{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎.\nPunkty 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐵 są wierzchołkami ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵\n(zobacz rysunek).\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵 jest równe\nA. 𝑎2\nB. 3√3\n2 ⋅𝑎2\nC. 3\n2 𝑎2\nD. 3+√3\n2\n⋅𝑎2\nDany jest sześcian ABCDEFGB o krawędzi długości a. Punkty E,F,G,B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe A. a² B. 3√3/2⋅a² C. 3/2a² & D. 3+√3/2⋅a^2.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2\\)\n\n## Sposób 1 - Identyfikacja ścian na powierzchniach sześcianu\n\n**Wprowadzamy współrzędne.** Umieszczamy sześcian w układzie:\n\n\\[\nA=(0,0,0),\\; B=(a,0,0),\\; C=(a,a,0),\\; D=(0,a,0)\n\\]\n\\[\nE=(0,0,a),\\; F=(a,0,a),\\; G=(a,a,a),\\; H=(0,a,a)\n\\]\n\nOstrosłup \\(EFGB\\) ma podstawę \\(EFG\\) i wierzchołek \\(B\\). Obliczamy **cztery ściany**.\n\n**Ściana 1 - podstawa \\(EFG\\) (na górnej ścianie sześcianu):**\n\n\\[EF = a,\\quad FG = a,\\quad EG = \\sqrt{a^2+a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\nTo trójkąt prostokątno-równoramienny z prawym kątem przy \\(F\\):\n\n\\[P_{EFG} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 2 - \\(EFB\\) (na przedniej ścianie sześcianu, \\(y=0\\)):**\n\nPunkty \\(E=(0,0,a)\\), \\(F=(a,0,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(y=0\\).\n\n\\[EF=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]\n\n\\[P_{EFB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 3 - \\(FGB\\) (na prawej ścianie sześcianu, \\(x=a\\)):**\n\nPunkty \\(F=(a,0,a)\\), \\(G=(a,a,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(x=a\\).\n\n\\[FG=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]\n\n\\[P_{FGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 4 - \\(EGB\\) (ukośna ściana):**\n\nObliczamy boki:\n\n\\[\nEB = \\sqrt{a^2+0+a^2} = a\\sqrt{2},\\quad\nEG = a\\sqrt{2},\\quad\nGB = \\sqrt{0+a^2+a^2} = a\\sqrt{2}\n\\]\n\n**Wszystkie boki równe \\(a\\sqrt{2}\\)** → trójkąt równoboczny o boku \\(a\\sqrt{2}\\):\n\n\\[P_{EGB} = \\frac{(a\\sqrt{2})^2\\cdot\\sqrt{3}}{4} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Suma pól powierzchni całkowitej:**\n\n\\[\nP_c = P_{EFG} + P_{EFB} + P_{FGB} + P_{EGB}\n= \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{P_c = \\frac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Pole \\(EGB\\) z iloczynu wektorowego\n\nTrzy ściany prostokątne \\(\\bigl(\\frac{a^2}{2}\\text{ każda}\\bigr)\\) są oczywiste - leżą na ścianach sześcianu. Kluczowy krok to pole \\(EGB\\). Wyznaczamy je iloczynem wektorowym:\n\n\\[\n\\vec{BE} = E - B = (-a,\\;0,\\;a), \\qquad\n\\vec{BG} = G - B = (0,\\;a,\\;a)\n\\]\n\n\\[\n\\vec{BE} \\times \\vec{BG}\n= \\begin{vmatrix}\\vec{i}&\\vec{j}&\\vec{k}\\\\-a&0&a\\\\0&a&a\\end{vmatrix}\n= \\vec{i}(0\\cdot a - a\\cdot a) - \\vec{j}((-a)\\cdot a - a\\cdot 0) + \\vec{k}((-a)\\cdot a - 0)\n\\]\n\n\\[\n= (-a^2,\\; a^2,\\; -a^2)\n\\]\n\n\\[\n|\\vec{BE}\\times\\vec{BG}| = a^2\\sqrt{1+1+1} = a^2\\sqrt{3}\n\\]\n\n\\[\nP_{EGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a^2\\sqrt{3} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\checkmark\n\\]\n\nWynik zgodny z metodą pierwszą.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta prostokątnego:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUżyliśmy do ścian \\(EFG\\), \\(EFB\\), \\(FGB\\) (trójkąty prostokątno-równoramienne o ramionach \\(a\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy do ściany \\(EGB\\) z bokiem \\(a\\sqrt{2}\\):\n\\[\\frac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej bryły:\n\\[P_c = \\text{suma pól wszystkich ścian}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(a^2\\) | Policzono tylko jedno pole (np. samą podstawę bez reszty) |\n| B - \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\) | Wzięto trzy