{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,\n𝑎1 = -1 i 𝑎4 = 8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_1=-1 i a_4=8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na 𝑛-ty wyraz\nciągu arytmetycznego i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np.\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑆100 = 2𝑎1+(100-1)⋅𝑟\n2\n⋅100\nlub\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟 i 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100\n2\n⋅100\nALBO\npoda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= 3 lub przyjmuje\nw rozwiązaniu, że 𝑟= 3.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛): 𝑆100 = 14 750.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający błędnie obliczy 𝑟 i konsekwentnie do otrzymanej wartości 𝑟 obliczy sumę\nstu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na 𝑎4:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟\nZatem 8 = -1 + 3𝑟, więc 𝑟= 3.\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni obliczamy 𝑆100:\n𝑆100 = 2𝑎1 + (100 -1) ∙𝑟\n2\n∙100 = -2 + 297\n2\n⋅100 = 14 750\nSposób 2.\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty\nwyraz tego ciągu:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟\ngdzie 𝑟 oznacza różnicę ciągu.\nPodstawiamy 𝑎1 = -1 oraz 𝑎4 = 8 i otrzymujemy równanie 8 = -1 + 3𝑟, skąd 𝑟= 3.\nSumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru\n𝑆𝑛= 𝑎1 + 𝑎𝑛\n2\n∙𝑛\nObliczamy setny wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎100 = 𝑎1 + 99 ∙𝑟= -1 + 99 ∙3 = 296\nZatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\n𝑆100 = -1 + 296\n2\n∙100 = 295 ⋅50 = 14 750","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_{100} = 14\\,750\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu, potem wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\)**\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy znane dane dla \\(a_4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[8 = -1 + 3r\\]\n\\[3r = 9\\]\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(a_{100}\\)**\n\n\\[a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 99 \\cdot 3 = -1 + 297 = 296\\]\n\n**Krok 3: Oblicz sumę \\(S_{100}\\)**\n\n\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{-1 + 296}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio ze wzoru \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\)\n\nMając \\(a_1 = -1\\) i \\(r = 3\\) (wyznaczone tak samo jak w Sposobie 1), stosujemy drugi wariant wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 100\\):\n\n\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot (-1) + 99 \\cdot 3}{2} \\cdot 100\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{-2 + 297}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - poprawność potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_4 = 8\\) oraz do obliczenia \\(a_{100}\\).\n\nWzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]\nOba wzory są na karcie - na egzaminie możesz użyć dowolnego z nich.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(r\\) z \\(a_4\\) pamiętaj, że \\(a_4 = a_1 + \\mathbf{3}r\\), bo \\((4-1) = 3\\), a **nie** \\(a_1 + 4r\\). Błąd o jeden indeks to klasyczna pomyłka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemne \\(a_1\\) łatwo zgubić przy dodawaniu - \\(-1 + 297 = 296\\), nie \\(298\\). Zawsze zapisuj sign jawnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\) - nie ma tu żadnego ułamka w wyniku końcowym. Jeśli wychodzi ułamek, coś poszło nie tak.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Różnica i suma\nZe wzoru ogólnego: \\(a_4 = a_1 + 3r\\), więc \\(8 = -1 + 3r\\), \\(r = 3\\).\nSuma stu wyrazów: \\(S_{100} = \\dfrac{2a_1 + 99r}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-2 + 297}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).\n\n### Sposób 2 - Przez \\(a_{100}\\)\n\\(a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 297 = 296\\).\n\\(S_{100} = \\dfrac{a_1 + a_{100}}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-1 + 296}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za poprawne wyznaczenie \\(r = 3\\) lub zapisanie równań na \\(a_4\\) i \\(S_{100}\\).\n- **2 pkt** - za obliczenie \\(S_{100} = 14\\,750\\).\n\n**Trik:** \\(S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) - oszczędniejsza forma niż z \\(2a_1\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,<br>𝑎1 = -1 i 𝑎4 = 8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>29.<br>30.