Zadanie 31. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏 takich, że 𝑏≠𝑎,
spełniona jest nierówność
𝑎2 + 𝑏2
2
(𝑎+ 𝑏\n
2
)
2
EMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b≠a, spełniona jest nierówność a² + b² / 2 > (a+b/2)^2.
Zadanie 31. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
2.1) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)2 […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
przekształci nierówność 𝑎2+𝑏2
2
(𝑎+𝑏\n
2 )
2
do postaci równoważnej (𝑎-𝑏)2 > 0
lub 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci
wyciągnie wniosek
ALBO
wykorzysta założenie 𝑎≠𝑏 (lub równoważnie (𝑎-𝑏)2 > 0) i zapisze
𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 2.),
ALBO
wykorzysta założenie 𝑎≠𝑏 oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi:
kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn.
spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz
sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO
spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz
doprowadzi nierówność do postaci tezy,
ALBO
w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią
arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności 𝑎2+𝑏2
2
(𝑎+𝑏\n
2 )
2
dla każdych liczb
rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎≠𝑏.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2+𝑏2
2
(𝑎+𝑏\n
2 )
2
:
𝑎2 + 𝑏2
2
(𝑎+ 𝑏\n
2
)
2
𝑎2 + 𝑏2
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2\n
4
2𝑎2 + 2𝑏2 > 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2
𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 > 0
(𝑎-𝑏)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑏≠𝑎, więc (𝑎-𝑏)2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby
rzeczywistej 𝑎-𝑏 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑎-𝑏)2 > 0 jest prawdziwa,
więc nierówność 𝑎2+𝑏2
2
(𝑎+𝑏\n
2 )
2
również jest prawdziwa. To należało pokazać.
Sposób 2. (od założenia do tezy)
Z założenia wiadomo, że 𝑎≠𝑏, zatem różnica 𝑎-𝑏≠0. Stąd wynika, że (𝑎-𝑏)2 jest
liczbą dodatnią. Nierówność (𝑎-𝑏)2 > 0 jest równoważna nierówności
𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏
Zauważmy teraz, że tożsamość (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 można zapisać w równoważnej
postaci
(𝑎+ 𝑏)2 -(𝑎2 + 𝑏2) = 2𝑎𝑏
Nierówność 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 zapisujemy więc w postaci
𝑎2 + 𝑏2 > (𝑎+ 𝑏)2 -(𝑎2 + 𝑏2)
Zatem
2(𝑎2 + 𝑏2) > (𝑎+ 𝑏)2
Dzielimy obie strony tej nierówności przez 4 i otrzymujemy nierówność
𝑎2 + 𝑏2
2
(𝑎+ 𝑏)2
4
Ta nierówność jest równoważna nierówności
𝑎2 + 𝑏2
2
(𝑎+ 𝑏\n
2
)
2
zapisanej w tezie twierdzenia. To należało pokazać.
Sposób 3. (nierówność między średnimi)
Obie strony nierówności 𝑎2+𝑏2
2
(𝑎+𝑏\n
2 )
2
są nieujemne, więc pierwiastkując je,
otrzymujemy nierówność równoważną
√𝑎2 + 𝑏2
2
|𝑎+ 𝑏\n
2
czyli
√𝑎2 + 𝑏2
2
|𝑎+ 𝑏|\n
2
Wykażemy, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎≠𝑏.
Dla liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 liczby |𝑎| i |𝑏| są nieujemne, więc prawdziwa jest
nierówność między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną
√|𝑎|2 + |𝑏|2
2
≥|𝑎| + |𝑏|
2
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy |𝑎| = |𝑏|.
Ponieważ 𝑥2 = |𝑥|2, |𝑥| + |𝑦| ≥|𝑥+ 𝑦|, |𝑥| ≥𝑥 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥
oraz 𝑦, więc otrzymujemy
√𝑎2 + 𝑏2
2
= √|𝑎|2 + |𝑏|2
2
≥|𝑎| + |𝑏|
2
≥|𝑎+ 𝑏|
2
≥𝑎+ 𝑏
2
Pozostaje wykazać, że jeżeli 𝑎≠𝑏, to prawdziwa jest nierówność ostra
√𝑎2 + 𝑏2
2
|𝑎+ 𝑏|\n
2
Gdy |𝑎| ≠|𝑏|, to prawdziwość nierówności ostrej wynika z nierówności między średnią
kwadratową i średnią arytmetyczną. Równość |𝑎| = |𝑏| oznacza, że liczby 𝑎 i 𝑏 są
równe lub przeciwne. Jednak z założenia liczby 𝑎 i 𝑏 są różne. Jeśli są przeciwne, czyli
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎+ 𝑏= 0, to wtedy prawa strona tej nierówności jest równa zero, natomiast lewa strona jest
dodatnia - zerem byłaby tylko wtedy, gdyby 𝑎= 𝑏= 0, co jest sprzeczne z założeniem
𝑎≠𝑏.
