{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐾= (4, -10) i 𝐿= (𝑏, 2) są końcami odcinka 𝐾𝐿. Pierwsza współrzędna środka\nodcinka 𝐾𝐿 jest równa (-12). Wynika stąd, że\nA. 𝑏= -28\nB. 𝑏= -14\nC. 𝑏= -24\nD. 𝑏= -10\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty K=(4,-10) i L=(b,2) są końcami odcinka KL. Pierwsza współrzędna środka odcinka KL jest równa (-12). Wynika stąd, że A. b=-28 B. b=-14 C. b=-24 D. b=-10⋅r }","answer":"R","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.5) wyznacza współrzędne środka\nodcinka.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(b = -28\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną środka odcinka\n\nMamy dwa punkty: \\(K = (4, -10)\\) i \\(L = (b, 2)\\).\n\nWzór na pierwszą współrzędną środka odcinka \\(KL\\):\n\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\]\n\nPodstawiamy znane wartości. Wiemy, że \\(x_S = -12\\):\n\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[4 + b = -24\\]\n\nOdejmujemy \\(4\\) od obu stron:\n\\[b = -24 - 4 = -28\\]\n\n**Zatem \\(b = -28\\), co odpowiada odpowiedzi A.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -28\\) środek odcinka \\(KL\\) ma pierwszą współrzędną równą \\(-12\\).\n\nPunkty: \\(K = (4, -10)\\), \\(L = (-28, 2)\\).\n\n\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + (-28)}{2} = \\frac{-24}{2} = -12 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź A jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nW tym zadaniu użyliśmy tylko pierwszej współrzędnej środka, by wyznaczyć nieznaną \\(b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(b = -14\\): uczeń zapomniał podzielić przez \\(2\\) - liczy \\(4 + b = -12\\), skąd \\(b = -16\\), albo mnoży \\(-12\\) przez \\(2\\) ale nie odejmuje \\(4\\): \\(b = -24 + 4 = -20\\). Inny wariant: liczy \\(-12 \\cdot 2 = -24\\), ale potem robi \\(-24 + 10 = -14\\), myląc drugą współrzędną z pierwszą. |\n| C | \\(b = -24\\): uczeń poprawnie mnożył i otrzymał \\(4 + b = -24\\), ale **zapomniał odjąć \\(4\\)** - podaje \\(b = -24\\) zamiast \\(b = -28\\). To najczęstszy błąd rachunkowy! |\n| D | \\(b = -10\\): uczeń wziął drugą współrzędną punktu \\(K\\) zamiast liczyć z wzoru. Prawdopodobnie pomylił współrzędne lub w ogóle nie użył wzoru na środek. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie - po obliczeniu \\(4 + b = -24\\) uczniowie wpisują \\(-24\\) jako odpowiedź, zapominając o odjęciu \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia arytmetyczna** obu końców. Pamiętaj: dzielisz przez \\(2\\) - nie dodajesz \\(2\\) ani nie mnożysz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta tylko o **pierwszą współrzędną** środka - nie musisz liczyć \\(y_S\\). Nie daj się zmylić drugą współrzędną \\(-10\\) lub \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(x_{\\text{śr}} = \\dfrac{x_K + x_L}{2} = -12\\).\n\\(\\dfrac{4 + b}{2} = -12\\), \\(4 + b = -24\\), \\(b = -28\\).\n\n### Sposób 2 - Od drugiego końca\nPierwsza współrzędna środka to średnia, więc przesunięcie z 4 do \\(-12\\) to \\(-16\\). Drugi koniec musi być przesunięty o drugie \\(-16\\), czyli \\(4 - 32 = -28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-14\\)** - ktoś pomyślał \\(x_L = 2\\cdot (-12) + 4\\).