ściany równoboczne + podstawę, mylnie uznano wszystkie ściany boczne za równoboczne |\n| C - \\(\\frac{3}{2}a^2\\) | Policzono tylko trzy ściany prostokątne (\\(3 \\cdot \\frac{a^2}{2}\\)), pominięto ukośną ścianę \\(EGB\\) |\n| D ✓ | Poprawnie uwzględniono 3 ściany prostokątne i 1 ścianę równoboczną |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że \\(EGB\\) **nie leży na żadnej ścianie sześcianu** - to ukryta, ukośna ściana. Uczniowie często liczą tylko trzy prostokątne trójkąty i wychodzi im odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby obliczyć pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\sqrt{2}\\), trzeba podstawić \\(a\\sqrt{2}\\) do wzoru \\(\\frac{s^2\\sqrt{3}}{4}\\) - tu \\(s^2 = 2a^2\\), więc wynik to \\(\\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\), **nie** \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że \\(EGB\\) jest rzeczywiście równoboczny - wystarczy obliczyć długości \\(EB\\), \\(EG\\), \\(GB\\) ze wzoru na odległość w przestrzeni. Tu wszystkie trzy to przekątne ścian sześcianu o długości \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza ścian ostrosłupa EFGB\nOstrosłup \\(EFGB\\) - wierzchołki: \\(E, F, G\\) z górnej ściany, \\(B\\) z dolnej przeciwległej. Każde z pól:\n- \\(\\triangle EFG\\): prostokątny z przyprostokątnymi \\(a, a\\): \\(P_1 = \\tfrac{a^2}{2}\\).\n- \\(\\triangle BEF\\), \\(\\triangle BFG\\): prostokątne (krawędź sześcianu + przekątna ściany): \\(P_2 = P_3 = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a = \\tfrac{a^2}{2}\\).\n- \\(\\triangle BEG\\): trójkąt równoboczny, bok \\(a\\sqrt{2}\\) (przekątne ścian sześcianu): \\(P_4 = \\tfrac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\).\nSuma: \\(3\\cdot \\tfrac{a^2}{2} + \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^2(3+\\sqrt{3})}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nTrzy ściany prostokątne + jedna równoboczna z przekątną \\(a\\sqrt{2}\\) - wzór pasuje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a^2\\)** - nie obejmuje wszystkich ścian.\n- **B.** Błędna formuła z \\(3\\sqrt{3}\\).\n- **C.** Bez trójkąta równobocznego.\n\n**Trik:** identyfikuj każdą ścianę osobno; niektóre są prostokątne, jedna równoboczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pól ścian bocznych i podstawy.\n1. **Obliczenie pól ścian bocznych:** Ostrosłup EFGB ma trzy ściany boczne: EFG, FGB i EBG. Wszystkie te ściany są trójkątami równoramiennymi o podstawie długości *a* i ramionach o długości √(a²/2 + a²/2) = a√2. Pole trójkąta równoramiennego to (1/2) * podstawa * wysokość. W tym przypadku wysokość można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego: h² + (a/2)² = (a√2)² => h² = 2a² - a²/4 = 7a²/4 => h = (√7 * a)/2. Zatem pole jednej ściany bocznej to (1/2) * a * (√7 * a)/2 = (√7 * a²)/4. Ponieważ mamy 3 takie ściany, ich pole wynosi 3 * (√7 * a²)/4 = (3√7 * a²)/4.\n\n2. **Obliczenie pola podstawy:** Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku *a*. Pole trójkąta równobocznego to (√3/4) * a²\n\n3. **Obliczenie pola powierzchni całkowitej:** Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych i podstawy: (3√7 * a²)/4 + (√3 * a²)/4 = ( (3√7 + √3) * a² ) / 4. Zatem, (3√7 + √3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (3√7 + √3) * a²/4 = a² => 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pola powierzchni kwadratu i dodanie pól trójkątów.\n1. **Obliczenie pola powierzchni kwadratu:** Sześcian ABCDEFGH ma krawędź *a*. Pole powierzchni kwadratu ABCDEFGH wynosi 6 * a²\n\n2. **Obliczenie pól trójkątów:** Ostrosłup EFGB składa się z kwadratu ABCDEFGH i trzech trójkątów, które są trójkątami równobocznymi o boku *a*. Pole każdego z tych trójkątów to (√3/4) * a² Zatem pole trzech trójkątów to 3 * (√3/4) * a² = (3√3/4) * a²\n\n3. **Obliczenie pola powierzchni całkowitej:** Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni kwadratu plus pole trzech trójkątów: 6 * a² + (3√3/4) * a² = (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (24 + 3√3) * a²/4 = a² => 24 + 3√3 = 4 co jest fałszem.