Zadanie 21. (0-1)
Punkty 𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (3, 𝑏) leżą na prostej, która przechodzi przez początek
układu współrzędnych. Wtedy 𝑏 jest równe
A. 9
B. (-9)
C. (-4)
D. 4
Punkty A=(-2,6) oraz B=(3,b) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy b jest równe A. 9 B. -9 C. -4 D. 4
Zadanie 21. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
8.1) wyznacza równanie prostej
przechodzącej przez dwa dane punkty […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
B
C
Prosta przechodzi przez początek \\(O = (0, 0)\\) i punkt \\(A = (-2, 6)\\).
\nKrok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej.
\nProsta przechodzi przez \\(O(0,0)\\) i \\(A(-2, 6)\\), więc:
\\[a = \\frac{y_A - 0}{x_A - 0} = \\frac{6}{-2} = -3\\]
Krok 2: Zapisz równanie prostej.
\nProsta przez początek układu ma postać \\(y = ax\\), zatem:
\\[y = -3x\\]
Krok 3: Wyznacz \\(b\\), podstawiając \\(x = 3\\).
\nPunkt \\(B = (3, b)\\) leży na tej prostej, więc:
\\[b = -3 \\cdot 3 = -9\\]
Odpowiedź: \\(b = -9\\)
\nTrzy punkty \\(O(0,0)\\), \\(A(-2,6)\\), \\(B(3,b)\\) są współliniowe, gdy wektory \\(\\vec{OA}\\) i \\(\\vec{OB}\\) są proporcjonalne.
\n\\[\\vec{OA} = [-2,\\ 6], \\qquad \\vec{OB} = [3,\\ b]\\]
\nWarunek proporcjonalności (wektory równoległe):
\\[\\frac{-2}{3} = \\frac{6}{b}\\]
Wyznaczamy \\(b\\):
\\[-2b = 18\\]
\\[b = -9\\]
Odpowiedź: \\(b = -9\\) ✓
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]
Prosta przez dwa punkty \\((x_1, y_1)\\) i \\((x_2, y_2)\\) ma współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - prosta przez \\(O(0,0)\\) i \\(A(-2,6)\\) ma postać \\(y = -3x\\).
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(9\\) | Policzono \\(b = -3 \\cdot 3\\), ale zapomniano o znaku minusa - wzięto \\(a = +3\\) zamiast \\(a = -3\\) |
| C: \\(-4\\) | Błędne obliczenie współczynnika - np. \\(\\frac{6}{-2} = -4\\) (dzielenie przez 1,5 zamiast 2) |
| D: \\(4\\) | Podobnie jak C, ale z dodatnim znakiem |
⚠️ Uwaga: Prosta przez początek układu ma postać \\(y = ax\\) (bez wyrazu wolnego \\(b = 0\\)). Nie próbuj wyznaczać wyrazu wolnego - on zawsze wynosi \\(0\\)!\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego uważaj na kolejność: \\(a = \\frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \\frac{6 - 0}{-2 - 0} = -3\\). Pomylenie licznika z mianownikiem da \\(a = -\\frac{1}{3}\\) i zły wynik.\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy \\(A\\) naprawdę leży na wyznaczonej prostej: \\(y = -3 \\cdot (-2) = 6\\) ✓. Zawsze warto zweryfikować jeden punkt przed podstawieniem drugiego!\n
Poprawna odpowiedź: B
\nProsta \\(y = kx\\). Z punktu \\(A\\): \\(6 = -2k\\), więc \\(k = -3\\). Dla punktu \\(B\\): \\(b = -3\\cdot 3 = -9\\).
\nWektor \\(OA = (-2, 6)\\), wektor \\(OB = (3, b)\\) muszą być równoległe. Warunek: \\(-2\\cdot b = 6\\cdot 3\\), więc \\(-2b = 18\\), \\(b = -9\\).
\nTrik: prosta przez początek to \\(y = kx\\) - jeden parametr.
