Zadanie 32. (0-2)
Kąt 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin2 𝛼.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
31.
32.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
Kąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2α.
Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
6.3) stosuje proste zależności między
funkcjami trygonometrycznymi […];
6.4) znając wartość jednej z funkcji: sinus
lub cosinus, wyznacza wartości
pozostałych funkcji tego samego kąta.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zapisze układ równań sin𝛼
cos𝛼= 2 i sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 (lub jedno równanie
równoważne temu układowi, np. (2 cos 𝛼)2 + cos2 𝛼= 1, sin2 𝛼+ (1
2 sin 𝛼)
2
= 1,
sin2 𝛼= 4(1 -sin2 𝛼))
ALBO
narysuje trójkąt prostokątny, zaznaczy na rysunku kąt 𝛼 (lub z rozwiązania wynika,
że poprawnie go interpretuje) i zapisze relację między przyprostokątnymi tego trójkąta
wynikającą z warunku zadania oraz relację między długościami boków trójkąta
wynikającą z twierdzenia Pitagorasa.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy spełni kryterium za 1 punkt z zasad oceniania i obliczy wartość wyrażenia sin2 𝛼:
sin2 𝛼= 4
5 .
Uwaga:
Jeśli zdający odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼= 2 (𝛼= 63° lub
𝛼= 64°) i na tej podstawie oblicza sin2 𝛼, stosując poprawnie regułę zaokrąglania, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Ponieważ tg 𝛼= 2, więc sin𝛼
cos𝛼= 2 i stąd sin 𝛼= 2 cos 𝛼. Korzystając z tego związku
i tożsamości sin2𝛼+ cos2𝛼= 1, otrzymujemy
(2 cos 𝛼)2 + cos2𝛼= 1
5cos2𝛼= 1
cos2𝛼= 1
5
Ponownie korzystamy z tożsamości sin2𝛼+ cos2𝛼= 1 i obliczamy sin2𝛼:
sin2𝛼+ cos2𝛼= 1
sin2𝛼+ 1
5 = 1
sin2𝛼= 4
5
Sposób 2.
Niech 𝐴𝐵𝐶 będzie trójkątem prostokątnym, w którym |∡𝐶𝐴𝐵| = 90° oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛼.
Ponieważ tg 𝛼= 2, więc
|𝐴𝐶|
|𝐴𝐵| = 2, czyli |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐴𝐵|. Wyznaczamy długość odcinka
𝐵𝐶 w zależności od długości odcinka 𝐴𝐵. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
i otrzymujemy
|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2
|𝐵𝐶|2 = (2 ⋅|𝐴𝐵|)2 + |𝐴𝐵|2
|𝐵𝐶|2 = 5 ⋅|𝐴𝐵|2
|𝐵𝐶| = √5 ⋅|𝐴𝐵|
Zatem sin2 𝛼= (
|𝐴𝐶|
|𝐵𝐶|)
2
= ( 2⋅|𝐴𝐵|
√5⋅|𝐴𝐵|)
2
= 4
5 .
𝛼
𝐶
𝐵
𝐴
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Punkt wyjścia: Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\), czyli:
\\[\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\]
Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\[(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[4\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[5\\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{5}\\]
Teraz korzystamy z jedynki jeszcze raz:
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{5} = \\boxed{\\frac{4}{5}}\\]
Jest znana tożsamość (łatwa do wyprowadzenia z jedynki trygonometrycznej):
\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]
Stąd:
\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1} = \\frac{1}{2^2 + 1} = \\frac{1}{5}\\]
Oraz od razu:
\\[\\sin^2\\alpha = \\frac{\\operatorname{tg}^2\\alpha}{\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1} = \\frac{4}{4+1} = \\frac{4}{5}\\]
(Ten wzór jest szybszy - polecam go zapamiętać!)
\nDział 9 (Trygonometria, s. 11-14)
\nJedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Obydwu użyliśmy w Sposobie 1 i 2 jako punkt wyjścia do wyznaczenia \\(\\sin^2\\alpha\\).
\n⚠️ Uwaga: Nie próbuj wyznaczać \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno - wystarczy pracować na \\(\\sin^2\\alpha\\) i \\(\\cos^2\\alpha\\). Oszczędza to czas i eliminuje ryzyko błędu przy pierwiastkowaniu.\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij o warunku \\(\\alpha\\) ostry - to gwarantuje, że \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\). Gdyby \\(\\alpha\\) był w II lub III ćwiartce, \\(\\sin^2\\alpha\\) byłoby to samo (bo kwadrat), ale odpowiedź na \\(\\sin\\alpha\\) już nie.\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd - uczniowie piszą \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\\) i próbują podnieść do kwadratu na końcu. To poprawne, ale żmudniejsze. Szybciej pracować od razu na kwadratach.\n
Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)
\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\), więc \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\).
Wstawiamy do \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\((2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 5\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\dfrac{1}{5}\\).
Stąd \\(\\sin^2\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{4}{5}\\).
W trójkącie prostokątnym \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokatna}}{\\text{przyprostokatna}}\\). Niech przyprostokątna \\(= 1\\), druga \\(= 2\\). Przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{1 + 4} = \\sqrt{5}\\).
\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\).
Trik: w tożsamości \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\) wyrażaj jedno przez drugie przy pomocy \\(\\operatorname{tg}\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"$$\\tg \\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{2}{1}.$$
\n$$c = \\sqrt{(\\text{przeciwległa})^2 + (\\text{przyległa})^2} = \\sqrt{2^2 + 1^2} = \\sqrt{4 + 1} = \\sqrt{5}.$$
\n$$\\sin \\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{c} = \\frac{2}{\\sqrt{5}}.$$
\n$$\\sin^2 \\alpha = \\left(\\frac{2}{\\sqrt{5}}\\right)^2 = \\frac{4}{5}.$$
\nOdpowiedź: \\( \\frac{4}{5} \\)
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$\\sin^{2}\\alpha = \\dfrac{4}{5}$
"}]}