{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Dwusieczna kąta 𝐵𝐴𝐶\nprzecina bok 𝐵𝐶 w takim punkcie 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne (zobacz\nrysunek). Oblicz miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzauważy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny i zapisze |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| lub\n|∡𝐴𝐵𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐵|\nALBO\nzapisze, że |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐵𝐴𝐶|,\nALBO\nzapisze, że |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje, że odcinek 𝐴𝐷 jest prostopadły do boku 𝐵𝐶 i korzysta z tego\nw rozwiązaniu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający zapisze tylko |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nOznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty\nw dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶, więc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼.\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz rysunek\nobok).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów przy podstawie 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są\nrówne 2𝛼 i ponadto |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny oraz\n|∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐵𝐴𝐷| + |∡𝐴𝐵𝐷| + |∡𝐴𝐷𝐵| = 180°\n𝛼\n𝛼\n2𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼+ 2𝛼+ 2𝛼= 180°\n5𝛼= 180°\n𝛼= 36°\nZatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.\nSposób 2.\nOznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty w dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶,\nwięc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼. Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz\nrysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐴𝐷𝐵| = 180° -(𝛼+ 2𝛼) = 180° -3𝛼\nKąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐴𝐷𝐵 są przyległe, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 3𝛼.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐴𝐶𝐷| = 180° -4𝛼\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów między ramionami są równe, więc\n180° -4𝛼= 𝛼\n5𝛼= 180°\n𝛼= 36°\nZatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.\n𝛼\n𝛼\n2𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n3𝛼\n180° -4𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: kąt BAC = 72°\n\n## Sposób 1 - Równania kątów z warunku podobieństwa\n\n**Oznaczenia:** Niech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), trójkąt jest równoramienny z wierzchołkiem w \\(C\\), więc kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle BAC = \\angle ABC = \\alpha, \\qquad \\angle ACB = 180° - 2\\alpha\\]\n\n**Kąty w trójkącie BDA:** Odcinek \\(AD\\) jest dwusieczną kąta \\(BAC\\), więc:\n\\[\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}, \\qquad \\angle ABD = \\alpha\\]\n\\[\\angle ADB = 180° - \\alpha - \\frac{\\alpha}{2} = 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]\n\nZatem trójkąt \\(BDA\\) ma kąty:\n\\[\\alpha, \\quad \\frac{\\alpha}{2}, \\quad 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]\n\n**Warunek podobieństwa** \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) (w tej kolejności wierzchołków):\n\nKąty trójkąta \\(ABC\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\alpha,\\ 180°-2\\alpha\\}\\)\n\nMuszą odpowiadać kątom trójkąta \\(BDA\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\tfrac{\\alpha}{2},\\ 180°-\\tfrac{3\\alpha}{2}\\}\\)\n\nPorównując wierzchołki kolejno \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\):\n\\[\\angle A = \\angle B \\Rightarrow \\alpha = \\alpha \\quad \\checkmark\\]\n\\[\\angle C = \\angle A_{BDA} \\Rightarrow 180° - 2\\alpha = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nRozwiązuję:\n\\[180° = 2\\alpha + \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{5\\alpha}{2}\\]\n\\[\\alpha = \\frac{2 \\cdot 180°}{5} = \\boxed{72°}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(\\alpha = 72°\\):\n- Trójkąt \\(ABC\\): kąty \\(72°, 72°, 36°\\)\n- Trójkąt \\(BDA\\): kąty \\(72°\\) (przy B), \\(180° - 108° = 72°\\) (przy D), \\(36°\\) (przy A) ✓\n\nZestawy kątów identyczne - podobieństwo zachodzi!\n\n## Sposób 2 - Złoty podział przez proporcję boków\n\nPrzyjmijmy \\(|AC| = |BC| = 1\\) i niech \\(|AB| = x\\).