{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDane są cztery proste 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛 o równaniach:\n𝑘: 𝑦= -𝑥+ 1\n𝑙: 𝑦= 2\n3 𝑥+ 1\n𝑚: 𝑦= -3\n2 𝑥+ 4\n𝑛: 𝑦= -2\n3 𝑥-1\nWśród tych prostych prostopadłe są\nA. proste 𝑘 oraz 𝑙.\nB. proste 𝑘 oraz 𝑛.\nC. proste 𝑙 oraz 𝑚.\nD. proste 𝑚 oraz 𝑛.\nDane są cztery proste k,l,m,n o równaniach: k: y=-x+1 l: y=2/3x+1 m: y=-3/2x+4 n: y=-2/3x-1. Wśród tych prostych prostopadłe są A. proste k oraz l. B. proste k oraz n. C. proste l oraz m. D. proste m oraz n","answer":"R","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada […] prostopadłość prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProste \\(l\\) oraz \\(m\\) są prostopadłe.\n\n## Sposób 1 - sprawdzenie warunku prostopadłości przez iloczyn współczynników kierunkowych\n\nDwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **prostopadłe**, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe wszystkich czterech prostych:\n\n| Prosta | Równanie | Współczynnik \\(a\\) |\n| \\(k\\) | \\(y = -x + 1\\) | \\(a_k = -1\\) |\n| \\(l\\) | \\(y = \\frac{2}{3}x + 1\\) | \\(a_l = \\frac{2}{3}\\) |\n| \\(m\\) | \\(y = -\\frac{3}{2}x + 4\\) | \\(a_m = -\\frac{3}{2}\\) |\n| \\(n\\) | \\(y = -\\frac{2}{3}x - 1\\) | \\(a_n = -\\frac{2}{3}\\) |\n\nSprawdzamy pary z odpowiedzi:\n\n**Odp. A - \\(k\\) i \\(l\\):**\n\\[a_k \\cdot a_l = (-1) \\cdot \\frac{2}{3} = -\\frac{2}{3} \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. B - \\(k\\) i \\(n\\):**\n\\[a_k \\cdot a_n = (-1) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{2}{3} \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. C - \\(l\\) i \\(m\\):**\n\\[a_l \\cdot a_m = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]\n**Są prostopadłe!**\n\nNie musimy sprawdzać D - znaleźliśmy odpowiedź, ale dla porządku:\n\n**Odp. D - \\(m\\) i \\(n\\):**\n\\[a_m \\cdot a_n = \\left(-\\frac{3}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{6}{6} = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe - są do siebie **równoległe**.\n\n## Sposób 2 - rozumowanie geometryczne (odwrotność i zmiana znaku)\n\nJeśli prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a\\), to prosta do niej **prostopadła** ma współczynnik:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a}\\]\n\nSprawdzamy, czy któraś para spełnia tę zależność:\n\n- Prosta \\(l\\) ma \\(a_l = \\frac{2}{3}\\), więc prosta do niej prostopadła powinna mieć:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{\\frac{2}{3}} = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Dokładnie taki jest współczynnik prostej \\(m\\)!** Zatem \\(l \\perp m\\). ✓\n\nIntuicja: prostopadłość to \"odwrócenie ułamka i zmiana znaku\" - \\(\\frac{2}{3}\\) zamienia się w \\(-\\frac{3}{2}\\). Ta para wręcz \"krzyczy\" prostopadłością, bo licznik i mianownik są zamienione, a znaki różne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n> Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\n\nUżyliśmy tego wprost w Sposobie 1 do sprawdzenia każdej pary prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Para | Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(k\\) i \\(l\\) | \\(-\\frac{2}{3}\\) | Uczeń patrzy tylko na znaki (obie \"inne\" znaki \\(-\\) i \\(+\\)) i myli się - sam różny znak nie wystarczy |\n| B | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(+\\frac{2}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(k: y=-x\\) jest prostopadłe do wszystkiego z ułamkiem |\n| D | \\(m\\) i \\(n\\) | \\(+1\\) | Uczeń widzi \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - ułamki odwrotne - i zapomina, że przy prostopadłości muszą mieć **przeciwne znaki**; tu oba minusy dają wynik \\(+1\\), czyli proste są **równoległe** (\\(a_m = a_n\\) po uproszczeniu? Nie - to nie równoległość, ale blisko: iloczyn \\(= 1\\), nie \\(-1\\)) |\n\n> ⚠️ Uwaga na parę \\(m\\) i \\(n\\): współczynniki \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) wyglądają jak \"odwrotności\" - ale oba są ujemne! Iloczyn wychodzi **dodatni**, co oznacza brak prostopadłości. Prostopadłość wymaga różnych znaków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a