{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nWykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą\no równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0)\nnależą do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nWykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(-5,0) i B=(3,0) należą do wykresu funkcji f. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o funkcji lub\no jej wykresie.\nZasady oceniania dla sposobów 1.-5.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)\nALBO\npoda/obliczy odciętą 𝑝 wierzchołka paraboli: 𝑝= -1,\nALBO\nzapisze jedno równanie z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikające z treści zadania,\nnp.\n3\n4\n6\n8\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n8\n6\n4\n3\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n,\nlub -𝑏\n𝑎= -2, lub 𝑐\n𝑎= -15,\nALBO\nzapisze, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) lub w postaci\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze, że rzędna wierzchołka paraboli jest równa 6\nALBO\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6,\nALBO\npoda/obliczy odciętą wierzchołka paraboli i poda rzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -1, 𝑞= 6,\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, z których jedno jest\njednym z równań\n6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\nlub 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nnatomiast drugie jest jednym z równań\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub -𝑏\n2𝑎= -1,\nlub -𝑏\n𝑎= -2, lub 𝑐\n𝑎= -15,\nALBO\nzapisze równanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) -6 = 0 (dla sposobu 5.).\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3) lub 0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6, lub 0 = 𝑎(-5 + 1)2 + 6\nALBO\nzapisze układ trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzący do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\nLUB\n-𝑏\n𝑎= -2 i 𝑐\n𝑎= -15 i 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n,\nLUB\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= -1 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nLUB\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i -𝑏\n2𝑎= -1 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nALBO\nuzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 i zapisze współrzędne wierzchołka\nparaboli, np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎 oraz 𝑊= (-1, 6),\nALBO\nzapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze\nwspółrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (-1, 6)\n(lub zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑎+ 6 oraz zapisze\nrówność 𝑓(-5) = 0 lub 𝑓(3) = 0),\nALBO\nzapisze wzór funkcji w postaciach\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6 i 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎\noraz zapisze układ równań -2𝑎𝑝= 2𝑎 i 𝑎𝑝2 + 6 = -15𝑎,\nALBO\nuzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 (np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎) oraz\nzapisze związki Δ = 64𝑎2 i 𝑞= 6,\nALBO\nzapisze, że wyróżnik trójmianu 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 musi być równy 0 (dla\nsposobu 5.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) i obliczy\nwspółczynnik 𝑎: 𝑎= -3\n8\nALBO\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6 i obliczy współczynnik 𝑎:\n𝑎= -3\n8 ,\nALBO\nobliczy poprawnie tylko dwa współczynniki spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, pomijając\nw obliczeniach trzeci współczynnik,\nALBO\nobliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, popełniając w trakcie rozwiązywania jedynie\nbłędy rachunkowe.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 0 = 𝑎(3 -1)2 + 6 lub 0 = 𝑎(-5 -1)2 + 6, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji, ale zapisze błędne\nrównanie 6 = 𝑎(-1 -5)(-1 -3) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający ustali poprawną wartość współczynnika 𝑎 i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, nie popełniając błędu, to może otrzymać 5 punktów za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli (6, -1) i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).\nZnając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -5 + 3\n2\n= -1\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Podstawiając współrzędne wierzchołka\nparaboli do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy\n6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3)\n6 = -16𝑎\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZapisujemy funkcję kwadratową w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nSposób 2.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Znając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -5 + 3\n2\n= -1\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6.\nPonieważ 𝑓(3) = 0, więc\n0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6\n0 = 16𝑎+ 6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZatem 𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 1)2 + 6 = -3\n8 (𝑥2 + 2𝑥+ 1) + 6 = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8 .\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nSposób 3.\nPunkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0) należą do wykresu funkcji 𝑓, więc\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0\nOdejmując stronami te dwa równania otrzymujemy\n(25𝑎-5𝑏+ 𝑐) -(9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐) = 0\n16𝑎-8𝑏= 0\n𝑏= 2𝑎\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6. Zatem\n𝑞= -Δ\n4𝑎\n6 = -(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy\n6 = -((2𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n6 = -4𝑎2 + 4𝑎𝑐\n4𝑎\n6 = 4𝑎(-𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n6 = -𝑎+ 𝑐\n𝑐= 6 + 𝑎\nZ uzyskanych wcześniej równań 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, 𝑏= 2𝑎 i 𝑐= 6 + 𝑎 obliczamy 𝑎:\n𝑎⋅32 + 2𝑎⋅3 + 6 + 𝑎= 0\n16𝑎= -6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nStąd 𝑏= 2𝑎= 2 ⋅(-3\n8) = -3\n4 oraz 𝑐= 6 + 𝑎= 6 -3\n8 = 45\n8 .\nSposób 4.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)\nPo rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać\nw postaci kanonicznej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 6\nPo rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6\nZ twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy układ równań\n2𝑎= -2𝑎𝑝 oraz -15𝑎= 𝑎𝑝2 + 6\nZ pierwszego równania otrzymujemy 𝑝= -1, więc stąd i z drugiego równania otrzymujemy\n-15𝑎= 𝑎+ 6\n-16𝑎= 6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZatem\n𝑓(𝑥) = -3\n8 𝑥2 + 2 ⋅(-3\n8) 𝑥-15 ⋅(-3\n8)\n𝑓(𝑥) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 5.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrównanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) = 6 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Przekształcając kolejno,\notrzymujemy\n𝑎(𝑥2 + 2𝑥-15) = 6\n𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎= 6\n𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0\nRównanie 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0. Zatem\nΔ = (2𝑎)2 -4𝑎(-15𝑎-6) = 64𝑎2 + 24𝑎\n64𝑎2 + 24𝑎= 0\nStąd\n𝑎= 0 lub 𝑎= -6\n16 = -3\n8\nWartość 𝑎= 0 nie spełnia warunków zadania.\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2022.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym\nzadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów\narytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli\nprzedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie\nrozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry\nlub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,\nktóra wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może\notrzymać 1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nstosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-16, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\nw wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,\nALBO\npoprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -2𝑥-9 ≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\ndla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu\ni nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów\notwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 8\n3⟩∪⟨-2, +∞),\n(+∞, 8\n3⟩∪⟨-2, -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedno z równań: 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 lub 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟, lub 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100\n2\n⋅100.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nprzekształcając nierówność 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\n, zastosuje wzór skróconego mnożenia na\nkwadrat sumy, popełniając błędy dyskalkuliczne.\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nodczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼= 2 (𝛼= 63° lub 𝛼= 64°) i na tej\npodstawie oblicza sin2 𝛼.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 81 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń\nelementarnych).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 3) i konsekwentnie zapisze wynik 3\n81 .\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwag do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 35.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}\\]\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa + warunek wierzchołka\n\n**Krok 1. Skorzystaj z faktu, że A i B leżą na wykresie.**\n\nPonieważ \\(A = (-5,\\, 0)\\) i \\(B = (3,\\, 0)\\) leżą na wykresie funkcji \\(f\\), mamy:\n\\[f(-5) = 0 \\quad \\text{i} \\quad f(3) = 0\\]\nOznacza to, że \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = 3\\) są **miejscami zerowymi** funkcji \\(f\\).\n\nMożemy więc zapisać funkcję w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = a(x + 5)(x - 3)\\]\n\n**Krok 2. Znajdź współrzędną x wierzchołka.**\n\nWierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-5 + 3}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\n**Krok 3. Skorzystaj z warunku: dokładnie jeden punkt wspólny z prostą \\(y = 6\\).**\n\nProsta \\(y = 6\\) ma **dokładnie jeden** punkt wspólny z parabolą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona **styczna do paraboli w wierzchołku**, czyli:\n\\[f(p) = 6 \\quad \\Longrightarrow \\quad f(-1) = 6\\]\n\n**Dlaczego akurat wierzchołek?**\nParabola ma miejsca zerowe \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\), więc jej wierzchołek leży między nimi - na wysokości ujemnej (dla \\(a > 0\\)) lub dodatniej (dla \\(a < 0\\)). Pozioma prosta \\(y = 6 > 0\\) może przeciąć parabolę otwartą w górę (\\(a > 0\\)) w **dwóch punktach** (ponieważ jej minimum byłoby ujemne). Jedyny możliwy przypadek z dokładnie jednym punktem wspólnym to parabola skierowana w dół (\\(a < 0\\)) z maksimum właśnie na poziomie \\(y = 6\\). ✓\n\n**Krok 4. Wyznacz \\(a\\).**\n\n\\[f(-1) = a(-1+5)(-1-3) = a \\cdot 4 \\cdot (-4) = -16a\\]\n\\[-16a = 6\\]\n\\[\\boxed{a = -\\frac{6}{16} = -\\frac{3}{8}}\\]\n\n**Krok 5. Rozwiń postać iloczynową, aby znaleźć \\(b\\) i \\(c\\).