\n\n**Prawo sinusów** w trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\frac{|AB|}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{|BC|}{\\sin(\\angle BAC)} \\implies x = \\frac{\\sin(180° - 2\\alpha)}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\]\n\n**Warunek podobieństwa** \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) daje proporcję boków (przy zgodności \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(C \\leftrightarrow A\\)):\n\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|} \\implies x^2 = |BD|\\]\n\n**Twierdzenie o dwusiecznej** (kąt \\(BAD\\) dzieli \\(BC\\)):\n\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|} = \\frac{x}{1} \\implies |BD| = \\frac{x \\cdot |BC|}{x+1} = \\frac{x}{x+1}\\]\n\nŁącząc \\(|BD| = x^2\\) z \\(|BD| = \\frac{x}{x+1}\\):\n\\[x^2 = \\frac{x}{x+1} \\implies x^2(x+1) = x \\implies x^2 + x = 1\\]\n\\[x^2 + x - 1 = 0 \\implies x = \\frac{-1 + \\sqrt{5}}{2} \\approx 0{,}618\\]\n\nTo **złoty podział** - \\(x = \\frac{1}{\\varphi}\\)! Podstawiamy do \\(x = 2\\cos\\alpha\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{2} = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\]\n\nZe znanych wartości: \\(\\cos 72° = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\), więc:\n\\[\\alpha = 72°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)**\n\n**Twierdzenie o dwusiecznej:**\n\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia długości \\(|BD|\\).\n\n**Twierdzenie sinusów:**\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nWzór na funkcję podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\nUżyte przy uproszczeniu \\(\\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo trójkątów to NIE to samo co przystawanie - kolejność wierzchołków w zapisie \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) wskazuje DOKŁADNIE, które kąty i boki sobie odpowiadają. Błędne przyporządkowanie prowadzi do fałszywego równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, przy którym wierzchołku jest kąt równy połowie. Dwusieczna kąta \\(BAC\\) dzieli TEN kąt na pół - kąt \\(\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}\\), ale \\(\\angle ABD = \\alpha\\) pozostaje niezmieniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym \\(|AC| = |BC|\\) wierzchołek to \\(C\\), a kąty PRZY PODSTAWIE (czyli przy \\(A\\) i \\(B\\)) są równe - nie myl z sytuacją, gdy \\(|AB| = |AC|\\). Wynik \\(72°\\) to nieprzypadkowo kąt związany ze złotym podziałem i pięciokątem foremnym - trójkąt o kątach \\(36°, 72°, 72°\\) to słynny \"trójkąt złoty\".\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Oznaczenia i suma kątów\nOznaczmy \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha\\) (dwusieczna dzieli na dwa \\(\\alpha\\)), więc \\(|\\angle BAD| = |\\angle CAD| = \\alpha\\).\nPonieważ \\(|AC|=|BC|\\), trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), zatem \\(|\\angle ABC| = |\\angle BAC| = 2\\alpha\\).\nW trójkątach podobnych \\(ABC \\sim BDA\\) odpowiadające kąty są równe. W \\(\\triangle BDA\\): \\(|\\angle ABD| = 2\\alpha\\), \\(|\\angle BAD| = \\alpha\\), więc \\(|\\angle ADB| = 180° - 3\\alpha\\). Dla podobieństwa: \\(|\\angle ADB|\\) odpowiada \\(|\\angle ACB|\\), czyli \\(180° - 4\\alpha\\) (suma kątów w \\(\\triangle ABC\\): \\(2\\alpha + 2\\alpha + \\angle C = 180°\\)).\nJednak z sumy kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + (180° - 3\\alpha) = 180°\\) ✓ (tożsamość - potrzebna inna relacja).\nZ podobieństwa i faktu że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny (\\(|AB|=|AD|\\)): \\(|\\angle ABD| = |\\angle ADB|\\), czyli \\(2\\alpha = 180° - 3\\alpha\\), \\(5\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\).\nStąd \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha = 72°\\).\n\n### Sposób 2 - Przez podobieństwo\nTrójkąty \\(ABC\\) i \\(BDA\\) podobne, kąty przy podstawie \\(AB\\) w \\(ABC\\) wynoszą \\(2\\alpha\\), więc w \\(BDA\\) też \\(2\\alpha\\) - trójkąt \\(ABD\\) równoramienny. \\(|\\angle ADB| = |\\angle ABD| = 2\\alpha\\). Suma kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + 2\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\). \\(|\\angle BAC| = 72°\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za zauważenie, że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny lub zapis \\(|\\angle ADB| = |\\angle BAC|\\), lub \\(|\\angle BAD| = |\\angle ACB|\\).\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(|\\angle BAC| = 72°\\).\n\n**Trik:** trójkąt \\(36°-72°-72°\\) to złoty trójkąt związany z pentagonem.