Zadanie 28. (0-1)
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2𝑥, 4, 6, 8, 11, 13, jest równa 5. Wynika stąd, że
A. 𝑥= -1
B. 𝑥= 7
C. 𝑥= -6
D. 𝑥= 6
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
𝐻
𝑎
EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
EMAP-P0_100
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2x,4,6,8,11,13, jest równa 5. Wynika stąd, że A. x=-1 B. x=7 C. x=-6 D. x=6
Zadanie 28. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
G9.3) wyznacza średnią arytmetyczną
i medianę zestawu danych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
C
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ZADANIA OTWARTE
Uwagi ogólne:
zadania.
\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.
upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do
uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).
Średnia arytmetyczna sześciu liczb to ich suma podzielona przez 6.
\nZapisujemy równanie:
\n\\[\\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5\\]
\nSumujemy stałe:
\n\\[\\frac{2x + 42}{6} = 5\\]
\nMnożymy obie strony przez 6:
\n\\[2x + 42 = 30\\]
\nOdejmujemy 42 od obu stron:
\n\\[2x = 30 - 42 = -12\\]
\nDzielimy przez 2:
\n\\[x = -6\\]
\nOdpowiedź: \\(x = -6\\)
\nSprawdzamy, czy dla \\(x = -6\\) średnia faktycznie wynosi 5.
\nObliczamy \\(2x = 2 \\cdot (-6) = -12\\).
\nZestaw liczb: \\(-12, 4, 6, 8, 11, 13\\)
\nSuma:
\\[-12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30\\]
Średnia:
\\[\\frac{30}{6} = 5 \\checkmark\\]
Wynik się zgadza - \\(x = -6\\) jest poprawne.
\nDział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - znając wartość średniej (\\(\\bar{a} = 5\\)) i liczbę wyrazów (\\(n = 6\\)), zapisaliśmy równanie i wyznaczyliśmy \\(x\\).
\n| Odp. | Błąd |
| A | \\(x = -1\\), czyli \\(2x = -2\\). Suma: \\(-2 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 40\\). Średnia \\(= \\frac{40}{6} \\neq 5\\). Błąd: prawdopodobnie uczeń zapomniał, że w zadaniu mamy \\(2x\\), a nie \\(x\\), i policzył \\(x + 42 = 30\\), skąd \\(x = -12\\), po czym pomylił wynik |
| B | \\(x = 7\\), czyli \\(2x = 14\\). Suma: \\(14 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 56\\). Średnia \\(= \\frac{56}{6} \\neq 5\\). Błąd: uczeń mógł postawić równanie \\(2x + 42 = 5\\) zamiast \\(2x + 42 = 30\\) (przyrównał sumę do średniej, nie do \\(5 \\cdot 6\\)) |
| D | \\(x = 6\\), czyli \\(2x = 12\\). Suma: \\(12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 54\\). Średnia \\(= \\frac{54}{6} = 9 \\neq 5\\). Błąd: prawdopodobnie uczeń pominął mnożnik 2 przy \\(x\\) i rozwiązał \\(x + 42 = 30\\), czyli \\(x = -12\\), a potem przez 2, dostając \\(-6\\) lub zgubił minus i zapisał \\(x = 6\\) |
⚠️ Uwaga: Pierwszy wyraz to \\(2x\\), nie \\(x\\)! Łatwo przeoczyć dwójkę i napisać \\(x + 42 = 30\\). Zawsze przepisuj zadanie uważnie.\n
⚠️ Uwaga: Średnia arytmetyczna = suma / liczba wyrazów. Częsty błąd to przyrównanie sumy do wartości średniej zamiast do \\(\\bar{a} \\cdot n\\). Pamiętaj: najpierw mnożysz przez \\(n = 6\\), potem rozwiązujesz.\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(x\\) może być ujemny - to nic dziwnego! Nie odrzucaj ujemnych rozwiązań tylko dlatego, że "wyglądają dziwnie".\n
Poprawna odpowiedź: C
\n\\(\\text{śr} = \\dfrac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5\\).
\\(2x + 42 = 30\\), \\(2x = -12\\), \\(x = -6\\).
\\(x = -6 \\Rightarrow 2x = -12\\). Suma: \\(-12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30\\). Średnia: \\(30/6 = 5\\) ✓.
\nTrik: najpierw suma, potem mnożenie przez 6 i odejmowanie.
\nPoprawna odpowiedź: C
\nWzór na średnią arytmetyczną zestawu liczb to:
\\[ \\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = S \\]
gdzie \\( a_i \\) to poszczególne liczby w zestawie, a \\( S \\) to średnia arytmetyczna.
W naszym przypadku mamy:
\\[ \\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5 \\]
Przekształcamy równanie:
\\[ 2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 5 \\cdot 6 \\]
\\[ 2x + 42 = 30 \\]
\\[ 2x = 30 - 42 \\]
\\[ 2x = -12 \\]
\\[ x = -6 \\]
📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 100
\nZnamy średnią arytmetyczną, a mamy sześć liczb. Możemy zapisać równanie:
\\[ \\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5 \\]
Mnożymy obie strony przez 6:
\\[ 2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30 \\]
Upraszczamy lewą stronę:
\\[ 2x + 42 = 30 \\]
Odejmujemy 42 od obu stron:
\\[ 2x = 30 - 42 \\]
\\[ 2x = -12 \\]
Dzielimy obie strony przez 2:
\\[ x = -6 \\]
📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 100
\nWszystkie sposoby prowadzą do tego samego rozwiązania: \\(x = -6\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, ponieważ podstawiając $x=-6$, otrzymujemy: $2\\cdot(-6)+4+6+8+11+13=-12+42=30$, a średnia arytmetyczna wynosi $\\small\\displaystyle\\frac{30}{6}=5$, co zgadza się z danymi w zadaniu.
"}]}