{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-4, 4) i 𝐵= (4, 0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątna\ntego kwadratu ma długość\nA. 4√10\nB. 4√2\nC. 4√5\nD. 4√7\nPunkty A=(-4,4) i B=(4,0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość A. 4√10 B. 4√2 C. 4√5 D. 4√7","answer":"R","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na długość odcinka + przekątna kwadratu\n\n**Krok 1: Obliczamy długość boku kwadratu \\(|AB|\\).**\n\nDane: \\(A = (-4, 4)\\), \\(B = (4, 0)\\).\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2}\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z zależności między bokiem a przekątną kwadratu.**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).\n\n\\[d = |AB| \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa (bez wzoru na przekątną kwadratu)\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(|AB|^2\\) - nie wyciągamy pierwiastka.**\n\n\\[|AB|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\\]\n\n**Krok 2: Przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o ramionach równych bokom.**\n\n\\[d^2 = |AB|^2 + |AB|^2 = 80 + 80 = 160\\]\n\n**Krok 3: Wyciągamy pierwiastek.**\n\n\\[d = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia boku kwadratu \\(|AB|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia przekątnej (jako przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o ramionach \\(a = a\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(4\\sqrt{2}\\) | Uczeń zapomniał obliczyć \\(\\|AB\\|\\) i wstawił samą różnicę jednej współrzędnej (\\(4 \\cdot \\sqrt{2}\\) z \\(\\Delta x = 8\\)), ignorując \\(\\Delta y\\) |\n| C - \\(4\\sqrt{5}\\) | Poprawnie obliczono **bok** kwadratu \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\), ale pomylono go z **przekątną** - brak przemnożenia przez \\(\\sqrt{2}\\) |\n| D - \\(4\\sqrt{7}\\) | Błędne obliczenie: np. \\(\\sqrt{64 + 16 + 16}\\) lub inne pomylenie się przy dodawaniu pod pierwiastkiem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na kroku \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\) i podanie tego jako odpowiedź (odpowiedź C). Pamiętaj - zadanie pyta o **przekątną**, nie o bok!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\((4 - (-4))^2\\) uważaj na podwójny minus: \\(4 - (-4) = 8\\), nie \\(4\\). To częste źródło błędu prowadzące do odpowiedzi B lub D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki sposób na uproszczenie: \\(\\sqrt{80} = \\sqrt{16 \\cdot 5} = 4\\sqrt{5}\\) i \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zawsze rozkładaj wyrażenie pod pierwiastkiem na iloczyn z pełnym kwadratem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odległość AB i przekątna\n\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-4))^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\).\nPrzekątna kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór\nBok \\(a = |AB|\\), przekątna \\(a\\sqrt{2}\\).\n\\(a^2 = 80\\), \\(d^2 = 2a^2 = 160\\), \\(d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\sqrt{2}\\)** - tu bok = 4, ale tak nie jest.\n- **C. \\(4\\sqrt{5}\\)** - to bok, nie przekątna.\n- **D. \\(4\\sqrt{7}\\)** - niedokładne zastosowanie.\n\n**Trik:** przekątna kwadratu \\(=\\) bok \\(\\cdot\\ \\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy dwa sąsiednie wierzchołki kwadratu (A i B) oraz długość przekątnej (A). Musimy obliczyć długość przekątnej.\n2. **Wzór na przekątną kwadratu:** Długość przekątnej kwadratu o boku *a* wynosi \\(a\\sqrt{2}\\). W naszym przypadku, AB to jeden bok kwadratu, a przekątna to A.\n3. **Obliczenie boku kwadratu:** Korzystając z twierdzenia Pitagorowego na trójkącie prostokątnym ABC (gdzie AB to bok kwadratu, a AC to przekątna):\n\\(AB^2 + BC^2 = AC^2\\)\n\\(4^2 + 0^2 = A^2\\)\n\\(16 = A^2\\)\n\\(A = 4\\) (To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano A=4√10. Biorąc pod uwagę, że A to długość przekątnej, to A=4)\n4. **Weryfikacja:** Jeśli bok kwadratu to 4, to przekątna to \\(4\\sqrt{2}\\). Zatem, A=4√2, co nie zgadza się z podaną wartością A=4√10. To wskazuje na błąd w treści zadania. Jednakże, skoro A=4√10, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.