{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5\njest\nA. 9 ⋅8 ⋅7 ⋅2\nB. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅1\nC. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅2\nD. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅1\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest A. 9⋅8⋅7⋅2 B. 9⋅10⋅10⋅1 C. 9⋅10⋅10⋅2 D. 9⋅9⋅8⋅1","answer":"R","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = 900\\]\n\n## Sposób 1 - Analiza cyfry ostatniej (kluczowy warunek)\n\n**Krok 1: Co to znaczy „nieparzysta i podzielna przez 5\"?**\n\nLiczba podzielna przez \\(5\\) kończy się cyfrą \\(0\\) lub \\(5\\).\nLiczba nieparzysta kończy się cyfrą nieparzystą: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).\n\nCzęść wspólna tych warunków: cyfra ostatnia \\(= 5\\).\n\n**To jest najważniejszy moment w zadaniu: jedyna możliwa ostatnia cyfra to 5.**\n\n**Krok 2: Zliczamy cyfry na każdej pozycji**\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:\n\n| Pozycja | Ograniczenie | Liczba wyborów |\n| \\(d_1\\) (tysiące) | cyfra \\(\\neq 0\\), bo liczba jest czterocyfrowa → \\(\\{1,2, ,9\\}\\) | \\(9\\) |\n| \\(d_2\\) (setki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |\n| \\(d_3\\) (dziesiątki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |\n| \\(d_4\\) (jedności) | musi być \\(5\\) | \\(1\\) |\n\n**Krok 3: Reguła mnożenia**\n\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\boxed{900}\\]\n\n## Sposób 2 - Zawężanie zbioru (filtrowanie)\n\nLiczymy wszystkie czterocyfrowe liczby zakończone cyfrą \\(5\\):\n- najmniejsza: \\(1005\\)\n- największa: \\(9995\\)\n\nTakie liczby mają postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 5}\\), gdzie \\(d_1 \\in \\{1, ,9\\}\\), \\(d_2, d_3 \\in \\{0, ,9\\}\\).\n\nLiczba takich liczb to dokładnie liczba trójek \\((d_1, d_2, d_3)\\):\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 = 900\\]\n\n**Weryfikacja sensowności:** Wszystkich czterocyfrowych jest \\(9000\\) (od \\(1000\\) do \\(9999\\)). Kończących się cyfrą \\(5\\) powinno być \\(\\frac{1}{10}\\) z nich, czyli \\(900\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - reguła mnożenia (wariacje z powtórzeniami):\n\n\\[n^k \\text{ - liczba ciągów } k\\text{-elementowych ze zbioru } n\\text{-elementowego}\\]\n\nW tym zadaniu dla cyfr środkowych: \\(10^2 = 100\\) możliwości na pozycje \\(d_2, d_3\\), a pełny wynik to \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1\\).\n\nOgólna reguła mnożenia: jeśli kolejnych wyborów możemy dokonać na \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) sposobów niezależnie, to łącznie mamy \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\) możliwości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 2\\) - błędne założenie, że cyfry się nie powtarzają (brak takiego warunku!), a ostatnia cyfra może być \\(0\\) lub \\(5\\) (zapomniano, że \\(0\\) jest parzyste) |\n| C | \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 2\\) - wzięto dwie możliwe ostatnie cyfry: \\(0\\) i \\(5\\), **zapominając, że liczba ma być nieparzysta** - a \\(0\\) jest parzyste |\n| D | \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 1\\) - błędne założenie braku powtórzeń cyfr: \\(d_2\\) ma \\(9\\) wyborów (bo „nie może się powtórzyć z \\(d_1\\)\"), \\(d_3\\) ma \\(8\\) wyborów - ale **w zadaniu nie ma warunku różności cyfr!** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba nieparzysta i podzielna przez \\(5\\) musi kończyć się **tylko cyfrą \\(5\\)**. Wiele osób zapisuje „\\(0\\) lub \\(5\\)\" (podzielność przez 5), zapominając sprawdzić nieparzystość - to prowadzi do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach na zliczanie liczb (nie permutacji ani kodów) **cyfry mogą się powtarzać**, chyba że zadanie wyraźnie zabrania. Brak informacji o powtórzeniach = powtórzenia są dozwolone.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej **nie może być zerem** - to jedyne ograniczenie na \\(d_1\\), stąd \\(9\\) wyborów, nie \\(10\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza cyfr\nLiczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\).\n- Nieparzysta i podzielna przez 5 \\(\\Rightarrow\\) ostatnia cyfra \\(d = 5\\) (1 sposób).\n- Pierwsza cyfra \\(a\\): \\(1-9\\) (9 sposobów).\n- \\(b, c\\): \\(0-9\\) (po 10 sposobów).\nRazem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 1\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nLiczba podzielna przez 5 kończy się na 0 lub 5. Nieparzysta → kończy się na 5 (jeden wybór).\nOdpowiedź z \\(\\cdot 1\\) na końcu to B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Bez powtórzeń cyfr - zadanie nie wymaga.\n- **C. \\(\\cdot 2\\)** - błędnie uwzględniono 0 i 5 (ale 0 eliminuje nieparzystość).\n- **D.** Bez powtórzeń.