{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm.\nWysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy\nobjętość graniastosłupa jest równa\nA. 560 cm3\nB. 280 cm3\nC. 280\n3 cm3\nD. 560\n3 cm3\nPodstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa A. 560 cm³ B. 280 cm³ C. 280/3 cm³ D. 560/3 cm^3","answer":"R","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa\nprostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(280\\) cm\\(^3\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na objętość graniastosłupa prostego\n\n**Dane:**\n- Przekątne rombu: \\(d_1 = 7\\) cm, \\(d_2 = 10\\) cm\n- Dłuższa przekątna: \\(d_2 = 10\\) cm\n- Wysokość graniastosłupa: \\(h = d_2 - 2 = 10 - 2 = 8\\) cm\n\n**Krok 1 - Pole podstawy (romb)**\n\nPole rombu wyraża się wzorem przez jego przekątne:\n\\[P_{\\text{rombu}} = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{7 \\cdot 10}{2} = \\frac{70}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 2 - Objętość graniastosłupa prostego**\n\nObjętość graniastosłupa prostego to pole podstawy razy wysokość:\n\\[V = P_p \\cdot h = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez rozkład rombu na cztery trójkąty prostokątne\n\nRomb o przekątnych \\(d_1 = 7\\) cm i \\(d_2 = 10\\) cm dzielimy przekątnymi na cztery przystające trójkąty prostokątne, każdy o przyprostokątnych \\(\\frac{d_1}{2} = 3{,}5\\) cm i \\(\\frac{d_2}{2} = 5\\) cm.\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 3{,}5 \\cdot 5 = \\frac{17{,}5}{2} = 8{,}75 \\text{ cm}^2\\]\n\nPole rombu (4 takie trójkąty):\n\\[P_{\\text{rombu}} = 4 \\cdot 8{,}75 = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\nObjętość (wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm):\n\\[V = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nKluczowy wzór w tym zadaniu - pole podstawy razy wysokość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(560\\) cm\\(^3\\) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\) w polu rombu: wzięto \\(P = d_1 \\cdot d_2 = 70\\) zamiast \\(35\\), stąd \\(70 \\cdot 8 = 560\\) |\n| C - \\(\\frac{280}{3}\\) cm\\(^3\\) | Pomylono graniastosłup z **ostrosłupem** i użyto \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\), czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 35 \\cdot 8 = \\frac{280}{3}\\) |\n| D - \\(\\frac{560}{3}\\) cm\\(^3\\) | Podwójny błąd: brak dzielenia przez \\(2\\) w polu rombu **i** użycie wzoru na ostrosłup, czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 70 \\cdot 8 = \\frac{560}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole rombu to \\(\\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), nie \\(d_1 \\cdot d_2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - brakujące dzielenie przez 2 podwaja wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup to **nie** ostrosłup! Objętość graniastosłupa to \\(P_p \\cdot h\\), a ostrosłupa to \\(\\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\). Odpowiedzi C i D są właśnie pułapkami dla tych, którzy mylą te dwa wzory.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, która przekątna jest dłuższa - tu \\(d_2 = 10\\) cm, więc wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm. Gdybyś omyłkowo odjął od \\(7\\), dostałbyś \\(h = 5\\) cm i błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Pole rombu i objętość\nPole rombu: \\(P = \\tfrac{d_1\\cdot d_2}{2} = \\tfrac{7\\cdot 10}{2} = 35\\) cm\\(^2\\).\nWysokość graniastosłupa: dłuższa przekątna minus 2 = \\(10 - 2 = 8\\) cm.\nObjętość: \\(V = P_{\\text{podstawy}}\\cdot H = 35\\cdot 8 = 280\\) cm\\(^3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(35\\cdot 8 = 280\\). Odpowiedź B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(560\\)** - pomylono z polem bez dzielenia przez 2.\n- **C, D. \\(\\tfrac{280}{3}\\), \\(\\tfrac{560}{3}\\)** - objętość ostrosłupa zamiast graniastosłupa.\n\n**Trik:** graniastosłup = pole × wysokość (bez \\(\\tfrac{1}{3}\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.\n1. **Obliczenie długości przekątnej rombu:** Używamy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątne i połowy boków rombu.\n\\[a² + b² = d₁²\\]\ngdzie \\(a\\) i \\(b\\) to długości boków rombu, a \\(d₁\\) to dłuższa przekątna (10 cm). Ponieważ podstawa graniastosłupa to romb, możemy przyjąć, że bok rombu jest równy a, a b jest wysokością, którą musimy obliczyć. Z treści zadania wiemy, że wysokość jest krótsza od dłuższej przekątnej o 2 cm, czyli \\(b = 10 - 2 = 8\\) cm. Wtedy:\n\\[a² + 8² = 10²\\]\n\\[a² + 64 = 100\\]\n\\[a² = 36\\]\n\\[a = 6\\]\nZatem długość boków rombu wynosi 6 cm.