**\n\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\frac{3}{8}(x^2 + 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{6}{8}x + \\frac{45}{8}\\]\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{3}{4}x + \\frac{45}{8}\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań + wyróżnik \\(\\Delta = 0\\)\n\n**Krok 1. Trzy równania z trzech warunków.**\n\nZ warunków \\(f(-5) = 0\\) i \\(f(3) = 0\\):\n\\[25a - 5b + c = 0 \\tag{1}\\]\n\\[9a + 3b + c = 0 \\tag{2}\\]\n\nWarunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)\": równanie \\(f(x) = 6\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik wynosi zero:\n\\[ax^2 + bx + c - 6 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\Delta = b^2 - 4a(c-6) = 0 \\tag{3}\\]\n\n**Krok 2. Odejmij równania (1) i (2), by pozbyć się \\(c\\).**\n\n\\[(1) - (2):\\quad 16a - 8b = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 2a \\tag{4}\\]\n\n**Krok 3. Podstaw (4) do (2), wyraź \\(c\\) przez \\(a\\).**\n\n\\[9a + 3(2a) + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 15a + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad c = -15a \\tag{5}\\]\n\n**Krok 4. Podstaw (4) i (5) do warunku (3).**\n\n\\[(2a)^2 - 4a(-15a - 6) = 0\\]\n\\[4a^2 + 60a^2 + 24a = 0\\]\n\\[64a^2 + 24a = 0\\]\n\\[8a(8a + 3) = 0\\]\n\nStąd \\(a = 0\\) (odrzucamy - nie byłaby to funkcja kwadratowa) lub:\n\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}}\\]\n\nZ (4) i (5):\n\\[b = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = -\\frac{3}{4}, \\qquad c = -15 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = \\frac{45}{8}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- \\(f(-5) = -\\frac{3}{8} \\cdot 25 + \\frac{3}{4} \\cdot 5 + \\frac{45}{8} = -\\frac{75}{8} + \\frac{30}{8} + \\frac{45}{8} = 0\\) ✓\n- \\(f(3) = -\\frac{3}{8} \\cdot 9 - \\frac{3}{4} \\cdot 3 + \\frac{45}{8} = -\\frac{27}{8} - \\frac{18}{8} + \\frac{45}{8} = 0\\) ✓\n- \\(f(-1) = -\\frac{3}{8} - (-\\frac{3}{4}) + \\frac{45}{8} = -\\frac{3}{8} + \\frac{6}{8} + \\frac{45}{8} = \\frac{48}{8} = 6\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n1. **Postać iloczynowa** (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\).\n\n2. **Wierzchołek paraboli**:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyty do znalezienia osi symetrii paraboli (środek między zerami).\n\n3. **Wyróżnik i warunek jednego miejsca zerowego** (\\(\\Delta = 0\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\text{jedno rozwiązanie}\\]\nUżyty w Sposobie 2 do warunku, że \\(f(x) - 6 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)\" oznacza, że **prosta jest styczna do paraboli**, czyli \\(\\Delta = 0\\) dla równania \\(f(x) = 6\\). Nie mylić z \\(\\Delta = 0\\) dla \\(f(x) = 0\\) - to byłby zupełnie inny warunek (jedno miejsce zerowe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skierowanie paraboli ma znaczenie! Ponieważ miejsca zerowe to \\(-5\\) i \\(3\\), a między nimi parabola jest pod osią OX, dla \\(a > 0\\) maksimum byłoby „na zewnątrz\" - prosta \\(y = 6 > 0\\) przecięłaby ją w dwóch punktach. Jedyne rozwiązanie to \\(a < 0\\) (parabola skierowana w dół, maksimum = 6).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu postaci iloczynowej łatwo o błąd rachunkowy. Sprawdzaj zawsze, podstawiając \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) - wynik musi być 0.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (5 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa i wierzchołek\nPunkty \\(A = (-5, 0)\\) i \\(B = (3, 0)\\) to miejsca zerowe, więc:\n\\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\).\nWierzchołek paraboli: \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \\dfrac{-5+3}{2} = -1\\).\nParabola ma z prostą \\(y=6\\) dokładnie jeden punkt wspólny, więc wartość wierzchołka (ekstremum) to \\(q = 6\\).\nPodstawiamy \\(W = (-1, 6)\\) do wzoru:\n\\(6 = a(-1+5)(-1-3) = a\\cdot 4\\cdot (-4) = -16a\\), więc \\(a = -\\dfrac{6}{16} = -\\dfrac{3}{8}\\).\nRozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x - 15) = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\), \\(b = -\\dfrac{3}{4}\\), \\(c = \\dfrac{45}{8}\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\((-1, 6)\\): \\(f(x) = a(x+1)^2 + 6\\).\nZ \\(f(3) = 0\\): \\(0 = a(3+1)^2 + 6 = 16a + 6\\), \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\).\nRozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x + 1) + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x - \\dfrac{3}{8} + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za zapis \\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\) lub \\(p = -1\\) lub jedno równanie na współczynniki.\n- **2 pkt** - za zapis \\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\) + \\(q = 6\\).\n- **3 pkt** - za zapis równania z jedną niewiadomą \\(a\\), np. \\(6 = a(-1+5)(-1-3)\\).\n- **4 pkt** - za obliczenie \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\).\n- **5 pkt** - za kompletne \\(a = -\\dfrac{3}{8}, b = -\\dfrac{3}{4}, c = \\dfrac{45}{8}\\).\n\n**Trik:** 'dokładnie jeden punkt wspólny' z prostą poziomą oznacza że ta prosta jest styczna - czyli jej \\(y\\) to \\(q\\) wierzchołka.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"funkcje","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą
o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0)
należą do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.