\n5. **Obliczenie boku kwadratu (z A=4√10):**\n\\(A^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)\n\\( (4\\sqrt{10})^2 = 2a^2\\)\n\\(16 * 10 = 2a^2\\)\n\\(160 = 2a^2\\)\n\\(a^2 = 80\\)\n\\(a = \\sqrt{80} = \\sqrt{16 * 5} = 4\\sqrt{5}\\)\nDługość przekątnej kwadratu to \\(a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} * \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\). Zatem, A=4√10.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie informacji o wierzchołkach i przekątnej\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy wierzchołki A i B oraz długość przekątnej A. Wierzchołki A i B są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu.\n2. **Obliczenie długości AB:** AB to jeden z boków kwadratu. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\)\n\\(AB^2 = (4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = (8)^2 + (-4)^2 = 64 + 16 = 80\\)\n\\(AB = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\)\n3. **Obliczenie długości przekątnej:** Długość przekątnej kwadratu to \\(A = \\sqrt{2} * AB = \\sqrt{2} * 4\\sqrt{5} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n* **C:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n* **D:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n\nW treści zadania jest błąd, ponieważ podano A=4√10, a prawidłowa długość przekątnej kwadratu o boku 4 wynosi 4√2. Jednakże, rozwiązując zadanie z podaną wartością A=4√10, otrzymujemy prawidłową odpowiedź.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Punkty 𝐴= (-4, 4) i 𝐵= (4, 0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątna<br>tego kwadratu ma długość<br>A. 4√10<br>B. 4√2<br>C. 4√5<br>D. 4√7<br>Punkty A=(-4,4) i B=(4,0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość A. 4√10 B. 4√2 C. 4√5 D. 4√7</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(4\\sqrt{10}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na długość odcinka + przekątna kwadratu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Obliczamy długość boku kwadratu \\(|AB|\\).</strong></p>\n<p>Dane: \\(A = (-4, 4)\\), \\(B = (4, 0)\\).</p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2}\\]</p>\n<p>\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Korzystamy z zależności między bokiem a przekątną kwadratu.</strong></p>\n<p>W kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).</p>\n<p>\\[d = |AB| \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa (bez wzoru na przekątną kwadratu)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Obliczamy \\(|AB|^2\\) - nie wyciągamy pierwiastka.</strong></p>\n<p>\\[|AB|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o ramionach równych bokom.</strong></p>\n<p>\\[d^2 = |AB|^2 + |AB|^2 = 80 + 80 = 160\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyciągamy pierwiastek.</strong></p>\n<p>\\[d = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia boku kwadratu \\(|AB|\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[d^2 = a^2 + b^2\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia przekątnej (jako przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o ramionach \\(a = a\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B - \\(4\\sqrt{2}\\) | Uczeń zapomniał obliczyć \\(\\|AB\\|\\) i wstawił samą różnicę jednej współrzędnej (\\(4 \\cdot \\sqrt{2}\\) z \\(\\Delta x = 8\\)), ignorując \\(\\Delta y\\) |<br>| C - \\(4\\sqrt{5}\\) | Poprawnie obliczono <strong>bok</strong> kwadratu \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\), ale pomylono go z <strong>przekątną</strong> - brak przemnożenia przez \\(\\sqrt{2}\\) |<br>| D - \\(4\\sqrt{7}\\) | Błędne obliczenie: np. \\(\\sqrt{64 + 16 + 16}\\) lub inne pomylenie się przy dodawaniu pod pierwiastkiem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na kroku \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\) i podanie tego jako odpowiedź (odpowiedź C). Pamiętaj - zadanie pyta o <strong>przekątną</strong>, nie o bok!