nie \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wiele osób myli te dwa warunki - \\(= 1\\) nie ma żadnego specjalnego znaczenia geometrycznego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\(l\\) i \\(n\\) ma współczynniki \\(\\frac{2}{3}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - to proste **symetryczne względem osi \\(x\\)**, ale nie prostopadłe. Nie mylić \"przeciwnych znaków\" z \"prostopadłością\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki trik na egzaminie - szukaj par, gdzie jeden współczynnik to **odwrócony ułamek z przeciwnym znakiem** drugiego. Tu \\(\\frac{2}{3} \\to -\\frac{3}{2}\\) - od razu widać parę \\(l\\) i \\(m\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste prostopadłe: \\(k_1\\cdot k_2 = -1\\).\n- \\(k\\colon k_1 = -1\\); \\(l\\colon k_2 = \\tfrac{2}{3}\\); \\(m\\colon k_3 = -\\tfrac{3}{2}\\); \\(n\\colon k_4 = -\\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(l\\cdot m\\colon \\tfrac{2}{3}\\cdot (-\\tfrac{3}{2}) = -1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych\n- \\(k\\cdot l\\colon -1\\cdot \\tfrac{2}{3} = -\\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(k\\cdot n\\colon -1\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = \\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(m\\cdot n\\colon -\\tfrac{3}{2}\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = 1\\) - to proste równoległe (przy \\(\\ne\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - iloczyn współczynników kierunkowych nie daje \\(-1\\).\n\n**Trik:** proste \\(l\\) i \\(m\\) mają przeciwne odwrotności współczynników z przeciwnym znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza nachyleń prostych\n\nAby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam nachył (współczynnik kierunkowy). Możemy obliczyć nachyły prostych k, l, m i n, a następnie sprawdzić, czy któryś z nich jest równy innemu.\n\n* **Prosta k:** y = -x + 1 => nachył k = -1\n* **Prosta l:** y = 2x + 1 => nachył l = 2\n* **Prosta m:** y = -3x + 4 => nachył m = -3\n* **Prosta n:** y = -2x - 1 => nachył n = -2\n\nWidzimy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3). Zatem proste k i m są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Sumy kątów, s.13 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak interpretować nachylenie)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na równoległość prostych\n\nDwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam nachył. Możemy to sprawdzić, obliczając nachyły prostych.\n\nNachył prostej k jest \\(m_k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) dla dowolnych punktów \\((x_1, y_1)\\) i \\((x_2, y_2)\\) na prostej. Podobnie dla innych prostych.\n\nSprawdzamy nachyły:\n\n* Nachył prostej k: \\(m_k = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = -1\\)\n* Nachył prostej m: \\(m_m = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = -\\frac{4}{3}\\)\n* Nachył prostej n: \\(m_n = \\frac{-1 - 0}{-2 - 0} = \\frac{1}{2}\\)\n\nZauważamy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3), co oznacza, że proste k i m są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory na nachylenie, s.18 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak obliczyć nachył)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. proste k oraz l:** Nachyły prostych k i l to -1 i 2, a -1 ≠ 2. Zatem proste k i l nie są równoległe.\n* **B. proste k oraz n:** Nachyły prostych k i n to -1 i 1/2, a -1 ≠ 1/2. Zatem proste k i n nie są równoległe.\n* **D. proste m oraz n:** Nachyły prostych m i n to -3 i 1/2, a -3 ≠ 1/2. Zatem proste m i n nie są równoległe.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Dane są cztery proste 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛 o równaniach:<br>𝑘: 𝑦= -𝑥+ 1<br>𝑙: 𝑦= 2<br>3 𝑥+ 1<br>𝑚: 𝑦= -3<br>2 𝑥+ 4<br>𝑛: 𝑦= -2<br>3 𝑥-1<br>Wśród tych prostych prostopadłe są<br>A. proste 𝑘 oraz 𝑙.<br>B. proste 𝑘 oraz 𝑛.<br>C. proste 𝑙 oraz 𝑚.<br>D. proste 𝑚 oraz 𝑛.