{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru dziewięcioelementowego 𝑀= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze\nzwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb ze\nzbioru 𝑀, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nZe zbioru dziewięcioelementowego M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 9 ⋅9\nALBO\nwypisze (zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴\ni nie wypisze żadnego niewłaściwego:\n(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),\nALBO\npoda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 4,\nALBO\nsporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1\n9 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4\n81 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 81 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 81 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 9 ⋅9 = 81.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),\nwięc |𝐴| = 4.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nII losowanie\n1\n2\n3\n×\n4\n×\n5\n6\n×\n7\n8\n×\n9\nSymbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym\nzdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 81.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 4.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 3. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 = 4\n81","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{4}{81}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy ze zwracaniem kolejno dwie liczby ze zbioru \\(M = \\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}\\). Ponieważ losowanie jest kolejne (kolejność ma znaczenie: najpierw pierwsza liczba, potem druga) i ze zwracaniem, każdy wynik to uporządkowana para \\((a, b)\\).\n\nLiczba wszystkich wyników:\n\\[|\\Omega| = 9 \\cdot 9 = 81\\]\n\n**Zdarzenie A - iloczyn równy 24**\n\nSzukamy wszystkich par \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\) i \\(a \\cdot b = 24\\).\n\nSystematycznie sprawdzamy, jak podzielić 24 na dwa czynniki z M:\n\n| Pierwsza liczba \\(a\\) | Druga liczba \\(b = \\frac{24}{a}\\) | Czy \\(b \\in M\\)? |\n| 1 | 24 | ✗ |\n| 2 | 12 | ✗ |\n| 3 | 8 | ✓ |\n| 4 | 6 | ✓ |\n| 6 | 4 | ✓ |\n| 8 | 3 | ✓ |\n| 9 | \\(\\frac{24}{9} \\notin \\mathbb{Z}\\) | ✗ |\n\n**Sprzyjające pary (uporządkowane):** \\((3,8),\\ (8,3),\\ (4,6),\\ (6,4)\\)\n\n\\[|A| = 4\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{81}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo warunkowe (rozłączne przypadki)\n\nRozbijamy zdarzenie A na dwa rozłączne przypadki:\n\n**Przypadek 1:** wylosujemy parę \\(\\{3, 8\\}\\) (w dowolnej kolejności):\n\\[P(\\text{najpierw 3, potem 8}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\\[P(\\text{najpierw 8, potem 3}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Przypadek 2:** wylosujemy parę \\(\\{4, 6\\}\\) (w dowolnej kolejności):\n\\[P(\\text{najpierw 4, potem 6}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\\[P(\\text{najpierw 6, potem 4}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\nPrzypadki są rozłączne, więc:\n\\[P(A) = \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} = \\frac{4}{81}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: policzyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 81\\).\n\nDodatkowo korzystamy z własności:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\n- w Sposobie 2, sumując prawdopodobieństwa rozłącznych par.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie jest **kolejne ze zwracaniem** - para \\((3, 8)\\) i \\((8, 3)\\) to **dwa różne wyniki**! Uczniowie często liczą tylko 2 pary zamiast 4 (traktują wyniki jako zbiory, nie pary uporządkowane), co daje błędne \\(\\frac{2}{81}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przegapić jakąś parę przy szukaniu dzielników 24. Zawsze sprawdzaj **wszystkie** dzielniki liczby 24 mniejsze lub równe 9, metodycznie od 1 do 9.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(9^2 = 81\\), **nie** \\(\\binom{9}{2} = 36\\). Symbol Newtona \\(\\binom{9}{2}\\) stosujemy przy losowaniu **bez** zwracania i **bez** uwzględniania kolejności - tu sytuacja jest inna (ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie).\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\). \\(|\\Omega| = 9\\cdot 9 = 81\\).\nPary \\((a, b)\\) z \\(a\\cdot b = 24\\) i \\(a, b \\in \\{1, \\ldots, 9\\}\\):\n- \\(3\\cdot 8 = 24\\) → \\((3,8), (8,3)\\)\n- \\(4\\cdot 6 = 24\\) → \\((4,6), (6,4)\\)\nWięc \\(|A| = 4\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{81}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\nKażda gałąź: pierwsze losowanie (9 możliwości × \\(\\tfrac{1}{9}\\)) → drugie losowanie. Sprzyjające gałęzie: 3→8, 4→6, 6→4, 8→3. Prawdopodobieństwo każdej: \\(\\tfrac{1}{9}\\cdot \\tfrac{1}{9} = \\tfrac{1}{81}\\).\n\\(P(A) = 4\\cdot \\tfrac{1}{81} = \\tfrac{4}{81}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za wypisanie wszystkich zdarzeń sprzyjających lub obliczenie \\(|\\Omega| = 81\\) lub \\(|A| = 4\\).\n- **2 pkt** - za obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{4}{81}\\).\n\n**Trik:** losowanie ze zwracaniem = pary uporządkowane; kolejność ma znaczenie.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-2)
Ze zbioru dziewięcioelementowego 𝑀= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze
zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb ze
zbioru 𝑀, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
34.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Ze zbioru dziewięcioelementowego M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.2) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 9 ⋅9
ALBO
wypisze (zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴
i nie wypisze żadnego niewłaściwego:
(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),
ALBO
poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 4,
ALBO
sporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1
9 na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4
81 .
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną
metodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 4
81 .
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 81 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 81 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za
\n

całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 9 ⋅9 = 81.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),
więc |𝐴| = 4.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 4
81 .
Sposób 2.
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.
Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
I losowanie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
II losowanie
1
2
3
×
4
×
5
6
×
7
8
×
9
Symbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym
zdarzeniu 𝐴.
Wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 81.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 4.
Stąd 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 4
81 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 3. (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
9 ∙1
9 + 1
9 ∙1
9 + 1
9 ∙1
9 + 1
9 ∙1
9 = 4
81

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{4}{81}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

\n

Losujemy ze zwracaniem kolejno dwie liczby ze zbioru \\(M = \\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}\\). Ponieważ losowanie jest kolejne (kolejność ma znaczenie: najpierw pierwsza liczba, potem druga) i ze zwracaniem, każdy wynik to uporządkowana para \\((a, b)\\).

\n

Liczba wszystkich wyników:
\\[|\\Omega| = 9 \\cdot 9 = 81\\]

\n

Zdarzenie A - iloczyn równy 24

\n

Szukamy wszystkich par \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\) i \\(a \\cdot b = 24\\).

\n

Systematycznie sprawdzamy, jak podzielić 24 na dwa czynniki z M:

\n

| Pierwsza liczba \\(a\\) | Druga liczba \\(b = \\frac{24}{a}\\) | Czy \\(b \\in M\\)? |
| 1 | 24 | ✗ |
| 2 | 12 | ✗ |
| 3 | 8 | ✓ |
| 4 | 6 | ✓ |
| 6 | 4 | ✓ |
| 8 | 3 | ✓ |
| 9 | \\(\\frac{24}{9} \\notin \\mathbb{Z}\\) | ✗ |

\n

Sprzyjające pary (uporządkowane): \\((3,8),\\ (8,3),\\ (4,6),\\ (6,4)\\)

\n

\\[|A| = 4\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{81}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo warunkowe (rozłączne przypadki)

\n

Rozbijamy zdarzenie A na dwa rozłączne przypadki:

\n

Przypadek 1: wylosujemy parę \\(\\{3, 8\\}\\) (w dowolnej kolejności):
\\[P(\\text{najpierw 3, potem 8}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]
\\[P(\\text{najpierw 8, potem 3}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]

\n

Przypadek 2: wylosujemy parę \\(\\{4, 6\\}\\) (w dowolnej kolejności):
\\[P(\\text{najpierw 4, potem 6}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]
\\[P(\\text{najpierw 6, potem 4}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]

\n

Przypadki są rozłączne, więc:
\\[P(A) = \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} = \\frac{4}{81}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: policzyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 81\\).

\n

Dodatkowo korzystamy z własności:
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]

\n\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Losowanie jest kolejne ze zwracaniem - para \\((3, 8)\\) i \\((8, 3)\\) to dwa różne wyniki! Uczniowie często liczą tylko 2 pary zamiast 4 (traktują wyniki jako zbiory, nie pary uporządkowane), co daje błędne \\(\\frac{2}{81}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo przegapić jakąś parę przy szukaniu dzielników 24. Zawsze sprawdzaj wszystkie dzielniki liczby 24 mniejsze lub równe 9, metodycznie od 1 do 9.
\n
⚠️ Uwaga: Mianownik to \\(9^2 = 81\\), nie \\(\\binom{9}{2} = 36\\). Symbol Newtona \\(\\binom{9}{2}\\) stosujemy przy losowaniu bez zwracania i bez uwzględniania kolejności - tu sytuacja jest inna (ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie).
\n

Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)

\n
Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\n

Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\). \\(|\\Omega| = 9\\cdot 9 = 81\\).
Pary \\((a, b)\\) z \\(a\\cdot b = 24\\) i \\(a, b \\in \\{1, \\ldots, 9\\}\\):

\n\n

Więc \\(|A| = 4\\).
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{81}.\\]

\n
Sposób 2 - Drzewo stochastyczne
\n

Każda gałąź: pierwsze losowanie (9 możliwości × \\(\\tfrac{1}{9}\\)) → drugie losowanie. Sprzyjające gałęzie: 3→8, 4→6, 6→4, 8→3. Prawdopodobieństwo każdej: \\(\\tfrac{1}{9}\\cdot \\tfrac{1}{9} = \\tfrac{1}{81}\\).
\\(P(A) = 4\\cdot \\tfrac{1}{81} = \\tfrac{4}{81}\\).

\n
Komentarz CKE
\n\n

Trik: losowanie ze zwracaniem = pary uporządkowane; kolejność ma znaczenie.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{4}{81}$

"}]}