\n\n**Trik:** nieparzysta + podzielna przez 5 = kończy się tylko na 5.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza warunków podzielności i parzystości\n1. **Zrozumienie warunków:** Liczba czterocyfrowa nieparzysta podzielna przez 5 musi spełniać dwa warunki:\n* Być nieparzystą, czyli jej cyfra jedności musi być jedną z 1, 3, 5, 7, 9.\n* Być podzielną przez 5, czyli jej cyfra jedności musi być 0 lub 5.\n2. **Połączenie warunków:** Jedynym cyfram, który spełnia oba warunki, jest 5.\n3. **Określenie liczby możliwych liczb:** Ponieważ liczba musi być czterocyfrowa, pierwsza cyfra może przyjmować wartości od 1 do 9, a pozostałe trzy cyfry mogą przyjmować wartości od 0 do 9. Jednakże, aby liczba była nieparzysta i podzielna przez 5, jej ostatnia cyfra musi być 5.\n4. **Obliczenie:** Zatem mamy:\n* Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)\n* Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)\n* Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na liczby podzielne przez 5\n1. **Zrozumienie:** Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5.\n2. **Warunek nieparzystości:** Ponieważ liczba jest nieparzysta, jej ostatnia cyfra musi być 5.\n3. **Zdefiniowanie liczby cyfr:** Liczba jest czterocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być 0.\n4. **Obliczenie:**\n* Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)\n* Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)\n* Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.\n* **C:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku nieparzystości.\n* **D:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5<br>jest<br>A. 9 ⋅8 ⋅7 ⋅2<br>B. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅1<br>C. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅2<br>D. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅1<br>Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest A. 9⋅8⋅7⋅2 B. 9⋅10⋅10⋅1 C. 9⋅10⋅10⋅2 D. 9⋅9⋅8⋅1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych, niewymagających<br>użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje<br>regułę mnożenia i regułę dodawania.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = 900\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Analiza cyfry ostatniej (kluczowy warunek)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Co to znaczy „nieparzysta i podzielna przez 5&quot;?</strong></p>\n<p>Liczba podzielna przez \\(5\\) kończy się cyfrą \\(0\\) lub \\(5\\).<br>Liczba nieparzysta kończy się cyfrą nieparzystą: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).</p>\n<p>Część wspólna tych warunków: cyfra ostatnia \\(= 5\\).</p>\n<p><strong>To jest najważniejszy moment w zadaniu: jedyna możliwa ostatnia cyfra to 5.</strong></p>\n<p><strong>Krok 2: Zliczamy cyfry na każdej pozycji</strong></p>\n<p>Liczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:</p>\n<p>| Pozycja | Ograniczenie | Liczba wyborów |<br>| \\(d_1\\) (tysiące) | cyfra \\(\\neq 0\\), bo liczba jest czterocyfrowa → \\(\\{1,2, ,9\\}\\) | \\(9\\) |<br>| \\(d_2\\) (setki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |<br>| \\(d_3\\) (dziesiątki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |<br>| \\(d_4\\) (jedności) | musi być \\(5\\) | \\(1\\) |</p>\n<p><strong>Krok 3: Reguła mnożenia</strong></p>\n<p>\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\boxed{900}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Zawężanie zbioru (filtrowanie)</h4>\n<p>Liczymy wszystkie czterocyfrowe liczby zakończone cyfrą \\(5\\):</p>\n<ul><li>najmniejsza: \\(1005\\)</li><li>największa: \\(9995\\)</li></ul>\n<p>Takie liczby mają postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 5}\\), gdzie \\(d_1 \\in \\{1, ,9\\}\\), \\(d_2, d_3 \\in \\{0, ,9\\}\\).</p>\n<p>Liczba takich liczb to dokładnie liczba trójek \\((d_1, d_2, d_3)\\):<br>\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 = 900\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja sensowności:</strong> Wszystkich czterocyfrowych jest \\(9000\\) (od \\(1000\\) do \\(9999\\)). Kończących się cyfrą \\(5\\) powinno być \\(\\frac{1}{10}\\) z nich, czyli \\(900\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - reguła mnożenia (wariacje z powtórzeniami):</p>\n<p>\\[n^k \\text{ - liczba ciągów } k\\text{-elementowych ze zbioru } n\\text{-elementowego}\\]</p>\n<p>W tym zadaniu dla cyfr środkowych: \\(10^2 = 100\\) możliwości na pozycje \\(d_2, d_3\\), a pełny wynik to \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1\\).</p>\n<p>Ogólna reguła mnożenia: jeśli kolejnych wyborów możemy dokonać na \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) sposobów niezależnie, to łącznie mamy \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\) możliwości.