\n

EMAP-P0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
35.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(-5,0) i B=(3,0) należą do wykresu funkcji f. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c.

","answer_text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie pewnych informacji o funkcji lub
o jej wykresie.
Zasady oceniania dla sposobów 1.-5.
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)
ALBO
poda/obliczy odciętą 𝑝 wierzchołka paraboli: 𝑝= -1,
ALBO
zapisze jedno równanie z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikające z treści zadania,
np.
3
4
6
8
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
8
6
4
3
1
9
1
9
1
9
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub 6 =
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
,
lub -𝑏
𝑎= -2, lub 𝑐
𝑎= -15,
ALBO
zapisze, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) lub w postaci
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze, że rzędna wierzchołka paraboli jest równa 6
ALBO
zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6,
ALBO
poda/obliczy odciętą wierzchołka paraboli i poda rzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= -1, 𝑞= 6,
ALBO
zapisze układ dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, z których jedno jest
jednym z równań
6 =
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
lub 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,
natomiast drugie jest jednym z równań
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub -𝑏
2𝑎= -1,
lub -𝑏
𝑎= -2, lub 𝑐
𝑎= -15,
ALBO
zapisze równanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) -6 = 0 (dla sposobu 5.).
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy:
zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑎, np.
6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3) lub 0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6, lub 0 = 𝑎(-5 + 1)2 + 6
ALBO
zapisze układ trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐
prowadzący do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 =
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
LUB
-𝑏
𝑎= -2 i 𝑐
𝑎= -15 i 6 =
-(𝑏2-4𝑎𝑐)
4𝑎
,
LUB
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-𝑏
2𝑎= -1 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,
LUB
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i -𝑏
2𝑎= -1 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,
ALBO
uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 i zapisze współrzędne wierzchołka
paraboli, np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎 oraz 𝑊= (-1, 6),
ALBO
zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze
współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (-1, 6)
(lub zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑎+ 6 oraz zapisze
równość 𝑓(-5) = 0 lub 𝑓(3) = 0),
ALBO
zapisze wzór funkcji w postaciach
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6 i 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎
oraz zapisze układ równań -2𝑎𝑝= 2𝑎 i 𝑎𝑝2 + 6 = -15𝑎,
ALBO
uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 (np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎) oraz
zapisze związki Δ = 64𝑎2 i 𝑞= 6,
ALBO
zapisze, że wyróżnik trójmianu 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 musi być równy 0 (dla
sposobu 5.).
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy:
zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) i obliczy
współczynnik 𝑎: 𝑎= -3
8
ALBO
zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6 i obliczy współczynnik 𝑎:
𝑎= -3
8 ,
ALBO
obliczy poprawnie tylko dwa współczynniki spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, pomijając
w obliczeniach trzeci współczynnik,
ALBO
obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, popełniając w trakcie rozwiązywania jedynie
błędy rachunkowe.
Zdający otrzymuje 5 pkt
gdy obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐: 𝑎= -3
8 , 𝑏= -3
4 , 𝑐= 45
8 .
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze
\n