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Dany jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Dwusieczna kąta 𝐵𝐴𝐶<br>przecina bok 𝐵𝐶 w takim punkcie 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne (zobacz<br>rysunek). Oblicz miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>zauważy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny i zapisze |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| lub<br>|∡𝐴𝐵𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐵|<br>ALBO<br>zapisze, że |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐵𝐴𝐶|,<br>ALBO<br>zapisze, że |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje, że odcinek 𝐴𝐷 jest prostopadły do boku 𝐵𝐶 i korzysta z tego</li></ol>\n<p>w rozwiązaniu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający zapisze tylko |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</li></ol>\n<p>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Oznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty<br>w dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶, więc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼.<br>Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz rysunek<br>obok).<br>Trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów przy podstawie 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są<br>równe 2𝛼 i ponadto |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny oraz<br>|∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼.<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta<br>i otrzymujemy<br>|∡𝐵𝐴𝐷| + |∡𝐴𝐵𝐷| + |∡𝐴𝐷𝐵| = 180°<br>𝛼<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝛼+ 2𝛼+ 2𝛼= 180°<br>5𝛼= 180°<br>𝛼= 36°<br>Zatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.<br>Sposób 2.<br>Oznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty w dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶,<br>więc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼. Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz<br>rysunek).<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta<br>i otrzymujemy<br>|∡𝐴𝐷𝐵| = 180° -(𝛼+ 2𝛼) = 180° -3𝛼<br>Kąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐴𝐷𝐵 są przyległe, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 3𝛼.<br>Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta<br>i otrzymujemy<br>|∡𝐴𝐶𝐷| = 180° -4𝛼<br>Trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów między ramionami są równe, więc<br>180° -4𝛼= 𝛼<br>5𝛼= 180°<br>𝛼= 36°<br>Zatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.<br>𝛼<br>𝛼<br>2𝛼<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>3𝛼<br>180° -4𝛼<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: kąt BAC = 72°</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równania kątów z warunku podobieństwa</h4>\n<p><strong>Oznaczenia:</strong> Niech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), trójkąt jest równoramienny z wierzchołkiem w \\(C\\), więc kąty przy podstawie są równe:<br>\\[\\angle BAC = \\angle ABC = \\alpha, \\qquad \\angle ACB = 180° - 2\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Kąty w trójkącie BDA:</strong> Odcinek \\(AD\\) jest dwusieczną kąta \\(BAC\\), więc:<br>\\[\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}, \\qquad \\angle ABD = \\alpha\\]<br>\\[\\angle ADB = 180° - \\alpha - \\frac{\\alpha}{2} = 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]</p>\n<p>Zatem trójkąt \\(BDA\\) ma kąty:<br>\\[\\alpha, \\quad \\frac{\\alpha}{2}, \\quad 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]</p>\n<p><strong>Warunek podobieństwa</strong> \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) (w tej kolejności wierzchołków):</p>\n<p>Kąty trójkąta \\(ABC\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\alpha,\\ 180°-2\\alpha\\}\\)</p>\n<p>Muszą odpowiadać kątom trójkąta \\(BDA\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\tfrac{\\alpha}{2},\\ 180°-\\tfrac{3\\alpha}{2}\\}\\)</p>\n<p>Porównując wierzchołki kolejno \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\):<br>\\[\\angle A = \\angle B \\Rightarrow \\alpha = \\alpha \\quad \\checkmark\\]<br>\\[\\angle C = \\angle A_{BDA} \\Rightarrow 180° - 2\\alpha = \\frac{\\alpha}{2}\\]</p>\n<p>Rozwiązuję:<br>\\[180° = 2\\alpha + \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{5\\alpha}{2}\\]<br>\\[\\alpha = \\frac{2 \\cdot 180°}{5} = \\boxed{72°}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla \\(\\alpha = 72°\\):</p>\n<ul><li>Trójkąt \\(ABC\\): kąty \\(72°, 72°, 36°\\)</li><li>Trójkąt \\(BDA\\): kąty \\(72°\\) (przy B), \\(180° - 108° = 72°\\) (przy D), \\(36°\\) (przy A) ✓</li></ul>\n<p>Zestawy kątów identyczne - podobieństwo zachodzi!</p>\n<h4>Sposób 2 - Złoty podział przez proporcję boków</h4>\n<p>Przyjmijmy \\(|AC| = |BC| = 1\\) i niech \\(|AB| = x\\).