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a^{2}\\)**: Jak pokazano powyżej, obliczenia prowadzą do wyniku, który nie jest równy a².\n* **B. \\([3]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n* **C. \\([3] a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n* **D. \\([3+]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n\nW obu sposobach obliczeń, wynik nie zgadza się z podaną odpowiedzią. Prawdopodobnie w zadaniu jest błąd. Prawidłowe obliczenie pola powierzchni ostrosłupa EFGB to (3√7 + √3) * a²/4. Jednakże, w pytaniu podano, że pole powierzchni jest równe a². Zatem, (3√7 + √3) * a²/4 = a² => 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎.<br>Punkty 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐵 są wierzchołkami ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵<br>(zobacz rysunek).<br>Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵 jest równe<br>A. 𝑎2<br>B. 3√3<br>2 ⋅𝑎2<br>C. 3<br>2 𝑎2<br>D. 3+√3<br>2<br>⋅𝑎2<br>Dany jest sześcian ABCDEFGB o krawędzi długości a. Punkty E,F,G,B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe A. a² B. 3√3/2⋅a² C. 3/2a² &amp; D. 3+√3/2⋅a^2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza pole powierzchni […]<br>ostrosłupa.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Identyfikacja ścian na powierzchniach sześcianu</h4>\n<p><strong>Wprowadzamy współrzędne.</strong> Umieszczamy sześcian w układzie:</p>\n<p>\\[<br>A=(0,0,0),\\; B=(a,0,0),\\; C=(a,a,0),\\; D=(0,a,0)<br>\\]<br>\\[<br>E=(0,0,a),\\; F=(a,0,a),\\; G=(a,a,a),\\; H=(0,a,a)<br>\\]</p>\n<p>Ostrosłup \\(EFGB\\) ma podstawę \\(EFG\\) i wierzchołek \\(B\\). Obliczamy <strong>cztery ściany</strong>.</p>\n<p><strong>Ściana 1 - podstawa \\(EFG\\) (na górnej ścianie sześcianu):</strong></p>\n<p>\\[EF = a,\\quad FG = a,\\quad EG = \\sqrt{a^2+a^2} = a\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>To trójkąt prostokątno-równoramienny z prawym kątem przy \\(F\\):</p>\n<p>\\[P_{EFG} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]</p>\n<p><strong>Ściana 2 - \\(EFB\\) (na przedniej ścianie sześcianu, \\(y=0\\)):</strong></p>\n<p>Punkty \\(E=(0,0,a)\\), \\(F=(a,0,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(y=0\\).</p>\n<p>\\[EF=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]</p>\n<p>\\[P_{EFB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]</p>\n<p><strong>Ściana 3 - \\(FGB\\) (na prawej ścianie sześcianu, \\(x=a\\)):</strong></p>\n<p>Punkty \\(F=(a,0,a)\\), \\(G=(a,a,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(x=a\\).</p>\n<p>\\[FG=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]</p>\n<p>\\[P_{FGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]</p>\n<p><strong>Ściana 4 - \\(EGB\\) (ukośna ściana):</strong></p>\n<p>Obliczamy boki:</p>\n<p>\\[<br>EB = \\sqrt{a^2+0+a^2} = a\\sqrt{2},\\quad<br>EG = a\\sqrt{2},\\quad<br>GB = \\sqrt{0+a^2+a^2} = a\\sqrt{2}<br>\\]</p>\n<p><strong>Wszystkie boki równe \\(a\\sqrt{2}\\)</strong> → trójkąt równoboczny o boku \\(a\\sqrt{2}\\):</p>\n<p>\\[P_{EGB} = \\frac{(a\\sqrt{2})^2\\cdot\\sqrt{3}}{4} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p><strong>Suma pól powierzchni całkowitej:</strong></p>\n<p>\\[<br>P_c = P_{EFG} + P_{EFB} + P_{FGB} + P_{EGB}<br>= \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\boxed{P_c = \\frac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2}<br>\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Pole \\(EGB\\) z iloczynu wektorowego</h4>\n<p>Trzy ściany prostokątne \\(\\bigl(\\frac{a^2}{2}\\text{ każda}\\bigr)\\) są oczywiste - leżą na ścianach sześcianu. Kluczowy krok to pole \\(EGB\\). Wyznaczamy je iloczynem wektorowym:</p>\n<p>\\[<br>\\vec{BE} = E - B = (-a,\\;0,\\;a), \\qquad<br>\\vec{BG} = G - B = (0,\\;a,\\;a)<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\vec{BE} \\times \\vec{BG}<br>= \\begin{vmatrix}\\vec{i}&amp;\\vec{j}&amp;\\vec{k}\\\\-a&amp;0&amp;a\\\\0&amp;a&amp;a\\end{vmatrix}<br>= \\vec{i}(0\\cdot a - a\\cdot a) - \\vec{j}((-a)\\cdot a - a\\cdot 0) + \\vec{k}((-a)\\cdot a - 0)<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>= (-a^2,\\; a^2,\\; -a^2)<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>|\\vec{BE}\\times\\vec{BG}| = a^2\\sqrt{1+1+1} = a^2\\sqrt{3}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>P_{EGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a^2\\sqrt{3} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\checkmark<br>\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z metodą pierwszą.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - pole trójkąta prostokątnego:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]<br>Użyliśmy do ścian \\(EFG\\), \\(EFB\\), \\(FGB\\) (trójkąty prostokątno-równoramienne o ramionach \\(a\\)).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 16)</strong> - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):<br>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyliśmy do ściany \\(EGB\\) z bokiem \\(a\\sqrt{2}\\):<br>\\[\\frac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pole powierzchni całkowitej bryły:<br>\\[P_c = \\text{suma pól wszystkich ścian}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(a^2\\) | Policzono tylko jedno pole (np. samą podstawę bez reszty) |<br>| B - \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\) | Wzięto trzy ściany równoboczne + podstawę, mylnie uznano wszystkie ściany boczne za równoboczne |<br>| C - \\(\\frac{3}{2}a^2\\) | Policzono tylko trzy ściany prostokątne (\\(3 \\cdot \\frac{a^2}{2}\\)), pominięto ukośną ścianę \\(EGB\\) |<br>| D ✓ | Poprawnie uwzględniono 3 ściany prostokątne i 1 ścianę równoboczną |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć, że \\(EGB\\) <strong>nie leży na żadnej ścianie sześcianu</strong> - to ukryta, ukośna ściana. Uczniowie często liczą tylko trzy prostokątne trójkąty i wychodzi im odpowiedź C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Żeby obliczyć pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\sqrt{2}\\), trzeba podstawić \\(a\\sqrt{2}\\) do wzoru \\(\\frac{s^2\\sqrt{3}}{4}\\) - tu \\(s^2 = 2a^2\\), więc wynik to \\(\\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\), <strong>nie</strong> \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, że \\(EGB\\) jest rzeczywiście równoboczny - wystarczy obliczyć długości \\(EB\\), \\(EG\\), \\(GB\\) ze wzoru na odległość w przestrzeni. Tu wszystkie trzy to przekątne ścian sześcianu o długości \\(a\\sqrt{2}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza ścian ostrosłupa EFGB</h5>\n<p>Ostrosłup \\(EFGB\\) - wierzchołki: \\(E, F, G\\) z górnej ściany, \\(B\\) z dolnej przeciwległej. Każde z pól:</p>\n<ul><li>\\(\\triangle EFG\\): prostokątny z przyprostokątnymi \\(a, a\\): \\(P_1 = \\tfrac{a^2}{2}\\).</li><li>\\(\\triangle BEF\\), \\(\\triangle BFG\\): prostokątne (krawędź sześcianu + przekątna ściany): \\(P_2 = P_3 = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a = \\tfrac{a^2}{2}\\).</li><li>\\(\\triangle BEG\\): trójkąt równoboczny, bok \\(a\\sqrt{2}\\) (przekątne ścian sześcianu): \\(P_4 = \\tfrac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\).</li></ul>\n<p>Suma: \\(3\\cdot \\tfrac{a^2}{2} + \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^2(3+\\sqrt{3})}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja</h5>\n<p>Trzy ściany prostokątne + jedna równoboczna z przekątną \\(a\\sqrt{2}\\) - wzór pasuje.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a^2\\)</strong> - nie obejmuje wszystkich ścian.