{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 4 log4 2 + 2 log4 8 jest równa\nA. 6 log4 10\nB. 16\nC. 5\nD. 6 log4 16\nLiczba 4log_4 2 + 2log_4 8 jest równa A. 6log_4 10 B. 16 C. 5 D. 6log_4 16⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu […] i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana logarytmów na wspólną podstawę (bezpośrednie obliczenia)\n\nUpraszczamy każdy składnik osobno, korzystając z własności potęg i logarytmów.\n\n**Pierwszy składnik:** \\(4\\log_4 2\\)\n\nZauważamy, że \\(2 = 4^{1/2}\\), więc:\n\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[4\\log_4 2 = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n**Drugi składnik:** \\(2\\log_4 8\\)\n\nZauważamy, że \\(8 = 4^{3/2}\\), bo \\(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\\). Zatem:\n\\[\\log_4 8 = \\log_4 4^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\log_4 8 = 2 \\cdot \\frac{3}{2} = 3\\]\n\n**Suma:**\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = 2 + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - logarytm z iloczynu i potęgi\n\nŁączymy oba składniki w jeden logarytm, korzystając ze wzorów \\(r\\log_a x = \\log_a x^r\\) oraz \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).\n\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2\\]\n\\[= \\log_4 16 + \\log_4 64\\]\n\\[= \\log_4 (16 \\cdot 64)\\]\n\\[= \\log_4 1024\\]\n\nTeraz obliczamy \\(\\log_4 1024\\). Sprawdzamy: \\(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024\\). Zatem:\n\n\\[\\log_4 1024 = 5\\]\n\n**Wynik: \\(5\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nUżyliśmy trzech własności logarytmów:\n\n1. \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) - przeniesienie współczynnika jako wykładnik (Sposób 2)\n2. \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\) - logarytm iloczynu (Sposób 2)\n3. Definicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - bezpośrednie wyznaczanie wartości logarytmu (oba sposoby)\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nUżyte przy zapisaniu \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\log_4 10\\) - uczeń dodał same współczynniki (\\(4+2=6\\)) i podstawy logarytmów (\\(2+8=10\\)), ignorując własności logarytmów |\n| B | \\(16\\) - uczeń obliczył \\(4 \\cdot 2 + 2 \\cdot 8 = 8 + 16 = 24\\) lub potraktował to jak \\(4^2 + \\ldots\\), myląc logarytm z potęgą |\n| D | \\(6\\log_4 16\\) - uczeń dodał współczynniki (\\(4+2=6\\)) i argumenty mnożąc (\\(2 \\cdot 8 = 16\\)), stosując błędny „wzór\" \\(n\\log_a x + m\\log_a y = (n+m)\\log_a(xy)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_4 2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Logarytm to wykładnik, nie ułamek \"1 przez podstawę\". Trzeba zapytać: \"do jakiej potęgi podnosimy 4, żeby dostać 2?