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 2\\) - błędne założenie, że cyfry się nie powtarzają (brak takiego warunku!), a ostatnia cyfra może być \\(0\\) lub \\(5\\) (zapomniano, że \\(0\\) jest parzyste) |<br>| C | \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 2\\) - wzięto dwie możliwe ostatnie cyfry: \\(0\\) i \\(5\\), <strong>zapominając, że liczba ma być nieparzysta</strong> - a \\(0\\) jest parzyste |<br>| D | \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 1\\) - błędne założenie braku powtórzeń cyfr: \\(d_2\\) ma \\(9\\) wyborów (bo „nie może się powtórzyć z \\(d_1\\)&quot;), \\(d_3\\) ma \\(8\\) wyborów - ale <strong>w zadaniu nie ma warunku różności cyfr!</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba nieparzysta i podzielna przez \\(5\\) musi kończyć się <strong>tylko cyfrą \\(5\\)</strong>. Wiele osób zapisuje „\\(0\\) lub \\(5\\)&quot; (podzielność przez 5), zapominając sprawdzić nieparzystość - to prowadzi do odpowiedzi C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach na zliczanie liczb (nie permutacji ani kodów) <strong>cyfry mogą się powtarzać</strong>, chyba że zadanie wyraźnie zabrania. Brak informacji o powtórzeniach = powtórzenia są dozwolone.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej <strong>nie może być zerem</strong> - to jedyne ograniczenie na \\(d_1\\), stąd \\(9\\) wyborów, nie \\(10\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza cyfr</h5>\n<p>Liczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\).</p>\n<ul><li>Nieparzysta i podzielna przez 5 \\(\\Rightarrow\\) ostatnia cyfra \\(d = 5\\) (1 sposób).</li><li>Pierwsza cyfra \\(a\\): \\(1-9\\) (9 sposobów).</li><li>\\(b, c\\): \\(0-9\\) (po 10 sposobów).</li></ul>\n<p>Razem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi</h5>\n<p>Liczba podzielna przez 5 kończy się na 0 lub 5. Nieparzysta → kończy się na 5 (jeden wybór).<br>Odpowiedź z \\(\\cdot 1\\) na końcu to B.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Bez powtórzeń cyfr - zadanie nie wymaga.</li><li><strong>C. \\(\\cdot 2\\)</strong> - błędnie uwzględniono 0 i 5 (ale 0 eliminuje nieparzystość).</li><li><strong>D.</strong> Bez powtórzeń.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> nieparzysta + podzielna przez 5 = kończy się tylko na 5.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza warunków podzielności i parzystości</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie warunków:</strong> Liczba czterocyfrowa nieparzysta podzielna przez 5 musi spełniać dwa warunki:</li></ol>\n<ul><li>Być nieparzystą, czyli jej cyfra jedności musi być jedną z 1, 3, 5, 7, 9.</li><li>Być podzielną przez 5, czyli jej cyfra jedności musi być 0 lub 5.</li></ul>\n<ol><li><strong>Połączenie warunków:</strong> Jedynym cyfram, który spełnia oba warunki, jest 5.</li><li><strong>Określenie liczby możliwych liczb:</strong> Ponieważ liczba musi być czterocyfrowa, pierwsza cyfra może przyjmować wartości od 1 do 9, a pozostałe trzy cyfry mogą przyjmować wartości od 0 do 9. Jednakże, aby liczba była nieparzysta i podzielna przez 5, jej ostatnia cyfra musi być 5.</li><li><strong>Obliczenie:</strong> Zatem mamy:</li></ol>\n<ul><li>Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)</li><li>Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)</li><li>Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)</li><li>Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)</li><li>Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900</li></ul>\n<p>📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na liczby podzielne przez 5</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie:</strong> Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5.</li><li><strong>Warunek nieparzystości:</strong> Ponieważ liczba jest nieparzysta, jej ostatnia cyfra musi być 5.</li><li><strong>Zdefiniowanie liczby cyfr:</strong> Liczba jest czterocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być 0.</li><li><strong>Obliczenie:</strong></li></ol>\n<ul><li>Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)</li><li>Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)</li><li>Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)</li><li>Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)</li><li>Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900</li></ul>\n<p>📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.</li><li><strong>C:</strong> Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku nieparzystości.</li><li><strong>D:</strong> Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, czterocyfrowa liczba nieparzysta podzielna przez $5$ ma postać $abcd$, gdzie $a$ może być $1$, $2$, $...$, $9$ ($9$ możliwości), $b$ oraz $c$ mogą być dowolnymi cyframi od $0$ do $9$ ($10$ możliwości każda), a $d$ to $5$ ($1$ możliwość).</p>"}]}