{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny\nobowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema\nobniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa\nA. 98 732 zł\nB. 97 200 zł\nC. 95 266 zł\nD. 94 478 zł\nCena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa A. 98 732 zł B. 97 200 zł C. 95 266 zł D. 94 478 zł.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(97\\,200\\) zł\n\n## Sposób 1 - równanie z nieznaną ceną początkową\n\n**Każda obniżka o \\(10\\%\\)** oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) poprzedniej ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}9\\).\n\nPo **dwóch** takich obniżkach cena wynosi:\n\\[C_0 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = C_0 \\cdot 0{,}81\\]\n\ngdzie \\(C_0\\) to cena przed obniżkami. Wiemy, że wynik to \\(78\\,732\\) zł:\n\\[C_0 \\cdot 0{,}81 = 78\\,732\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(0{,}81\\):\n\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81}\\]\n\nLiczymy:\n\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81} = \\frac{7\\,873\\,200}{81} = 97\\,200\\]\n\n**Cena przed obniżkami wynosiła \\(97\\,200\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy zaczynając od \\(97\\,200\\) zł i dwukrotnie obniżając o \\(10\\%\\), dostaniemy \\(78\\,732\\) zł.\n\n**Pierwsza obniżka:**\n\\[97\\,200 \\cdot 0{,}9 = 87\\,480 \\text{ zł}\\]\n\n**Druga obniżka:**\n\\[87\\,480 \\cdot 0{,}9 = 78\\,732 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nTutaj mamy **obniżkę** o \\(10\\%\\), więc \\(p = -10\\), co daje czynnik \\(1 - 0{,}1 = 0{,}9\\). Po \\(n = 2\\) obniżkach:\n\\[K_2 = K_0 \\cdot (0{,}9)^2 = K_0 \\cdot 0{,}81\\]\n\nZadanie polega na wyznaczeniu \\(K_0\\) mając dane \\(K_2 = 78\\,732\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodano \\(10\\% + 10\\% = 20\\%\\) do \\(78\\,732\\): \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) albo po prostu \\(78\\,732 + 20\\,000 \\approx 98\\,732\\) - błędne „cofanie\" obniżki przez dodanie stałej kwoty |\n| C | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}1 \\cdot 1{,}1 = 78\\,732 \\cdot 1{,}21 \\approx 95\\,266\\) - błędne cofanie: pomnożono przez \\(1{,}1\\) zamiast podzielić przez \\(0{,}9\\) |\n| D | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) - zsumowano obie obniżki jako jedną \\(20\\%\\), po czym „cofnięto\" jednym mnożeniem przez \\(1{,}2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżka o \\(10\\%\\) **dwukrotna** to NIE to samo co obniżka o \\(20\\%\\)! Dwie kolejne obniżki po \\(10\\%\\) dają łącznie \\(19\\%\\) mniej, bo druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby „cofnąć\" obniżkę o \\(10\\%\\), nie dodajemy \\(10\\%\\) - **dzielimy przez \\(0{,}9\\)**. Dodanie \\(10\\%\\) do obniżonej ceny daje inny wynik niż cena wyjściowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{78\\,732}{0{,}81}\\) warto zamienić na \\(\\frac{78\\,732 \\cdot 100}{81}\\) i sprawdzić, czy \\(81 \\times 972 = 78\\,732\\) - to prostsze niż dzielenie przez ułamek dziesiętny.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równanie\nNiech \\(x\\) to cena początkowa. Po dwóch obniżkach o 10%:\n\\[x\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\]\n\\[0{,}81\\cdot x = 78\\,732\\]\n\\[x = \\dfrac{78\\,732}{0{,}81} = 97\\,200.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi B\n\\(97\\,200\\cdot 0{,}9 = 87\\,480\\); \\(87\\,480\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(98\\,732\\)** - dodano \\(20\\,000\\) zamiast podzielić.\n- **C. \\(95\\,266\\)** - bliska poprawnej, ale błędne zaokrąglenie.\n- **D. \\(94\\,478\\)** - dwa razy po 8% zamiast 10%.\n\n**Trik:** dwie obniżki po 10% = współczynnik \\(0{,}81\\), nie \\(0{,}8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda iteracyjna (obniżki)\n1. **Pierwsza obniżka:** Cena po pierwszej obniżce o 10% wynosi: 78732 zł * (1 - 0.10) = 78732 zł * 0.90 = 70858.80 zł.\n2. **Druga obniżka:** Cena po drugiej obniżce o 10% wynosi: 70858.80 zł * (1 - 0.10) = 70858.80 zł * 0.90 = 63772.92 zł.\n3. **Zaokrąglenie:** Zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 63773 zł. To nie jest odpowiedź, więc musimy wrócić do obliczeń z uwzględnieniem zaokrągleń. Zatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\nZatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie algebraiczne\nNiech cena przed obiema obniżkami wynosi *x*.\nPo pierwszej obniżce cena wynosi *x*(1 - 0.10) = 0.9*x*.\nPo drugiej obniżce cena wynosi 0.9*(0.9*x*) = 0.81*x*.\nWiemy, że 0.81*x* = 78732 zł.\nZatem, *x* = 78732 zł / 0.81 = 97198.39 zł.\nZaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł. To również nie jest odpowiedź.\n\nPonownie, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie pasuje do tego zadania, ale jest tu wzór na obliczanie długości)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 98 732 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n* **C. 95 266 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n* **D. 94 478 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n\n**Wyjaśnienie:**\n\nZadanie jest skonstruowane tak, aby sprawdzić zrozumienie iteracyjnego obliczania procentów. Cena początkowa jest obniżana o 10%, a następnie o 10% od nowej ceny. Ostateczna cena to 81% ceny początkowej. Wzór na to wygląda następująco: Cena końcowa = Cena początkowa * (1 - 0.10) * (1 - 0.10) = Cena początkowa * 0.81. W zadaniu podano, że ta cena końcowa wynosi 78732 zł. Zatem, musimy znaleźć cenę początkową, która po pomnożeniu przez 0.81 da 78732 zł. Dlatego, cena początkowa wynosi 78732 / 0.81 = 97198.39 zł, a zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł, co jest blisko 97200.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny
obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema
obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa
A. 98 732 zł
B. 97 200 zł
C. 95 266 zł
D. 94 478 zł
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa A. 98 732 zł B. 97 200 zł C. 95 266 zł D. 94 478 zł.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
1.8) wykonuje obliczenia procentowe.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(97\\,200\\) zł

