w treści to klasyczna pułapka, by sprawdzić czy znasz wzory redukcyjne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\)</h5>\n<p>\\(P = 6\\cdot 10\\cdot \\sin 120° = 60\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 30\\sqrt{3}\\).<br>(Można równie dobrze użyć kąta ostrego \\(60°\\), bo \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - Kąt ostry \\(60°\\)</h5>\n<p>\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 120°) = \\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Reszta jak wyżej.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(30\\)</strong> - zapomniano o \\(\\sin\\).</li><li><strong>C. \\(60\\sqrt{3}\\)</strong> - dwa razy pole; brak dzielenia na 2 (ale to równoległobok, nie trójkąt).</li><li><strong>D. \\(60\\)</strong> - pomnożono tylko boki.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sin(180°-\\alpha) = \\sin\\alpha\\) - kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie pola na podstawie długości boków i kąta rozwartego</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie problemu:</strong> Mamy równoległobok z danymi bokami (6 i 10) i kątem rozwartym (120°). Musimy obliczyć jego pole.</li><li><strong>Wzór na pole równoległoboku:</strong> Pole równoległoboku można obliczyć ze wzoru: P = a * b * sin(α), gdzie a i b to długości boków, a α to kąt między nimi.</li><li><strong>Podstawienie wartości:</strong> W naszym przypadku a = 6, b = 10, a α = 120°. Zatem:</li></ol>\n<p>P = 6 * 10 * sin(120°) = 60 * sin(120°)</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie sin(120°):</strong> sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2</li><li><strong>Obliczenie pola:</strong> P = 60 * (√3/2) = 30√3</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta i twierdzenia cosinusów</h5>\n<ol><li><strong>Podział równoległoboku:</strong> Równoległobok można podzielić na dwa identyczne trójkąty o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120°.</li><li><strong>Obliczenie pola trójkąta:</strong> Pole trójkąta o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120° można obliczyć za pomocą twierdzenia cosinusów:</li></ol>\n<p>P trójkąta = (1/2) * a * b * sin(γ)<br>W naszym przypadku a = 6, b = 10, γ = 120°<br>P trójkąta = (1/2) * 6 * 10 * sin(120°) = 30 * (√3/2) = 15√3</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola równoległoboku:</strong> Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole jednego trójkąta:</li></ol>\n<p>P równoległoboku = 2 * P trójkąta = 2 * 15√3 = 30√3</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. 30:</strong> Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.</li><li><strong>C. 60√3:</strong> Jest to również wynik nieprawidłowego obliczenia pola.</li><li><strong>D. 60:</strong> Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.</li></ul>\n<p>W obu sposobach obliczamy pole równoległoboku, wykorzystując podane dane i wzór na pole równoległoboku. W pierwszym sposobie, bezpośrednio zastosowaliśmy wzór, a w drugim, wykorzystaliśmy trójkąt, który jest częścią równoległoboku, i twierdzenie cosinusów. Oba prowadzą do tego samego wyniku.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, pole równoległoboku wynosi $6 \\cdot10\\cdot\\sin120^\\circ$, a ze wzoru redukcyjnego $\\sin 120^{\\circ}=\\sin(180^{\\circ}-60^{\\circ})=\\sin 60^{\\circ}=\\displaystyle\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, a więc pole to $60\\cdot\\displaystyle\\frac{\\sqrt{3}}{2}=30\\sqrt{3}$.</p>"}]}