błędne równanie 0 = 𝑎(3 -1)2 + 6 lub 0 = 𝑎(-5 -1)2 + 6, a następnie
konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje
3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji, ale zapisze błędne
\n

równanie 6 = 𝑎(-1 -5)(-1 -3) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający ustali poprawną wartość współczynnika 𝑎 i konsekwentnie rozwiąże
\n

zadanie do końca, nie popełniając błędu, to może otrzymać 5 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli (6, -1) i konsekwentnie
\n

rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Ponieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych
w punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5
oraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).
Znając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli
𝑝= 𝑥1 + 𝑥2
2
= -5 + 3
2
= -1
Ponieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc
rzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Podstawiając współrzędne wierzchołka
paraboli do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy
6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3)
6 = -16𝑎
𝑎= -6
16 = -3
8
Zapisujemy funkcję kwadratową w postaci ogólnej
𝑓(𝑥) = -3
8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3
8 𝑥2 -3
4 𝑥+ 45
8
Stąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3
8 , 𝑏= -3
4 , 𝑐= 45
8 .
Sposób 2.
Ponieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych
w punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5
oraz 𝑥2 = 3. Znając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑝= 𝑥1 + 𝑥2
2
= -5 + 3
2
= -1
Ponieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc
rzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6.
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6.
Ponieważ 𝑓(3) = 0, więc
0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6
0 = 16𝑎+ 6
𝑎= -6
16 = -3
8
Zatem 𝑓(𝑥) = -3
8 (𝑥+ 1)2 + 6 = -3
8 (𝑥2 + 2𝑥+ 1) + 6 = -3
8 𝑥2 -3
4 𝑥+ 45
8 .
Stąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3
8 , 𝑏= -3
4 , 𝑐= 45
8 .
Sposób 3.
Punkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0) należą do wykresu funkcji 𝑓, więc
𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0
Odejmując stronami te dwa równania otrzymujemy
(25𝑎-5𝑏+ 𝑐) -(9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐) = 0
16𝑎-8𝑏= 0
𝑏= 2𝑎
Ponieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc
rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6. Zatem
𝑞= -Δ
4𝑎
6 = -(𝑏2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy
6 = -((2𝑎)2 -4𝑎𝑐)
4𝑎
6 = -4𝑎2 + 4𝑎𝑐
4𝑎
6 = 4𝑎(-𝑎+ 𝑐)
4𝑎
6 = -𝑎+ 𝑐
𝑐= 6 + 𝑎
Z uzyskanych wcześniej równań 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, 𝑏= 2𝑎 i 𝑐= 6 + 𝑎 obliczamy 𝑎:
𝑎⋅32 + 2𝑎⋅3 + 6 + 𝑎= 0
16𝑎= -6
𝑎= -6
16 = -3
8
Stąd 𝑏= 2𝑎= 2 ⋅(-3

\n
  1. = -3
\n

4 oraz 𝑐= 6 + 𝑎= 6 -3
8 = 45
8 .
Sposób 4.
Ponieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych
w punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5
oraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)
Po rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎
Ponieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc
rzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać
w postaci kanonicznej
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 6
Po rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6
Z twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy układ równań
2𝑎= -2𝑎𝑝 oraz -15𝑎= 𝑎𝑝2 + 6
Z pierwszego równania otrzymujemy 𝑝= -1, więc stąd i z drugiego równania otrzymujemy
-15𝑎= 𝑎+ 6
-16𝑎= 6
𝑎= -6
16 = -3
8
Zatem
𝑓(𝑥) = -3
8 𝑥2 + 2 ⋅(-3

\n
  1. 𝑥-15 ⋅(-3
\n

8)
𝑓(𝑥) = -3
8 𝑥2 -3
4 𝑥+ 45
8
Stąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3
8 , 𝑏= -3
4 , 𝑐= 45
8 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 5.
Ponieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych
w punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5
oraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).
Ponieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc
równanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) = 6 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Przekształcając kolejno,
otrzymujemy
𝑎(𝑥2 + 2𝑥-15) = 6
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎= 6
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0
Równanie 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0. Zatem
Δ = (2𝑎)2 -4𝑎(-15𝑎-6) = 64𝑎2 + 24𝑎
64𝑎2 + 24𝑎= 0
Stąd
𝑎= 0 lub 𝑎= -6
16 = -3
8
Wartość 𝑎= 0 nie spełnia warunków zadania.
Zapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej
𝑓(𝑥) = -3
8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3
8 𝑥2 -3
4 𝑥+ 45
8
Stąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3
8 , 𝑏= -3
4 , 𝑐= 45
8 .
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin
główny 2022.
I.
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania,
przestawienia cyfr,
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,
przestawienia położenia przecinka.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym
\n

zadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów
\n

arytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli
przedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie
rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry
\n

lub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,
która wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może
otrzymać 1 punkt.
II.
Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku
arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 29.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
stosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
3𝑥2 -2𝑥-16, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te
pierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym
ALBO
w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,
ALBO
poprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -2𝑥-9 ≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.
ogólnych zasad oceniania),
ALBO
dla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu
i nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów
\n

otwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.
\n

zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 8
3⟩∪⟨-2, +∞),
(+∞, 8
3⟩∪⟨-2, -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
\n

Zadanie 30.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
zapisze jedno z równań: 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 lub 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟, lub 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100
2
⋅100.
Zadanie 31.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
przekształcając nierówność 𝑎2+𝑏2
2

\n
(𝑎+𝑏
\n

2 )
2
, zastosuje wzór skróconego mnożenia na
kwadrat sumy, popełniając błędy dyskalkuliczne.
Zadanie 32.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼= 2 (𝛼= 63° lub 𝛼= 64°) i na tej
podstawie oblicza sin2 𝛼.
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi do
zadania ze standardowych zasad oceniania.
Zadanie 33.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 34.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
zapisze jedynie liczbę 81 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń
elementarnych).
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:
poprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 3) i konsekwentnie zapisze wynik 3
81 .
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwag do
zadania ze standardowych zasad oceniania.
Zadanie 35.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}\\]

\n

Sposób 1 - Postać iloczynowa + warunek wierzchołka

\n

Krok 1. Skorzystaj z faktu, że A i B leżą na wykresie.

\n

Ponieważ \\(A = (-5,\\, 0)\\) i \\(B = (3,\\, 0)\\) leżą na wykresie funkcji \\(f\\), mamy:
\\[f(-5) = 0 \\quad \\text{i} \\quad f(3) = 0\\]
Oznacza to, że \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = 3\\) są miejscami zerowymi funkcji \\(f\\).

\n

Możemy więc zapisać funkcję w postaci iloczynowej:
\\[f(x) = a(x + 5)(x - 3)\\]

\n

Krok 2. Znajdź współrzędną x wierzchołka.

\n

Wierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:
\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-5 + 3}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]

\n

Krok 3. Skorzystaj z warunku: dokładnie jeden punkt wspólny z prostą \\(y = 6\\).

\n

Prosta \\(y = 6\\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona styczna do paraboli w wierzchołku, czyli:
\\[f(p) = 6 \\quad \\Longrightarrow \\quad f(-1) = 6\\]

\n

Dlaczego akurat wierzchołek?
Parabola ma miejsca zerowe \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\), więc jej wierzchołek leży między nimi - na wysokości ujemnej (dla \\(a > 0\\)) lub dodatniej (dla \\(a < 0\\)). Pozioma prosta \\(y = 6 > 0\\) może przeciąć parabolę otwartą w górę (\\(a > 0\\)) w dwóch punktach (ponieważ jej minimum byłoby ujemne). Jedyny możliwy przypadek z dokładnie jednym punktem wspólnym to parabola skierowana w dół (\\(a < 0\\)) z maksimum właśnie na poziomie \\(y = 6\\). ✓

\n

Krok 4. Wyznacz \\(a\\).

\n

\\[f(-1) = a(-1+5)(-1-3) = a \\cdot 4 \\cdot (-4) = -16a\\]
\\[-16a = 6\\]
\\[\\boxed{a = -\\frac{6}{16} = -\\frac{3}{8}}\\]

\n

Krok 5. Rozwiń postać iloczynową, aby znaleźć \\(b\\) i \\(c\\).

\n

\\[f(x) = -\\frac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\frac{3}{8}(x^2 + 2x - 15)\\]
\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{6}{8}x + \\frac{45}{8}\\]
\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{3}{4}x + \\frac{45}{8}\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}}\\]

\n

Sposób 2 - Układ równań + wyróżnik \\(\\Delta = 0\\)

\n

Krok 1. Trzy równania z trzech warunków.