\n\n2. **Obliczenie pola rombu:** Pole rombu obliczamy ze wzoru:\n\\[P = \\frac{d₁d₂}{2}\\]\ngdzie \\(d₁\\) i \\(d₂\\) to długości przekątnych. W naszym przypadku \\(d₁ = 10\\) cm i \\(d₂ = 7\\) cm.\n\\[P = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\n3. **Obliczenie wysokości graniastosłupa:** Wiemy, że wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm, a dłuższa przekątna rombu wynosi 10 cm. Zatem:\n\\[h = 10 - 2 = 8 \\text{ cm}\\]\n\n4. **Obliczenie objętości graniastosłupa:** Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:\n\\[V = P \\cdot h\\]\ngdzie \\(P\\) to pole podstawy, a \\(h\\) to wysokość graniastosłupa.\n\\[V = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa, korzystając z wysokości rombu.\n1. **Obliczenie wysokości rombu:** Z treści zadania wiemy, że wysokość rombu (h) jest krótsza od dłuższej przekątnej (10 cm) o 2 cm, więc \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm.\n\n2. **Obliczenie pola podstawy rombu:** Jak w sposobie 1, \\(P = \\frac{d₁d₂}{2} = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\).\n\n3. **Obliczenie objętości graniastosłupa:** Jak w sposobie 1, \\(V = P \\cdot h = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(560 cm^{3}\\)**: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.\n* **C. \\([280] cm^{3}\\)**: To jest poprawny wynik, ale odpowiedź musi być podana w jednostkach cm³.\n* **D. \\([560] cm^{3}\\)**: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.\n\n**Podsumowanie:** Obie metody prowadzą do tego samego wyniku, czyli 280 cm³. Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm.<br>Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy<br>objętość graniastosłupa jest równa<br>A. 560 cm3<br>B. 280 cm3<br>C. 280<br>3 cm3<br>D. 560<br>3 cm3<br>Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa A. 560 cm³ B. 280 cm³ C. 280/3 cm³ D. 560/3 cm^3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa<br>prostego […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(280\\) cm\\(^3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na objętość graniastosłupa prostego</h4>\n<p><strong>Dane:</strong></p>\n<ul><li>Przekątne rombu: \\(d_1 = 7\\) cm, \\(d_2 = 10\\) cm</li><li>Dłuższa przekątna: \\(d_2 = 10\\) cm</li><li>Wysokość graniastosłupa: \\(h = d_2 - 2 = 10 - 2 = 8\\) cm</li></ul>\n<p><strong>Krok 1 - Pole podstawy (romb)</strong></p>\n<p>Pole rombu wyraża się wzorem przez jego przekątne:<br>\\[P_{\\text{rombu}} = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{7 \\cdot 10}{2} = \\frac{70}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Objętość graniastosłupa prostego</strong></p>\n<p>Objętość graniastosłupa prostego to pole podstawy razy wysokość:<br>\\[V = P_p \\cdot h = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez rozkład rombu na cztery trójkąty prostokątne</h4>\n<p>Romb o przekątnych \\(d_1 = 7\\) cm i \\(d_2 = 10\\) cm dzielimy przekątnymi na cztery przystające trójkąty prostokątne, każdy o przyprostokątnych \\(\\frac{d_1}{2} = 3{,}5\\) cm i \\(\\frac{d_2}{2} = 5\\) cm.</p>\n<p>Pole jednego trójkąta:<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 3{,}5 \\cdot 5 = \\frac{17{,}5}{2} = 8{,}75 \\text{ cm}^2\\]</p>\n<p>Pole rombu (4 takie trójkąty):<br>\\[P_{\\text{rombu}} = 4 \\cdot 8{,}75 = 35 \\text{ cm}^2\\]</p>\n<p>Objętość (wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm):<br>\\[V = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>B</strong> jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole rombu przez przekątne:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 27)</strong> - objętość graniastosłupa prostego:<br>\\[V = P_p \\cdot h\\]<br>Kluczowy wzór w tym zadaniu - pole podstawy razy wysokość.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(560\\) cm\\(^3\\) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\) w polu rombu: wzięto \\(P = d_1 \\cdot d_2 = 70\\) zamiast \\(35\\), stąd \\(70 \\cdot 8 = 560\\) |<br>| C - \\(\\frac{280}{3}\\) cm\\(^3\\) | Pomylono graniastosłup z <strong>ostrosłupem</strong> i użyto \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\), czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 35 \\cdot 8 = \\frac{280}{3}\\) |<br>| D - \\(\\frac{560}{3}\\) cm\\(^3\\) | Podwójny błąd: brak dzielenia przez \\(2\\) w polu rombu <strong>i</strong> użycie wzoru na ostrosłup, czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 70 \\cdot 8 = \\frac{560}{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole rombu to \\(\\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), nie \\(d_1 \\cdot d_2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - brakujące dzielenie przez 2 podwaja wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniastosłup to <strong>nie</strong> ostrosłup! Objętość graniastosłupa to \\(P_p \\cdot h\\), a ostrosłupa to \\(\\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\). Odpowiedzi C i D są właśnie pułapkami dla tych, którzy mylą te dwa wzory.