\" - odpowiedź: \\(\\frac{1}{2}\\), bo \\(4^{1/2} = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przed logarytmem (\\(4\\log_4 2\\)) NIE oznacza mnożenia podstawy ani dodawania do podstawy. Jedyna dozwolona operacja to przeniesienie go jako wykładnik argumentu: \\(4\\log_4 2 = \\log_4 2^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(8 = 4^{3/2}\\) warto sprawdzić: \\(4^{3/2} = (\\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\\) ✓. Taka weryfikacja zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(n\\log_a b = \\log_a b^n\\)\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2 = \\log_4 16 + \\log_4 64.\\]\n\\(\\log_4 16 = 2\\), \\(\\log_4 64 = 3\\), więc suma \\(= 5\\).\n\n### Sposób 2 - Własności logarytmów\n\\(\\log_4 2 = \\tfrac{1}{2}\\) (bo \\(4^{1/2}=2\\)), \\(\\log_4 8 = \\tfrac{3}{2}\\) (bo \\(4^{3/2}=8\\)).\n\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2} + 2\\cdot \\tfrac{3}{2} = 2 + 3 = 5.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\log_4 10\\)** - bez uzasadnienia 10.\n- **B. \\(16\\)** - pomyłka: \\(\\log_4 16 = 2\\), nie 16.\n- **D. \\(6\\log_4 16\\)** - logarytm 16 nie pochodzi z tego wyrażenia.\n\n**Trik:** \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) - od razu znamy logarytmy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie własności logarytmów\nRozwińmy najpierw wyrażenia logarytmiczne:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 &= 4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 2^3 \\\\\n&= 4 \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 \\\\\n&= 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 \\\\\n&= 10 \\log_4 2\n\\end{aligned}\n\\]\n\nTeraz użyjemy wzoru: \\( \\log_a b^c = c \\log_a b \\). Zatem:\n\n\\[\n10 \\log_4 2 = 10 \\cdot \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 4} = 10 \\cdot \\frac{1}{2} = 5\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na potęgi z logarytmami\nWykorzystamy wzór: \\( \\log_a (x^r) = r \\log_a x \\). Zastosujemy go do obu składników wyrażenia:\n\n\\[\n4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 = 4 \\cdot \\log_4 \\sqrt[2]{4} + 2 \\log_4 8\n\\]\n\\[\n= 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot \\log_4 2^3 = 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 = 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 = 10 \\log_4 2\n\\]\n\nJak w sposobie 1, \\(10 \\log_4 2 = 5\\)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 6 log4 10:** To wyrażenie nie jest równe 5. Nie ma bezpośredniego związku z danym wyrażeniem.\n* **B. 16:** To liczba całkowita, ale nie jest równa wynikowi wyrażenia.\n* **D. 6 log4 16:** \\(6 \\log_4 16 = 6 \\log_4 4^2 = 6 \\cdot 2 = 12\\). To również nie jest poprawne.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Liczba 4 log4 2 + 2 log4 8 jest równa
A. 6 log4 10
B. 16
C. 5
D. 6 log4 16
Liczba 4log_4 2 + 2log_4 8 jest równa A. 6log_4 10 B. 16 C. 5 D. 6log_4 16⋅r