\n

Z warunków \\(f(-5) = 0\\) i \\(f(3) = 0\\):
\\[25a - 5b + c = 0 \\tag{1}\\]
\\[9a + 3b + c = 0 \\tag{2}\\]

\n

Warunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)": równanie \\(f(x) = 6\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik wynosi zero:
\\[ax^2 + bx + c - 6 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\Delta = b^2 - 4a(c-6) = 0 \\tag{3}\\]

\n

Krok 2. Odejmij równania (1) i (2), by pozbyć się \\(c\\).

\n

\\[(1) - (2):\\quad 16a - 8b = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 2a \\tag{4}\\]

\n

Krok 3. Podstaw (4) do (2), wyraź \\(c\\) przez \\(a\\).

\n

\\[9a + 3(2a) + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 15a + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad c = -15a \\tag{5}\\]

\n

Krok 4. Podstaw (4) i (5) do warunku (3).

\n

\\[(2a)^2 - 4a(-15a - 6) = 0\\]
\\[4a^2 + 60a^2 + 24a = 0\\]
\\[64a^2 + 24a = 0\\]
\\[8a(8a + 3) = 0\\]

\n

Stąd \\(a = 0\\) (odrzucamy - nie byłaby to funkcja kwadratowa) lub:
\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}}\\]

\n

Z (4) i (5):
\\[b = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = -\\frac{3}{4}, \\qquad c = -15 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = \\frac{45}{8}\\]

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n
  1. Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\n

\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyta w Sposobie 1 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\).

\n
  1. Wierzchołek paraboli:
\n

\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyty do znalezienia osi symetrii paraboli (środek między zerami).

\n
  1. Wyróżnik i warunek jednego miejsca zerowego (\\(\\Delta = 0\\)):
\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\text{jedno rozwiązanie}\\]
Użyty w Sposobie 2 do warunku, że \\(f(x) - 6 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)" oznacza, że prosta jest styczna do paraboli, czyli \\(\\Delta = 0\\) dla równania \\(f(x) = 6\\). Nie mylić z \\(\\Delta = 0\\) dla \\(f(x) = 0\\) - to byłby zupełnie inny warunek (jedno miejsce zerowe).
\n
⚠️ Uwaga: Skierowanie paraboli ma znaczenie! Ponieważ miejsca zerowe to \\(-5\\) i \\(3\\), a między nimi parabola jest pod osią OX, dla \\(a > 0\\) maksimum byłoby „na zewnątrz" - prosta \\(y = 6 > 0\\) przecięłaby ją w dwóch punktach. Jedyne rozwiązanie to \\(a < 0\\) (parabola skierowana w dół, maksimum = 6).
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu postaci iloczynowej łatwo o błąd rachunkowy. Sprawdzaj zawsze, podstawiając \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) - wynik musi być 0.
\n

Rozwiązanie zadania otwartego (5 pkt)

\n
Sposób 1 - Postać iloczynowa i wierzchołek
\n

Punkty \\(A = (-5, 0)\\) i \\(B = (3, 0)\\) to miejsca zerowe, więc:
\\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\).
Wierzchołek paraboli: \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \\dfrac{-5+3}{2} = -1\\).
Parabola ma z prostą \\(y=6\\) dokładnie jeden punkt wspólny, więc wartość wierzchołka (ekstremum) to \\(q = 6\\).
Podstawiamy \\(W = (-1, 6)\\) do wzoru:
\\(6 = a(-1+5)(-1-3) = a\\cdot 4\\cdot (-4) = -16a\\), więc \\(a = -\\dfrac{6}{16} = -\\dfrac{3}{8}\\).
Rozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x - 15) = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).

\n

Odpowiedź: \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\), \\(b = -\\dfrac{3}{4}\\), \\(c = \\dfrac{45}{8}\\).

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

Wierzchołek \\((-1, 6)\\): \\(f(x) = a(x+1)^2 + 6\\).
Z \\(f(3) = 0\\): \\(0 = a(3+1)^2 + 6 = 16a + 6\\), \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\).
Rozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x + 1) + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x - \\dfrac{3}{8} + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).

\n
Komentarz CKE
\n\n

Trik: 'dokładnie jeden punkt wspólny' z prostą poziomą oznacza że ta prosta jest styczna - czyli jej \\(y\\) to \\(q\\) wierzchołka.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = -\\dfrac{3}{8}, b = -\\dfrac{3}{4}, c = \\dfrac{45}{8}$

"}]}