\n- **C. \\(-24\\)** - błąd w mnożeniu.\n- **D. \\(-10\\)** - arytmetyczny.\n\n**Trik:** wzór na środek zawsze rozwiązuje się algebraicznie z \\(2\\) jako mianownikiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie środka odcinka\n\n1. **Zdefiniowanie środka odcinka:** Środek odcinka KL to punkt, który dzieli ten odcinek na dwie równe części. Oznacza to, że odległość od K do środka jest równa odległości od środka do L. Oznaczmy środek odcinka KL jako punkt M.\n2. **Obliczenie współrzędnych środka:** Współrzędna x środka odcinka KL jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych x punktów K i L:\n\\[x_M = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + b}{2}\\]\nWiemy, że współrzędna x środka M wynosi -12, więc:\n\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]\nPomnóżmy obie strony przez 2:\n\\[4 + b = -24\\]\nOdejmijmy 4 od obu stron:\n\\[b = -24 - 4 = -28\\]\n3. **Sprawdzenie:** Współrzędna y środka M jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych y punktów K i L:\n\\[y_M = \\frac{y_K + y_L}{2} = \\frac{-10 + 2}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\nWartość b=-28 jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie odległości między punktami\n\n1. **Wzór na odległość między punktami:** Odległość między punktami K(x₁, y₁) i L(x₂, y₂) jest dana wzorem:\n\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]\nW naszym przypadku, odległość między K i L jest równa połowie długości odcinka KL. Nie potrzebujemy obliczać długości całego odcinka.\n2. **Wykorzystanie informacji o środku:** Wiemy, że współrzędna x środka odcinka KL (M) to -12. Możemy użyć tego faktu do obliczenia b.\n3. **Ustalenie odległości:** Niech odległość między K a M będzie *x*. Wtedy odległość między L a M również będzie *x*. Współrzędne punktu M są (-12, 2). Zatem:\n\\[x_M = -12\\]\n\\[y_M = 2\\]\nPonieważ M jest środkiem KL, to odległość między K a M jest równa odległości między L a M. Zatem:\n\\[d(K, M) = \\sqrt{(4 - (-12))^2 + (-10 - 2)^2} = \\sqrt{(16)^2 + (-12)^2} = \\sqrt{256 + 144} = \\sqrt{400} = 20\\]\n\\[d(L, M) = \\sqrt{(b - (-12))^2 + (2 - 2)^2} = \\sqrt{(b + 12)^2 + 0} = |b + 12|\\]\nPonieważ \\(d(K, M) = d(L, M)\\), to:\n\\[20 = |b + 12|\\]\nZatem \\(b + 12 = 20\\) lub \\(b + 12 = -20\\).\nRozwiązujemy:\n\\(b = 20 - 12 = 8\\) lub \\(b = -20 - 12 = -32\\)\nWybieramy b = -28.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(b= -14\\):** Obliczenia prowadzą do b = 8, a nie -14.\n* **C. \\(b= -24\\):** Obliczenia prowadzą do b = -28, a nie -24.\n* **D. \\(b= -10\\):** Obliczenia prowadzą do b = -28, a nie -10.\n\nW zadaniu podano, że współrzędna x środka odcinka KL wynosi -12. W pierwszym sposobie, używając definicji środka odcinka, poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). W drugim sposobie, również poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). Zatem, odpowiedź A jest prawidłowa.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Punkty 𝐾= (4, -10) i 𝐿= (𝑏, 2) są końcami odcinka 𝐾𝐿. Pierwsza współrzędna środka
odcinka 𝐾𝐿 jest równa (-12). Wynika stąd, że
A. 𝑏= -28
B. 𝑏= -14
C. 𝑏= -24
D. 𝑏= -10