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.6) wykorzystuje definicję logarytmu
i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm
iloczynu […] i logarytm potęgi o wykładniku
naturalnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\)

\n

Sposób 1 - zamiana logarytmów na wspólną podstawę (bezpośrednie obliczenia)

\n

Upraszczamy każdy składnik osobno, korzystając z własności potęg i logarytmów.

\n

Pierwszy składnik: \\(4\\log_4 2\\)

\n

Zauważamy, że \\(2 = 4^{1/2}\\), więc:
\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[4\\log_4 2 = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]

\n

Drugi składnik: \\(2\\log_4 8\\)

\n

Zauważamy, że \\(8 = 4^{3/2}\\), bo \\(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\\). Zatem:
\\[\\log_4 8 = \\log_4 4^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[2\\log_4 8 = 2 \\cdot \\frac{3}{2} = 3\\]

\n

Suma:
\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = 2 + 3 = \\mathbf{5}\\]

\n

Sposób 2 - logarytm z iloczynu i potęgi

\n

Łączymy oba składniki w jeden logarytm, korzystając ze wzorów \\(r\\log_a x = \\log_a x^r\\) oraz \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).

\n

\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2\\]
\\[= \\log_4 16 + \\log_4 64\\]
\\[= \\log_4 (16 \\cdot 64)\\]
\\[= \\log_4 1024\\]

\n

Teraz obliczamy \\(\\log_4 1024\\). Sprawdzamy: \\(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024\\). Zatem:

\n

\\[\\log_4 1024 = 5\\]

\n

Wynik: \\(5\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Użyliśmy trzech własności logarytmów:

\n
  1. \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) - przeniesienie współczynnika jako wykładnik (Sposób 2)
  2. \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\) - logarytm iloczynu (Sposób 2)
  3. Definicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - bezpośrednie wyznaczanie wartości logarytmu (oba sposoby)
\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]

\n

Użyte przy zapisaniu \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | \\(6\\log_4 10\\) - uczeń dodał same współczynniki (\\(4+2=6\\)) i podstawy logarytmów (\\(2+8=10\\)), ignorując własności logarytmów |
| B | \\(16\\) - uczeń obliczył \\(4 \\cdot 2 + 2 \\cdot 8 = 8 + 16 = 24\\) lub potraktował to jak \\(4^2 + \\ldots\\), myląc logarytm z potęgą |
| D | \\(6\\log_4 16\\) - uczeń dodał współczynniki (\\(4+2=6\\)) i argumenty mnożąc (\\(2 \\cdot 8 = 16\\)), stosując błędny „wzór" \\(n\\log_a x + m\\log_a y = (n+m)\\log_a(xy)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_4 2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Logarytm to wykładnik, nie ułamek "1 przez podstawę". Trzeba zapytać: "do jakiej potęgi podnosimy 4, żeby dostać 2?" - odpowiedź: \\(\\frac{1}{2}\\), bo \\(4^{1/2} = 2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik przed logarytmem (\\(4\\log_4 2\\)) NIE oznacza mnożenia podstawy ani dodawania do podstawy. Jedyna dozwolona operacja to przeniesienie go jako wykładnik argumentu: \\(4\\log_4 2 = \\log_4 2^4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy zamianie \\(8 = 4^{3/2}\\) warto sprawdzić: \\(4^{3/2} = (\\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\\) ✓. Taka weryfikacja zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Własność \\(n\\log_a b = \\log_a b^n\\)
\n

\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2 = \\log_4 16 + \\log_4 64.\\]
\\(\\log_4 16 = 2\\), \\(\\log_4 64 = 3\\), więc suma \\(= 5\\).

\n
Sposób 2 - Własności logarytmów
\n

\\(\\log_4 2 = \\tfrac{1}{2}\\) (bo \\(4^{1/2}=2\\)), \\(\\log_4 8 = \\tfrac{3}{2}\\) (bo \\(4^{3/2}=8\\)).
\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2} + 2\\cdot \\tfrac{3}{2} = 2 + 3 = 5.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) - od razu znamy logarytmy.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Użycie własności logarytmów
\n

Rozwińmy najpierw wyrażenia logarytmiczne:

\n

\\[
\\begin{aligned}
4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 &= 4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 2^3 \\\\
&= 4 \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 \\\\
&= 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 \\\\
&= 10 \\log_4 2
\\end{aligned}
\\]

\n

Teraz użyjemy wzoru: \\( \\log_a b^c = c \\log_a b \\). Zatem:

\n

\\[
10 \\log_4 2 = 10 \\cdot \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 4} = 10 \\cdot \\frac{1}{2} = 5
\\]

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na potęgi z logarytmami
\n

Wykorzystamy wzór: \\( \\log_a (x^r) = r \\log_a x \\). Zastosujemy go do obu składników wyrażenia:

\n

\\[
4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 = 4 \\cdot \\log_4 \\sqrt[2]{4} + 2 \\log_4 8
\\]
\\[
= 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot \\log_4 2^3 = 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 = 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 = 10 \\log_4 2
\\]

\n

Jak w sposobie 1, \\(10 \\log_4 2 = 5\\)

\n

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ze wzoru na iloczyn liczby rzeczywistej i logarytmu mamy $4\\log_4 2+2\\log_4 8=\\log_4 2^4 +\\log_4 8^2$, po podniesieniu liczb do odpowiednich potęg otrzymujemy $\\log_4 16 +\\log_4 64$, co można zapisać jako $\\log_4 4^2+\\log_4 4^3$, stąd wyrażenie to jest równe sumie liczb $2$ i $3$, czyli $5$.

"}]}