</li><li><strong>B.</strong> Błędna formuła z \\(3\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>C.</strong> Bez trójkąta równobocznego.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> identyfikuj każdą ścianę osobno; niektóre są prostokątne, jedna równoboczna.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pól ścian bocznych i podstawy.</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie pól ścian bocznych:</strong> Ostrosłup EFGB ma trzy ściany boczne: EFG, FGB i EBG. Wszystkie te ściany są trójkątami równoramiennymi o podstawie długości <em>a</em> i ramionach o długości √(a²/2 + a²/2) = a√2. Pole trójkąta równoramiennego to (1/2) * podstawa * wysokość. W tym przypadku wysokość można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego: h² + (a/2)² = (a√2)² =&gt; h² = 2a² - a²/4 = 7a²/4 =&gt; h = (√7 * a)/2. Zatem pole jednej ściany bocznej to (1/2) * a * (√7 * a)/2 = (√7 * a²)/4. Ponieważ mamy 3 takie ściany, ich pole wynosi 3 * (√7 * a²)/4 = (3√7 * a²)/4.</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola podstawy:</strong> Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku <em>a</em>. Pole trójkąta równobocznego to (√3/4) * a²</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola powierzchni całkowitej:</strong> Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych i podstawy: (3√7 * a²)/4 + (√3 * a²)/4 = ( (3√7 + √3) * a² ) / 4. Zatem, (3√7 + √3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (3√7 + √3) * a²/4 = a² =&gt; 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15</p>\n<h5>Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pola powierzchni kwadratu i dodanie pól trójkątów.</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola powierzchni kwadratu:</strong> Sześcian ABCDEFGH ma krawędź <em>a</em>. Pole powierzchni kwadratu ABCDEFGH wynosi 6 * a²</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie pól trójkątów:</strong> Ostrosłup EFGB składa się z kwadratu ABCDEFGH i trzech trójkątów, które są trójkątami równobocznymi o boku <em>a</em>. Pole każdego z tych trójkątów to (√3/4) * a² Zatem pole trzech trójkątów to 3 * (√3/4) * a² = (3√3/4) * a²</li></ol>\n<ol><li><strong>Obliczenie pola powierzchni całkowitej:</strong> Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni kwadratu plus pole trzech trójkątów: 6 * a² + (3√3/4) * a² = (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (24 + 3√3) * a²/4 = a² =&gt; 24 + 3√3 = 4 co jest fałszem.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a^{2}\\)</strong>: Jak pokazano powyżej, obliczenia prowadzą do wyniku, który nie jest równy a².</li><li><strong>B. \\([3]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)</strong>: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.</li><li><strong>C. \\([3] a^{2}\\)</strong>: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.</li><li><strong>D. \\([3+]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)</strong>: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.</li></ul>\n<p>W obu sposobach obliczeń, wynik nie zgadza się z podaną odpowiedzią. Prawdopodobnie w zadaniu jest błąd. Prawidłowe obliczenie pola powierzchni ostrosłupa EFGB to (3√7 + √3) * a²/4. Jednakże, w pytaniu podano, że pole powierzchni jest równe a². Zatem, (3√7 + √3) * a²/4 = a² =&gt; 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, pole powierzchni całkowitej ostrosłupa $EFGB$ jest równe sumie pola trójkąta równobocznego o boku $a\\sqrt{2}$ oraz trzech trójkątów równoramiennych będących połowami kwadratu o boku $a$, co daje $\\displaystyle\\frac{\\left(a\\sqrt{2}\\right)^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}+3\\cdot\\frac{1}{2}a^2=\\frac{\\sqrt{3}a^2}{2}+\\frac{3a^2}{2}=\\frac{\\sqrt{3}+3}{2}\\cdot a^2=\\frac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2$.</p>"}]}