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy liczeniu \\((4 - (-4))^2\\) uważaj na podwójny minus: \\(4 - (-4) = 8\\), nie \\(4\\). To częste źródło błędu prowadzące do odpowiedzi B lub D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szybki sposób na uproszczenie: \\(\\sqrt{80} = \\sqrt{16 \\cdot 5} = 4\\sqrt{5}\\) i \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zawsze rozkładaj wyrażenie pod pierwiastkiem na iloczyn z pełnym kwadratem!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odległość AB i przekątna</h5>\n<p>\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-4))^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\).<br>Przekątna kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośredni wzór</h5>\n<p>Bok \\(a = |AB|\\), przekątna \\(a\\sqrt{2}\\).<br>\\(a^2 = 80\\), \\(d^2 = 2a^2 = 160\\), \\(d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(4\\sqrt{2}\\)</strong> - tu bok = 4, ale tak nie jest.</li><li><strong>C. \\(4\\sqrt{5}\\)</strong> - to bok, nie przekątna.</li><li><strong>D. \\(4\\sqrt{7}\\)</strong> - niedokładne zastosowanie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przekątna kwadratu \\(=\\) bok \\(\\cdot\\ \\sqrt{2}\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie problemu:</strong> Mamy dwa sąsiednie wierzchołki kwadratu (A i B) oraz długość przekątnej (A). Musimy obliczyć długość przekątnej.</li><li><strong>Wzór na przekątną kwadratu:</strong> Długość przekątnej kwadratu o boku <em>a</em> wynosi \\(a\\sqrt{2}\\). W naszym przypadku, AB to jeden bok kwadratu, a przekątna to A.</li><li><strong>Obliczenie boku kwadratu:</strong> Korzystając z twierdzenia Pitagorowego na trójkącie prostokątnym ABC (gdzie AB to bok kwadratu, a AC to przekątna):</li></ol>\n<p>\\(AB^2 + BC^2 = AC^2\\)<br>\\(4^2 + 0^2 = A^2\\)<br>\\(16 = A^2\\)<br>\\(A = 4\\) (To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano A=4√10. Biorąc pod uwagę, że A to długość przekątnej, to A=4)</p>\n<ol><li><strong>Weryfikacja:</strong> Jeśli bok kwadratu to 4, to przekątna to \\(4\\sqrt{2}\\). Zatem, A=4√2, co nie zgadza się z podaną wartością A=4√10. To wskazuje na błąd w treści zadania. Jednakże, skoro A=4√10, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.</li><li><strong>Obliczenie boku kwadratu (z A=4√10):</strong></li></ol>\n<p>\\(A^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)<br>\\( (4\\sqrt{10})^2 = 2a^2\\)<br>\\(16 * 10 = 2a^2\\)<br>\\(160 = 2a^2\\)<br>\\(a^2 = 80\\)<br>\\(a = \\sqrt{80} = \\sqrt{16 * 5} = 4\\sqrt{5}\\)<br>Długość przekątnej kwadratu to \\(a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} * \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\). Zatem, A=4√10.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie informacji o wierzchołkach i przekątnej</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie problemu:</strong> Mamy wierzchołki A i B oraz długość przekątnej A. Wierzchołki A i B są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu.</li><li><strong>Obliczenie długości AB:</strong> AB to jeden z boków kwadratu. Z twierdzenia Pitagorowego:</li></ol>\n<p>\\(AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\)<br>\\(AB^2 = (4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = (8)^2 + (-4)^2 = 64 + 16 = 80\\)<br>\\(AB = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\)</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie długości przekątnej:</strong> Długość przekątnej kwadratu to \\(A = \\sqrt{2} * AB = \\sqrt{2} * 4\\sqrt{5} = 4\\sqrt{10}\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B:</strong> Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.</li><li><strong>C:</strong> Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.</li><li><strong>D:</strong> Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.</li></ul>\n<p>W treści zadania jest błąd, ponieważ podano A=4√10, a prawidłowa długość przekątnej kwadratu o boku 4 wynosi 4√2. Jednakże, rozwiązując zadanie z podaną wartością A=4√10, otrzymujemy prawidłową odpowiedź.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, długość boku kwadratu, będąca odległością między punktami $A$ i $B$, wynosi $\\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\\sqrt{8^2+(-4)^2}=\\sqrt{64+16}=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$, co oznacza, że długość przekątnej jest równa $4\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}$.</p>"}]}