Nierówność jest prawdziwa dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\) takich, że \\(b \\neq a\\). Poniżej dwa sposoby dowodu.
\nChcemy pokazać, że:
\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} > \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\]
Krok 1. Rozwijamy prawą stronę:
\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]
Krok 2. Nierówność staje się:
\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} > \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]
Krok 3. Mnożymy obie strony przez \\(4 > 0\\) (sens nierówności się nie zmienia):
\\[2(a^2 + b^2) > a^2 + 2ab + b^2\\]
Krok 4. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 > 0\\]
\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]
Krok 5. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\\[(a - b)^2 > 0\\]
Krok 6. Ponieważ \\(b \\neq a\\), mamy \\(a - b \\neq 0\\), a kwadrat każdej liczby niezerowej jest dodatni.
\nZatem \\((a-b)^2 > 0\\) - co jest prawdą. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów), wyjściowa nierówność również jest prawdziwa. $\\blacksquare$
\nStrategia: zamiast przekształcać nierówność, wprost obliczamy \\(\\text{LHS} - \\text{RHS}\\) i pokazujemy, że jest dodatnie.
\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\]
\nKrok 1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika (mianownik = 4):
\\[= \\frac{2(a^2 + b^2)}{4} - \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{2(a^2 + b^2) - (a+b)^2}{4}\\]
Krok 2. Rozwijamy licznik:
\\[2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Krok 3. Zatem:
\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a-b)^2}{4}\\]
Krok 4. Ponieważ \\(a \\neq b\\), mamy \\((a-b)^2 > 0\\), więc:
\\[\\frac{(a-b)^2}{4} > 0\\]
Stąd \\(\\text{LHS} - \\text{RHS} > 0\\), czyli \\(\\dfrac{a^2+b^2}{2} > \\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\). $\\blacksquare$
\nUwaga: Sposób 2 jest elegantszy - od razu widać, że różnica równa się \\(\\dfrac{(a-b)^2}{4}\\), czyli "połowie kwadratu odległości między \\(a\\) a \\(b\\)". To piękna interpretacja!\n
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - żeby rozpoznać wyrażenie \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jako pełny kwadrat.
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego do rozwinięcia \\(\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\).
⚠️ Uwaga: Nie wolno zacząć dowodu od "Zakładam, że nierówność jest prawdziwa" i wyprowadzać z niej czegoś prawdziwego - to błąd logiczny (błędne koło). Zamiast tego zaczynamy od jednej strony lub od różnicy i dochodzimy do wyrażenia, które wiadomo, że jest dodatnie.\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(b \\neq a\\) jest kluczowy! Gdy \\(b = a\\), obie strony są równe (\\(\\frac{2a^2}{2} = \\frac{(2a)^2}{4} = a^2\\)), więc nierówność ostra \\(>\\) by nie zachodziła. Maturzysta musi to explicite użyć w dowodzie.\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę, zawsze sprawdź jej znak - tutaj mnożyliśmy przez \\(4 > 0\\), więc sens nierówności pozostał bez zmian. Gdyby mianownik był ujemny, nierówność by się odwróciła!\n
Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)
\n\\[\\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \\dfrac{(a+b)^2}{4}\\]
Mnożymy przez \\(4\\): \\(2(a^2 + b^2) > (a+b)^2\\).
Rozwijamy: \\(2a^2 + 2b^2 > a^2 + 2ab + b^2\\), więc \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\), czyli \\((a-b)^2 > 0\\).
Z założenia \\(a \\ne b\\), więc \\(a - b \\ne 0\\), a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. To należało pokazać.
Z założenia \\(a \\ne b\\): \\((a-b)^2 > 0\\), czyli \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\).
Stąd \\(a^2 + b^2 > 2ab\\). Dodając \\(a^2 + b^2\\) do obu stron:
\\(2(a^2 + b^2) > (a+b)^2\\), czyli \\(\\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\). \\(\\blacksquare\\)
Trik: nierówność między średnimi kwadratową i arytmetyczną - klasyk!
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Dowód
"}]}