\n

Sposób 1 - równanie z nieznaną ceną początkową

\n

Każda obniżka o \\(10\\%\\) oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) poprzedniej ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}9\\).

\n

Po dwóch takich obniżkach cena wynosi:
\\[C_0 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = C_0 \\cdot 0{,}81\\]

\n

gdzie \\(C_0\\) to cena przed obniżkami. Wiemy, że wynik to \\(78\\,732\\) zł:
\\[C_0 \\cdot 0{,}81 = 78\\,732\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(0{,}81\\):
\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81}\\]

\n

Liczymy:
\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81} = \\frac{7\\,873\\,200}{81} = 97\\,200\\]

\n

Cena przed obniżkami wynosiła \\(97\\,200\\) zł.

\n

Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)

\n

Sprawdzamy, czy zaczynając od \\(97\\,200\\) zł i dwukrotnie obniżając o \\(10\\%\\), dostaniemy \\(78\\,732\\) zł.

\n

Pierwsza obniżka:
\\[97\\,200 \\cdot 0{,}9 = 87\\,480 \\text{ zł}\\]

\n

Druga obniżka:
\\[87\\,480 \\cdot 0{,}9 = 78\\,732 \\text{ zł} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - procent składany:
\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]

\n

Tutaj mamy obniżkę o \\(10\\%\\), więc \\(p = -10\\), co daje czynnik \\(1 - 0{,}1 = 0{,}9\\). Po \\(n = 2\\) obniżkach:
\\[K_2 = K_0 \\cdot (0{,}9)^2 = K_0 \\cdot 0{,}81\\]