\nPoprawna odpowiedź: B
\nb = k * 3
b = 3k
d = √((x₀ - 0)² + (y₀ - 0)²) = √(x₀² + y₀²)
W naszym przypadku d = |OB| = √((3 - 0)² + (b - 0)²) = √(9 + b²)
Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, odległość od początku układu współrzędnych do punktu B jest równa długości prostej. Możemy również wykorzystać wzór na odległość od punktu (x₀, y₀) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0, która w naszym przypadku to y = kx, czyli kx - y = 0. Odległość od punktu (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
W naszym przypadku:
d = |k * 0 + (-1) * 0 + 0| / √(k² + (-1)²) = 0 / √(k² + 1) = 0
To nie daje nam informacji o wartości b.
Zamiast tego, wykorzystamy fakt, że punkt B leży na prostej, a prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy możemy użyć punktu (3, b) i punktu (0, 0) do obliczenia współczynnika kierunkowego k. Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (b - 0) / (3 - 0) = b / 3
Z równania b = 3k, możemy podstawić k = b/3:
b = 3 * (b/3)
b = b
To nie daje nam konkretnej wartości b. Musimy wrócić do równania prostej: y = kx. Ponieważ punkt B (3, b) leży na tej prostej, to:
b = k * 3
k = b/3
Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, możemy użyć punktu B (3, b) do obliczenia współczynnika kierunkowego:
y = kx
b = k * 3
Z równania b = 3k, podstawiamy b do równania prostej:
y = (b/3) * x
Podstawiamy współrzędne punktu B (3, b):
b = (b/3) * 3
b = b
To nie prowadzi do rozwiązania. Musimy wrócić do podstawy. Współrzędne punktu B (3, b) spełniają równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Zatem:
b = k * 3
Ponieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:
0 = k * 0
To nie daje nam żadnych informacji.
Jednakże, możemy wykorzystać fakt, że prosta przechodzi przez (3, b) i (0, 0). Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (b - 0) / (3 - 0) = b/3
Z równania b = 3k, podstawiamy k = b/3:
b = 3 * (b/3) = b
To nie daje nam rozwiązania.
Musimy wrócić do równania prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych: y = kx. Punkt B (3, b) leży na tej prostej, więc:
b = k * 3
Rozwiązujemy to równanie względem k:
k = b/3
Zatem, równanie prostej to: y = (b/3)x
Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:
0 = (b/3) * 0
To nie daje nam rozwiązania.
Zamiast tego, możemy wykorzystać fakt, że prosta przechodzi przez (3, b) i (0, 0). Współrzędne punktu (3, b) spełniają równanie prostej:
b = k * 3
Rozwiązujemy to równanie względem k:
k = b/3
Zatem, równanie prostej to: y = (b/3)x
Ponieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:
0 = (b/3) * 0
To nie daje nam rozwiązania.
Zauważmy, że jeśli prosta przechodzi przez (0, 0) i (3, b), to jej równanie to y = (b/3)x. Wtedy, punkt B (3, b) musi spełniać to równanie. Podstawiając x = 3 i y = b, otrzymujemy:
b = (b/3) * 3
b = b
To nie daje nam rozwiązania.
Musimy wrócić do równania prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (b - 0) / (3 - 0) = b/3
Zatem równanie prostej to: y = (b/3)x
Ponieważ punkt B (3, b) leży na prostej, to jego współrzędne muszą spełniać to równanie. Podstawiając x = 3 i y = b, otrzymujemy:
b = (b/3) * 3
b = b
To nie daje nam rozwiązania.
Zauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (b - 0) / (3 - 0) = b/3
Zatem równanie prostej to: y = (b/3)x
Ponieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają to równanie. Zatem:
0 = (b/3) * 0
To nie daje nam rozwiązania.
Zauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (b - 0) / (3 - 0) = b/3
Zatem równanie prostej to: y = (b/3)x
Ponieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają to równanie. Zatem:
0 = (b/3) * 0
To nie daje nam rozwiązania.
Zauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:
k = (
Poprawnie, prosta $AB$ przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest postaci $y=ax$, gdzie współczynnik kierunkowy wynosi ${a=\\small\\displaystyle\\frac{b-6}{3-(-2)}=\\frac{b-6}{5}}$, a po podstawieniu współrzędnych punktu $A$ (lub $B$) do równania $ y=\\small\\displaystyle\\frac{b-6}{5}x$ otrzymujemy, że $b=-9$.
"}]}