{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nLiczba 3 2+ 1\n4 jest równa\nA. 32 ⋅√3\n4\nB. √33\n4\nC. 32 + √3\n4\nD. 32 + √34\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba 3^{2 +1/4} jest równa A. 3^2⋅prw{4}{3} B. prw{4}{3^3} C. 3^2+prw{4}{3} D.3^2+√{3^4}","answer":"R","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3}\\)\n\n## Sposób 1 - rozdzielenie wykładnika (własność potęgi)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** wykładnik \\(2 + \\frac{1}{4}\\) to suma dwóch liczb - możemy więc rozbić potęgę na iloczyn.\n\nKorzystamy z własności \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\):\n\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}}\\]\n\nTeraz zamieniamy \\(3^{\\frac{1}{4}}\\) na pierwiastek. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:\n\n\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9\\sqrt[4]{3}\\]\n\n**Odpowiedź A jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez obliczenie przybliżone\n\nSprawdzamy numerycznie, że A daje ten sam wynik co pierwotne wyrażenie.\n\nLewa strona:\n\\[3^{2{,}25} = 3^{\\frac{9}{4}}\\]\n\nWyliczamy: \\(3^1 = 3\\), \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\). Skoro \\(\\frac{9}{4} = 2{,}25\\), wynik powinien być między \\(9\\) a \\(27\\).\n\nPrawa strona (odpowiedź A):\n\\[3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9 \\cdot 3^{0{,}25} \\approx 9 \\cdot 1{,}316 \\approx 11{,}84\\]\n\nLewa strona:\n\\[3^{2{,}25} \\approx 11{,}84\\]\n\nWyniki się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru „od prawej do lewej\" - rozdzielając potęgę sumy na iloczyn potęg.\n\n**Dział 2 (s. 5)** - potęga o wykładniku wymiernym:\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nW szczególności dla \\(m=1\\):\n\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\sqrt[4]{3^3} = 3^{\\frac{3}{4}}\\) - uczeń gubi dwójkę z wykładnika; zachowuje tylko \\(\\frac{1}{4}\\) i wkłada trójkę pod pierwiastek zamiast oddzielić |\n| C | Błąd polegający na zamianie mnożenia na dodawanie: \\(3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}} \\neq 3^2 + 3^{\\frac{1}{4}}\\). Potęgi **mnoży się**, a nie dodaje, gdy mają ten sam znak dodawania w wykładniku |\n| D | Podwójny błąd: zamiana mnożenia na dodawanie (jak w C) **oraz** błędne przeliczenie \\(\\sqrt[4]{3} = \\sqrt{3^4}\\) (to dawałoby \\(\\sqrt{81} = 9\\), czyli \\(3^4 = 81\\), co jest zupełnie inną liczbą) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\), a NIE \\(a^r + a^s\\). Dodawanie w **wykładniku** oznacza **mnożenie** potęg - to jeden z najczęstszych błędów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\), nie \\(\\sqrt[4]{3^4}\\). Mianownik ułamka w wykładniku to stopień pierwiastka, licznik to potęga pod pierwiastkiem. Tu licznik wynosi \\(1\\), więc \\(\\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed wyborem odpowiedzi warto szybko sprawdzić numerycznie - kalkulator na maturze jest dozwolony i taka weryfikacja zajmuje kilkanaście sekund, a eliminuje błędy obliczeniowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a^{m+n} = a^m\\cdot a^n\\)\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2\\cdot 3^{1/4} = 3^2\\cdot \\sqrt[4]{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać pierwiastkowa\n\\(3^{1/4} = \\sqrt[4]{3}\\) (z definicji potęgi o wykładniku wymiernym).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt[4]{3^3}\\)** - to \\(3^{3/4}\\), nie \\(3^{9/4}\\).\n- **C, D.** Plus zamiast mnożenia - typowy błąd mylący dodawanie wykładników z dodawaniem potęg.\n\n**Trik:** potęgowanie SUMY zamienia się na ILOCZYN potęg, nie sumę.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Uproszczenie wyrażenia i wykorzystanie potęg\n1. **Rozpisujemy wyrażenie:**\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 3^2 \\cdot 3 \\cdot 4\\]\n2. **Mnożymy liczby:**\n\\[3^2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]\n3. **Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.** Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.\n\nPonownie:\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]\nZatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na potęgi\n1. **Zastosowanie wzoru na potęgi:**\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3^{1} \\cdot 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4\\]\n2. **Mnożymy liczby:**\n\\[3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]\n3. **Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.** Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.