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upewnij się, która przekątna jest dłuższa - tu \\(d_2 = 10\\) cm, więc wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm. Gdybyś omyłkowo odjął od \\(7\\), dostałbyś \\(h = 5\\) cm i błędny wynik.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Pole rombu i objętość</h5>\n<p>Pole rombu: \\(P = \\tfrac{d_1\\cdot d_2}{2} = \\tfrac{7\\cdot 10}{2} = 35\\) cm\\(^2\\).<br>Wysokość graniastosłupa: dłuższa przekątna minus 2 = \\(10 - 2 = 8\\) cm.<br>Objętość: \\(V = P_{\\text{podstawy}}\\cdot H = 35\\cdot 8 = 280\\) cm\\(^3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(35\\cdot 8 = 280\\). Odpowiedź B.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(560\\)</strong> - pomylono z polem bez dzielenia przez 2.</li><li><strong>C, D. \\(\\tfrac{280}{3}\\), \\(\\tfrac{560}{3}\\)</strong> - objętość ostrosłupa zamiast graniastosłupa.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> graniastosłup = pole × wysokość (bez \\(\\tfrac{1}{3}\\)).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie długości przekątnej rombu:</strong> Używamy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątne i połowy boków rombu.</li></ol>\n<p>\\[a² + b² = d₁²\\]<br>gdzie \\(a\\) i \\(b\\) to długości boków rombu, a \\(d₁\\) to dłuższa przekątna (10 cm). Ponieważ podstawa graniastosłupa to romb, możemy przyjąć, że bok rombu jest równy a, a b jest wysokością, którą musimy obliczyć. Z treści zadania wiemy, że wysokość jest krótsza od dłuższej przekątnej o 2 cm, czyli \\(b = 10 - 2 = 8\\) cm. Wtedy:<br>\\[a² + 8² = 10²\\]<br>\\[a² + 64 = 100\\]<br>\\[a² = 36\\]<br>\\[a = 6\\]<br>Zatem długość boków rombu wynosi 6 cm.</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola rombu:</strong> Pole rombu obliczamy ze wzoru:</li></ol>\n<p>\\[P = \\frac{d₁d₂}{2}\\]<br>gdzie \\(d₁\\) i \\(d₂\\) to długości przekątnych. W naszym przypadku \\(d₁ = 10\\) cm i \\(d₂ = 7\\) cm.<br>\\[P = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie wysokości graniastosłupa:</strong> Wiemy, że wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm, a dłuższa przekątna rombu wynosi 10 cm. Zatem:</li></ol>\n<p>\\[h = 10 - 2 = 8 \\text{ cm}\\]</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie objętości graniastosłupa:</strong> Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:</li></ol>\n<p>\\[V = P \\cdot h\\]<br>gdzie \\(P\\) to pole podstawy, a \\(h\\) to wysokość graniastosłupa.<br>\\[V = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20</p>\n<h5>Sposób 2: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa, korzystając z wysokości rombu.</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie wysokości rombu:</strong> Z treści zadania wiemy, że wysokość rombu (h) jest krótsza od dłuższej przekątnej (10 cm) o 2 cm, więc \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm.</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola podstawy rombu:</strong> Jak w sposobie 1, \\(P = \\frac{d₁d₂}{2} = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\).</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie objętości graniastosłupa:</strong> Jak w sposobie 1, \\(V = P \\cdot h = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(560 cm^{3}\\)</strong>: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.</li><li><strong>C. \\([280] cm^{3}\\)</strong>: To jest poprawny wynik, ale odpowiedź musi być podana w jednostkach cm³.</li><li><strong>D. \\([560] cm^{3}\\)</strong>: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.</li></ul>\n<p><strong>Podsumowanie:</strong> Obie metody prowadzą do tego samego wyniku, czyli 280 cm³. Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, pole podstawy wynosi $\\small\\displaystyle\\frac{7\\cdot10}{2}=35\\text{ [cm}^2]$, a wysokość $10-2=8\\text{ [cm]}$, więc objętość jest równa $V=35\\cdot8=280\\text{ [cm}^3]$.</p>"}]}