\n

Zadanie polega na wyznaczeniu \\(K_0\\) mając dane \\(K_2 = 78\\,732\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Dodano \\(10\\% + 10\\% = 20\\%\\) do \\(78\\,732\\): \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) albo po prostu \\(78\\,732 + 20\\,000 \\approx 98\\,732\\) - błędne „cofanie" obniżki przez dodanie stałej kwoty |
| C | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}1 \\cdot 1{,}1 = 78\\,732 \\cdot 1{,}21 \\approx 95\\,266\\) - błędne cofanie: pomnożono przez \\(1{,}1\\) zamiast podzielić przez \\(0{,}9\\) |
| D | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) - zsumowano obie obniżki jako jedną \\(20\\%\\), po czym „cofnięto" jednym mnożeniem przez \\(1{,}2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Obniżka o \\(10\\%\\) dwukrotna to NIE to samo co obniżka o \\(20\\%\\)! Dwie kolejne obniżki po \\(10\\%\\) dają łącznie \\(19\\%\\) mniej, bo druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.
\n
⚠️ Uwaga: Żeby „cofnąć" obniżkę o \\(10\\%\\), nie dodajemy \\(10\\%\\) - dzielimy przez \\(0{,}9\\). Dodanie \\(10\\%\\) do obniżonej ceny daje inny wynik niż cena wyjściowa.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\frac{78\\,732}{0{,}81}\\) warto zamienić na \\(\\frac{78\\,732 \\cdot 100}{81}\\) i sprawdzić, czy \\(81 \\times 972 = 78\\,732\\) - to prostsze niż dzielenie przez ułamek dziesiętny.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Równanie
\n

Niech \\(x\\) to cena początkowa. Po dwóch obniżkach o 10%:
\\[x\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\]
\\[0{,}81\\cdot x = 78\\,732\\]
\\[x = \\dfrac{78\\,732}{0{,}81} = 97\\,200.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi B
\n

\\(97\\,200\\cdot 0{,}9 = 87\\,480\\); \\(87\\,480\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dwie obniżki po 10% = współczynnik \\(0{,}81\\), nie \\(0{,}8\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Metoda iteracyjna (obniżki)
\n
  1. Pierwsza obniżka: Cena po pierwszej obniżce o 10% wynosi: 78732 zł * (1 - 0.10) = 78732 zł * 0.90 = 70858.80 zł.
  2. Druga obniżka: Cena po drugiej obniżce o 10% wynosi: 70858.80 zł * (1 - 0.10) = 70858.80 zł * 0.90 = 63772.92 zł.
  3. Zaokrąglenie: Zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 63773 zł. To nie jest odpowiedź, więc musimy wrócić do obliczeń z uwzględnieniem zaokrągleń. Zatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena po obniżkach wynosi 78732 zł.
\n

Zatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena po obniżkach wynosi 78732 zł.

\n

📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi, strona 4

\n
Sposób 2: Rozwiązanie algebraiczne
\n

Niech cena przed obiema obniżkami wynosi x.
Po pierwszej obniżce cena wynosi x(1 - 0.10) = 0.9x.
Po drugiej obniżce cena wynosi 0.9(0.9x) = 0.81x*.
Wiemy, że 0.81x = 78732 zł.
Zatem, x = 78732 zł / 0.81 = 97198.39 zł.
Zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł. To również nie jest odpowiedź.

\n

Ponownie, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena po obniżkach wynosi 78732 zł.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie pasuje do tego zadania, ale jest tu wzór na obliczanie długości)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wyjaśnienie:

\n

Zadanie jest skonstruowane tak, aby sprawdzić zrozumienie iteracyjnego obliczania procentów. Cena początkowa jest obniżana o 10%, a następnie o 10% od nowej ceny. Ostateczna cena to 81% ceny początkowej. Wzór na to wygląda następująco: Cena końcowa = Cena początkowa * (1 - 0.10) * (1 - 0.10) = Cena początkowa * 0.81. W zadaniu podano, że ta cena końcowa wynosi 78732 zł. Zatem, musimy znaleźć cenę początkową, która po pomnożeniu przez 0.81 da 78732 zł. Dlatego, cena początkowa wynosi 78732 / 0.81 = 97198.39 zł, a zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł, co jest blisko 97200.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, jeśli początkową cenę działki oznaczymy jako $x$ [zł], to po pierwszej obniżce wynosiła ona $0,9x$ [zł], a po kolejnej jej wartość była równa $0,9-10\\%\\cdot0,9x=0,9x-0,09x=0,81x$ [zł], zatem $0,81x=78\\;732$, czyli $x=\\small{\\displaystyle\\frac{7\\;873\\;200}{81}}=97\\;200$ [zł].

"}]}