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_1=-1 i a_4=8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na 𝑛-ty wyraz<br>ciągu arytmetycznego i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np.<br>𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑆100 = 2𝑎1+(100-1)⋅𝑟<br>2<br>⋅100<br>lub<br>𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟 i 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100<br>2<br>⋅100<br>ALBO<br>poda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= 3 lub przyjmuje<br>w rozwiązaniu, że 𝑟= 3.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛): 𝑆100 = 14 750.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeśli zdający błędnie obliczy 𝑟 i konsekwentnie do otrzymanej wartości 𝑟 obliczy sumę</li></ol>\n<p>stu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na 𝑎4:<br>𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟<br>Zatem 8 = -1 + 3𝑟, więc 𝑟= 3.<br>Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego<br>i obliczamy 𝑆100:<br>𝑆100 = 2𝑎1 + (100 -1) ∙𝑟<br>2<br>∙100 = -2 + 297<br>2<br>⋅100 = 14 750<br>Sposób 2.<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty<br>wyraz tego ciągu:<br>𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟<br>gdzie 𝑟 oznacza różnicę ciągu.<br>Podstawiamy 𝑎1 = -1 oraz 𝑎4 = 8 i otrzymujemy równanie 8 = -1 + 3𝑟, skąd 𝑟= 3.<br>Sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru<br>𝑆𝑛= 𝑎1 + 𝑎𝑛<br>2<br>∙𝑛<br>Obliczamy setny wyraz ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎100 = 𝑎1 + 99 ∙𝑟= -1 + 99 ∙3 = 296<br>Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa<br>𝑆100 = -1 + 296<br>2<br>∙100 = 295 ⋅50 = 14 750</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(S_{100} = 14\\,750\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu, potem wzór na sumę</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\)</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane dane dla \\(a_4\\):<br>\\[a_4 = a_1 + 3r\\]<br>\\[8 = -1 + 3r\\]<br>\\[3r = 9\\]<br>\\[r = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz \\(a_{100}\\)</strong></p>\n<p>\\[a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 99 \\cdot 3 = -1 + 297 = 296\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz sumę \\(S_{100}\\)</strong></p>\n<p>\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{-1 + 296}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio ze wzoru \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\)</h4>\n<p>Mając \\(a_1 = -1\\) i \\(r = 3\\) (wyznaczone tak samo jak w Sposobie 1), stosujemy drugi wariant wzoru na sumę:</p>\n<p>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(n = 100\\):</p>\n<p>\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot (-1) + 99 \\cdot 3}{2} \\cdot 100\\]</p>\n<p>\\[S_{100} = \\frac{-2 + 297}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - poprawność potwierdzona.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_4 = 8\\) oraz do obliczenia \\(a_{100}\\).</p>\n<p>Wzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]<br>Oba wzory są na karcie - na egzaminie możesz użyć dowolnego z nich.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(r\\) z \\(a_4\\) pamiętaj, że \\(a_4 = a_1 + \\mathbf{3}r\\), bo \\((4-1) = 3\\), a <strong>nie</strong> \\(a_1 + 4r\\). Błąd o jeden indeks to klasyczna pomyłka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemne \\(a_1\\) łatwo zgubić przy dodawaniu - \\(-1 + 297 = 296\\), nie \\(298\\). Zawsze zapisuj sign jawnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\) - nie ma tu żadnego ułamka w wyniku końcowym. Jeśli wychodzi ułamek, coś poszło nie tak.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Różnica i suma</h5>\n<p>Ze wzoru ogólnego: \\(a_4 = a_1 + 3r\\), więc \\(8 = -1 + 3r\\), \\(r = 3\\).<br>Suma stu wyrazów: \\(S_{100} = \\dfrac{2a_1 + 99r}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-2 + 297}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez \\(a_{100}\\)</h5>\n<p>\\(a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 297 = 296\\).<br>\\(S_{100} = \\dfrac{a_1 + a_{100}}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-1 + 296}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).</p>\n<h5>Komentarz CKE</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - za poprawne wyznaczenie \\(r = 3\\) lub zapisanie równań na \\(a_4\\) i \\(S_{100}\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - za obliczenie \\(S_{100} = 14\\,750\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) - oszczędniejsza forma niż z \\(2a_1\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$14\\,750$</p>"}]}