<br>Dane są cztery proste k,l,m,n o równaniach: k: y=-x+1 l: y=2/3x+1 m: y=-3/2x+4 n: y=-2/3x-1. Wśród tych prostych prostopadłe są A. proste k oraz l. B. proste k oraz n. C. proste l oraz m. D. proste m oraz n</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>8.2) bada […] prostopadłość prostych na<br>podstawie ich równań kierunkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>C<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Proste \\(l\\) oraz \\(m\\) są prostopadłe.</p>\n<h4>Sposób 1 - sprawdzenie warunku prostopadłości przez iloczyn współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są <strong>prostopadłe</strong>, gdy:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Wypisujemy współczynniki kierunkowe wszystkich czterech prostych:</p>\n<p>| Prosta | Równanie | Współczynnik \\(a\\) |<br>| \\(k\\) | \\(y = -x + 1\\) | \\(a_k = -1\\) |<br>| \\(l\\) | \\(y = \\frac{2}{3}x + 1\\) | \\(a_l = \\frac{2}{3}\\) |<br>| \\(m\\) | \\(y = -\\frac{3}{2}x + 4\\) | \\(a_m = -\\frac{3}{2}\\) |<br>| \\(n\\) | \\(y = -\\frac{2}{3}x - 1\\) | \\(a_n = -\\frac{2}{3}\\) |</p>\n<p>Sprawdzamy pary z odpowiedzi:</p>\n<p><strong>Odp. A - \\(k\\) i \\(l\\):</strong><br>\\[a_k \\cdot a_l = (-1) \\cdot \\frac{2}{3} = -\\frac{2}{3} \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe.</p>\n<p><strong>Odp. B - \\(k\\) i \\(n\\):</strong><br>\\[a_k \\cdot a_n = (-1) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{2}{3} \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe.</p>\n<p><strong>Odp. C - \\(l\\) i \\(m\\):</strong><br>\\[a_l \\cdot a_m = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]<br><strong>Są prostopadłe!</strong></p>\n<p>Nie musimy sprawdzać D - znaleźliśmy odpowiedź, ale dla porządku:</p>\n<p><strong>Odp. D - \\(m\\) i \\(n\\):</strong><br>\\[a_m \\cdot a_n = \\left(-\\frac{3}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{6}{6} = 1 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe - są do siebie <strong>równoległe</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - rozumowanie geometryczne (odwrotność i zmiana znaku)</h4>\n<p>Jeśli prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a\\), to prosta do niej <strong>prostopadła</strong> ma współczynnik:<br>\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy któraś para spełnia tę zależność:</p>\n<ul><li>Prosta \\(l\\) ma \\(a_l = \\frac{2}{3}\\), więc prosta do niej prostopadła powinna mieć:</li></ul>\n<p>\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{\\frac{2}{3}} = -\\frac{3}{2}\\]</p>\n<p><strong>Dokładnie taki jest współczynnik prostej \\(m\\)!</strong> Zatem \\(l \\perp m\\). ✓</p>\n<p>Intuicja: prostopadłość to &quot;odwrócenie ułamka i zmiana znaku&quot; - \\(\\frac{2}{3}\\) zamienia się w \\(-\\frac{3}{2}\\). Ta para wręcz &quot;krzyczy&quot; prostopadłością, bo licznik i mianownik są zamienione, a znaki różne.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych:</p>\n<blockquote>Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1 do sprawdzenia każdej pary prostych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Para | Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(k\\) i \\(l\\) | \\(-\\frac{2}{3}\\) | Uczeń patrzy tylko na znaki (obie &quot;inne&quot; znaki \\(-\\) i \\(+\\)) i myli się - sam różny znak nie wystarczy |<br>| B | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(+\\frac{2}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(k: y=-x\\) jest prostopadłe do wszystkiego z ułamkiem |<br>| D | \\(m\\) i \\(n\\) | \\(+1\\) | Uczeń widzi \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - ułamki odwrotne - i zapomina, że przy prostopadłości muszą mieć <strong>przeciwne znaki</strong>; tu oba minusy dają wynik \\(+1\\), czyli proste są <strong>równoległe</strong> (\\(a_m = a_n\\) po uproszczeniu? Nie - to nie równoległość, ale blisko: iloczyn \\(= 1\\), nie \\(-1\\)) |</p>\n<blockquote>⚠️ Uwaga na parę \\(m\\) i \\(n\\): współczynniki \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) wyglądają jak &quot;odwrotności&quot; - ale oba są ujemne! Iloczyn wychodzi <strong>dodatni</strong>, co oznacza brak prostopadłości. Prostopadłość wymaga różnych znaków.