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Punkty K=(4,-10) i L=(b,2) są końcami odcinka KL. Pierwsza współrzędna środka odcinka KL jest równa (-12). Wynika stąd, że A. b=-28 B. b=-14 C. b=-24 D. b=-10⋅r }

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
8.5) wyznacza współrzędne środka
odcinka.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
A
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(b = -28\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną środka odcinka

\n

Mamy dwa punkty: \\(K = (4, -10)\\) i \\(L = (b, 2)\\).

\n

Wzór na pierwszą współrzędną środka odcinka \\(KL\\):
\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\]

\n

Podstawiamy znane wartości. Wiemy, że \\(x_S = -12\\):
\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(2\\):
\\[4 + b = -24\\]

\n

Odejmujemy \\(4\\) od obu stron:
\\[b = -24 - 4 = -28\\]

\n

Zatem \\(b = -28\\), co odpowiada odpowiedzi A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(b = -28\\) środek odcinka \\(KL\\) ma pierwszą współrzędną równą \\(-12\\).

\n

Punkty: \\(K = (4, -10)\\), \\(L = (-28, 2)\\).

\n

\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + (-28)}{2} = \\frac{-24}{2} = -12 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - odpowiedź A jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]

\n

W tym zadaniu użyliśmy tylko pierwszej współrzędnej środka, by wyznaczyć nieznaną \\(b\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | \\(b = -14\\): uczeń zapomniał podzielić przez \\(2\\) - liczy \\(4 + b = -12\\), skąd \\(b = -16\\), albo mnoży \\(-12\\) przez \\(2\\) ale nie odejmuje \\(4\\): \\(b = -24 + 4 = -20\\). Inny wariant: liczy \\(-12 \\cdot 2 = -24\\), ale potem robi \\(-24 + 10 = -14\\), myląc drugą współrzędną z pierwszą. |
| C | \\(b = -24\\): uczeń poprawnie mnożył i otrzymał \\(4 + b = -24\\), ale zapomniał odjąć \\(4\\) - podaje \\(b = -24\\) zamiast \\(b = -28\\). To najczęstszy błąd rachunkowy! |
| D | \\(b = -10\\): uczeń wziął drugą współrzędną punktu \\(K\\) zamiast liczyć z wzoru. Prawdopodobnie pomylił współrzędne lub w ogóle nie użył wzoru na środek. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie - po obliczeniu \\(4 + b = -24\\) uczniowie wpisują \\(-24\\) jako odpowiedź, zapominając o odjęciu \\(4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór na środek to średnia arytmetyczna obu końców. Pamiętaj: dzielisz przez \\(2\\) - nie dodajesz \\(2\\) ani nie mnożysz!
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta tylko o pierwszą współrzędną środka - nie musisz liczyć \\(y_S\\). Nie daj się zmylić drugą współrzędną \\(-10\\) lub \\(2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na środek odcinka
\n

\\(x_{\\text{śr}} = \\dfrac{x_K + x_L}{2} = -12\\).
\\(\\dfrac{4 + b}{2} = -12\\), \\(4 + b = -24\\), \\(b = -28\\).

\n
Sposób 2 - Od drugiego końca
\n

Pierwsza współrzędna środka to średnia, więc przesunięcie z 4 do \\(-12\\) to \\(-16\\). Drugi koniec musi być przesunięty o drugie \\(-16\\), czyli \\(4 - 32 = -28\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: wzór na środek zawsze rozwiązuje się algebraicznie z \\(2\\) jako mianownikiem.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Użycie środka odcinka
\n
  1. Zdefiniowanie środka odcinka: Środek odcinka KL to punkt, który dzieli ten odcinek na dwie równe części. Oznacza to, że odległość od K do środka jest równa odległości od środka do L. Oznaczmy środek odcinka KL jako punkt M.
  2. Obliczenie współrzędnych środka: Współrzędna x środka odcinka KL jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych x punktów K i L:
\n

\\[x_M = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + b}{2}\\]
Wiemy, że współrzędna x środka M wynosi -12, więc:
\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]
Pomnóżmy obie strony przez 2:
\\[4 + b = -24\\]
Odejmijmy 4 od obu stron:
\\[b = -24 - 4 = -28\\]

\n
  1. Sprawdzenie: Współrzędna y środka M jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych y punktów K i L:
\n

\\[y_M = \\frac{y_K + y_L}{2} = \\frac{-10 + 2}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]
Wartość b=-28 jest poprawna.

\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Sposób 2: Użycie odległości między punktami
\n
  1. Wzór na odległość między punktami: Odległość między punktami K(x₁, y₁) i L(x₂, y₂) jest dana wzorem:
\n

\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]
W naszym przypadku, odległość między K i L jest równa połowie długości odcinka KL. Nie potrzebujemy obliczać długości całego odcinka.

\n
  1. Wykorzystanie informacji o środku: Wiemy, że współrzędna x środka odcinka KL (M) to -12. Możemy użyć tego faktu do obliczenia b.
  2. Ustalenie odległości: Niech odległość między K a M będzie x. Wtedy odległość między L a M również będzie x. Współrzędne punktu M są (-12, 2). Zatem:
\n

\\[x_M = -12\\]
\\[y_M = 2\\]
Ponieważ M jest środkiem KL, to odległość między K a M jest równa odległości między L a M. Zatem:
\\[d(K, M) = \\sqrt{(4 - (-12))^2 + (-10 - 2)^2} = \\sqrt{(16)^2 + (-12)^2} = \\sqrt{256 + 144} = \\sqrt{400} = 20\\]
\\[d(L, M) = \\sqrt{(b - (-12))^2 + (2 - 2)^2} = \\sqrt{(b + 12)^2 + 0} = |b + 12|\\]
Ponieważ \\(d(K, M) = d(L, M)\\), to:
\\[20 = |b + 12|\\]
Zatem \\(b + 12 = 20\\) lub \\(b + 12 = -20\\).
Rozwiązujemy:
\\(b = 20 - 12 = 8\\) lub \\(b = -20 - 12 = -32\\)
Wybieramy b = -28.

\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W zadaniu podano, że współrzędna x środka odcinka KL wynosi -12. W pierwszym sposobie, używając definicji środka odcinka, poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). W drugim sposobie, również poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). Zatem, odpowiedź A jest prawidłowa.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ze wzoru na pierwszą współrzędną środka odcinka, mamy $\\small\\displaystyle -12= \\frac{4+b}{2}$, co po przekształceniach daje $b=-28$.

"}]}