</p>\n<p><strong>Prawo sinusów</strong> w trójkącie \\(ABC\\):<br>\\[\\frac{|AB|}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{|BC|}{\\sin(\\angle BAC)} \\implies x = \\frac{\\sin(180° - 2\\alpha)}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Warunek podobieństwa</strong> \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) daje proporcję boków (przy zgodności \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(C \\leftrightarrow A\\)):<br>\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|} \\implies x^2 = |BD|\\]</p>\n<p><strong>Twierdzenie o dwusiecznej</strong> (kąt \\(BAD\\) dzieli \\(BC\\)):<br>\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|} = \\frac{x}{1} \\implies |BD| = \\frac{x \\cdot |BC|}{x+1} = \\frac{x}{x+1}\\]</p>\n<p>Łącząc \\(|BD| = x^2\\) z \\(|BD| = \\frac{x}{x+1}\\):<br>\\[x^2 = \\frac{x}{x+1} \\implies x^2(x+1) = x \\implies x^2 + x = 1\\]<br>\\[x^2 + x - 1 = 0 \\implies x = \\frac{-1 + \\sqrt{5}}{2} \\approx 0{,}618\\]</p>\n<p>To <strong>złoty podział</strong> - \\(x = \\frac{1}{\\varphi}\\)! Podstawiamy do \\(x = 2\\cos\\alpha\\):<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{2} = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\]</p>\n<p>Ze znanych wartości: \\(\\cos 72° = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\), więc:<br>\\[\\alpha = 72°\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)</strong></p>\n<p><strong>Twierdzenie o dwusiecznej:</strong><br>\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia długości \\(|BD|\\).</p>\n<p><strong>Twierdzenie sinusów:</strong><br>\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong></p>\n<p>Wzór na funkcję podwojonego kąta:<br>\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]<br>Użyte przy uproszczeniu \\(\\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podobieństwo trójkątów to NIE to samo co przystawanie - kolejność wierzchołków w zapisie \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) wskazuje DOKŁADNIE, które kąty i boki sobie odpowiadają. Błędne przyporządkowanie prowadzi do fałszywego równania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić, przy którym wierzchołku jest kąt równy połowie. Dwusieczna kąta \\(BAC\\) dzieli TEN kąt na pół - kąt \\(\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}\\), ale \\(\\angle ABD = \\alpha\\) pozostaje niezmieniony.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W trójkącie równoramiennym \\(|AC| = |BC|\\) wierzchołek to \\(C\\), a kąty PRZY PODSTAWIE (czyli przy \\(A\\) i \\(B\\)) są równe - nie myl z sytuacją, gdy \\(|AB| = |AC|\\). Wynik \\(72°\\) to nieprzypadkowo kąt związany ze złotym podziałem i pięciokątem foremnym - trójkąt o kątach \\(36°, 72°, 72°\\) to słynny &quot;trójkąt złoty&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Oznaczenia i suma kątów</h5>\n<p>Oznaczmy \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha\\) (dwusieczna dzieli na dwa \\(\\alpha\\)), więc \\(|\\angle BAD| = |\\angle CAD| = \\alpha\\).<br>Ponieważ \\(|AC|=|BC|\\), trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), zatem \\(|\\angle ABC| = |\\angle BAC| = 2\\alpha\\).<br>W trójkątach podobnych \\(ABC \\sim BDA\\) odpowiadające kąty są równe. W \\(\\triangle BDA\\): \\(|\\angle ABD| = 2\\alpha\\), \\(|\\angle BAD| = \\alpha\\), więc \\(|\\angle ADB| = 180° - 3\\alpha\\). Dla podobieństwa: \\(|\\angle ADB|\\) odpowiada \\(|\\angle ACB|\\), czyli \\(180° - 4\\alpha\\) (suma kątów w \\(\\triangle ABC\\): \\(2\\alpha + 2\\alpha + \\angle C = 180°\\)).<br>Jednak z sumy kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + (180° - 3\\alpha) = 180°\\) ✓ (tożsamość - potrzebna inna relacja).<br>Z podobieństwa i faktu że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny (\\(|AB|=|AD|\\)): \\(|\\angle ABD| = |\\angle ADB|\\), czyli \\(2\\alpha = 180° - 3\\alpha\\), \\(5\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\).<br>Stąd \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha = 72°\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez podobieństwo</h5>\n<p>Trójkąty \\(ABC\\) i \\(BDA\\) podobne, kąty przy podstawie \\(AB\\) w \\(ABC\\) wynoszą \\(2\\alpha\\), więc w \\(BDA\\) też \\(2\\alpha\\) - trójkąt \\(ABD\\) równoramienny. \\(|\\angle ADB| = |\\angle ABD| = 2\\alpha\\). Suma kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + 2\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\). \\(|\\angle BAC| = 72°\\).</p>\n<h5>Komentarz CKE</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - za zauważenie, że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny lub zapis \\(|\\angle ADB| = |\\angle BAC|\\), lub \\(|\\angle BAD| = |\\angle ACB|\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - za poprawny wynik \\(|\\angle BAC| = 72°\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> trójkąt \\(36°-72°-72°\\) to złoty trójkąt związany z pentagonem.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|\\sphericalangle BAC| = 72^{\\circ}$</p>"}]}