</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prostopadłość to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a nie \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wiele osób myli te dwa warunki - \\(= 1\\) nie ma żadnego specjalnego znaczenia geometrycznego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Para \\(l\\) i \\(n\\) ma współczynniki \\(\\frac{2}{3}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - to proste <strong>symetryczne względem osi \\(x\\)</strong>, ale nie prostopadłe. Nie mylić &quot;przeciwnych znaków&quot; z &quot;prostopadłością&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szybki trik na egzaminie - szukaj par, gdzie jeden współczynnik to <strong>odwrócony ułamek z przeciwnym znakiem</strong> drugiego. Tu \\(\\frac{2}{3} \\to -\\frac{3}{2}\\) - od razu widać parę \\(l\\) i \\(m\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości</h5>\n<p>Proste prostopadłe: \\(k_1\\cdot k_2 = -1\\).</p>\n<ul><li>\\(k\\colon k_1 = -1\\); \\(l\\colon k_2 = \\tfrac{2}{3}\\); \\(m\\colon k_3 = -\\tfrac{3}{2}\\); \\(n\\colon k_4 = -\\tfrac{2}{3}\\).</li><li>\\(l\\cdot m\\colon \\tfrac{2}{3}\\cdot (-\\tfrac{3}{2}) = -1\\) ✓.</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych</h5>\n<ul><li>\\(k\\cdot l\\colon -1\\cdot \\tfrac{2}{3} = -\\tfrac{2}{3}\\).</li><li>\\(k\\cdot n\\colon -1\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = \\tfrac{2}{3}\\).</li><li>\\(m\\cdot n\\colon -\\tfrac{3}{2}\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = 1\\) - to proste równoległe (przy \\(\\ne\\)).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, D</strong> - iloczyn współczynników kierunkowych nie daje \\(-1\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> proste \\(l\\) i \\(m\\) mają przeciwne odwrotności współczynników z przeciwnym znakiem.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza nachyleń prostych</h5>\n<p>Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam nachył (współczynnik kierunkowy). Możemy obliczyć nachyły prostych k, l, m i n, a następnie sprawdzić, czy któryś z nich jest równy innemu.</p>\n<ul><li><strong>Prosta k:</strong> y = -x + 1 =&gt; nachył k = -1</li><li><strong>Prosta l:</strong> y = 2x + 1 =&gt; nachył l = 2</li><li><strong>Prosta m:</strong> y = -3x + 4 =&gt; nachył m = -3</li><li><strong>Prosta n:</strong> y = -2x - 1 =&gt; nachył n = -2</li></ul>\n<p>Widzimy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3). Zatem proste k i m są równoległe.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Sumy kątów, s.13 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak interpretować nachylenie)</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na równoległość prostych</h5>\n<p>Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam nachył. Możemy to sprawdzić, obliczając nachyły prostych.</p>\n<p>Nachył prostej k jest \\(m_k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) dla dowolnych punktów \\((x_1, y_1)\\) i \\((x_2, y_2)\\) na prostej. Podobnie dla innych prostych.</p>\n<p>Sprawdzamy nachyły:</p>\n<ul><li>Nachył prostej k: \\(m_k = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = -1\\)</li><li>Nachył prostej m: \\(m_m = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = -\\frac{4}{3}\\)</li><li>Nachył prostej n: \\(m_n = \\frac{-1 - 0}{-2 - 0} = \\frac{1}{2}\\)</li></ul>\n<p>Zauważamy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3), co oznacza, że proste k i m są równoległe.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Wzory na nachylenie, s.18 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak obliczyć nachył)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. proste k oraz l:</strong> Nachyły prostych k i l to -1 i 2, a -1 ≠ 2. Zatem proste k i l nie są równoległe.</li><li><strong>B. proste k oraz n:</strong> Nachyły prostych k i n to -1 i 1/2, a -1 ≠ 1/2. Zatem proste k i n nie są równoległe.</li><li><strong>D. proste m oraz n:</strong> Nachyły prostych m i n to -3 i 1/2, a -3 ≠ 1/2. Zatem proste m i n nie są równoległe.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, iloczyn współczynników kierunkowych prostych $l$ i $m$ jest równy $-1$, co oznacza, że są prostopadłe.</p>"}]}