\n\nPonownie:\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]\nZatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(\\sqrt{3}^{3}\\)**: To jest równoważne (\\(3^{1/2})^3 = 3^{3/2} = 3 \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108.\n* **C. \\(3^{2} + \\sqrt{3}\\)**: To jest suma dwóch wyrażeń, a wynik to 9 + √3, co nie jest równe 108.\n* **D. \\(3^{2} + \\sqrt{3}^{4}\\)**: To jest \\(9 + (\\sqrt{3})^4 = 9 + 9 = 18\\), co również nie jest równe 108.\n\nWszystkie odpowiedzi są błędne. Prawidłowa odpowiedź to 108, a w opcjach podana jest odpowiedź A, która jest błędna. Prawdopodobnie w treści zadania jest błąd.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Liczba 3 2+ 1<br>4 jest równa<br>A. 32 ⋅√3<br>4<br>B. √33<br>4<br>C. 32 + √3<br>4<br>D. 32 + √34</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Liczba 3^{2 +1/4} jest równa A. 3^2⋅prw{4}{3} B. prw{4}{3^3} C. 3^2+prw{4}{3} D.3^2+√{3^4}</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>1.4) oblicza potęgi o wykładnikach<br>wymiernych i stosuje prawa działań na<br>potęgach o wykładnikach wymiernych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>A<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\(3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - rozdzielenie wykładnika (własność potęgi)</h4>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> wykładnik \\(2 + \\frac{1}{4}\\) to suma dwóch liczb - możemy więc rozbić potęgę na iloczyn.</p>\n<p>Korzystamy z własności \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\):</p>\n<p>\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}}\\]</p>\n<p>Teraz zamieniamy \\(3^{\\frac{1}{4}}\\) na pierwiastek. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:</p>\n<p>\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9\\sqrt[4]{3}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź A jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez obliczenie przybliżone</h4>\n<p>Sprawdzamy numerycznie, że A daje ten sam wynik co pierwotne wyrażenie.</p>\n<p>Lewa strona:<br>\\[3^{2{,}25} = 3^{\\frac{9}{4}}\\]</p>\n<p>Wyliczamy: \\(3^1 = 3\\), \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\). Skoro \\(\\frac{9}{4} = 2{,}25\\), wynik powinien być między \\(9\\) a \\(27\\).</p>\n<p>Prawa strona (odpowiedź A):<br>\\[3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9 \\cdot 3^{0{,}25} \\approx 9 \\cdot 1{,}316 \\approx 11{,}84\\]</p>\n<p>Lewa strona:<br>\\[3^{2{,}25} \\approx 11{,}84\\]</p>\n<p>Wyniki się zgadzają. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - działania na potęgach:</p>\n<p>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru „od prawej do lewej&quot; - rozdzielając potęgę sumy na iloczyn potęg.</p>\n<p><strong>Dział 2 (s. 5)</strong> - potęga o wykładniku wymiernym:</p>\n<p>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]</p>\n<p>W szczególności dla \\(m=1\\):<br>\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | \\(\\sqrt[4]{3^3} = 3^{\\frac{3}{4}}\\) - uczeń gubi dwójkę z wykładnika; zachowuje tylko \\(\\frac{1}{4}\\) i wkłada trójkę pod pierwiastek zamiast oddzielić |<br>| C | Błąd polegający na zamianie mnożenia na dodawanie: \\(3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}} \\neq 3^2 + 3^{\\frac{1}{4}}\\). Potęgi <strong>mnoży się</strong>, a nie dodaje, gdy mają ten sam znak dodawania w wykładniku |<br>| D | Podwójny błąd: zamiana mnożenia na dodawanie (jak w C) <strong>oraz</strong> błędne przeliczenie \\(\\sqrt[4]{3} = \\sqrt{3^4}\\) (to dawałoby \\(\\sqrt{81} = 9\\), czyli \\(3^4 = 81\\), co jest zupełnie inną liczbą) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\), a NIE \\(a^r + a^s\\). Dodawanie w <strong>wykładniku</strong> oznacza <strong>mnożenie</strong> potęg - to jeden z najczęstszych błędów!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\), nie \\(\\sqrt[4]{3^4}\\). Mianownik ułamka w wykładniku to stopień pierwiastka, licznik to potęga pod pierwiastkiem. Tu licznik wynosi \\(1\\), więc \\(\\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przed wyborem odpowiedzi warto szybko sprawdzić numerycznie - kalkulator na maturze jest dozwolony i taka weryfikacja zajmuje kilkanaście sekund, a eliminuje błędy obliczeniowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór \\(a^{m+n} = a^m\\cdot a^n\\)</h5>\n<p>\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2\\cdot 3^{1/4} = 3^2\\cdot \\sqrt[4]{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać pierwiastkowa</h5>\n<p>\\(3^{1/4} = \\sqrt[4]{3}\\) (z definicji potęgi o wykładniku wymiernym).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\sqrt[4]{3^3}\\)</strong> - to \\(3^{3/4}\\), nie \\(3^{9/4}\\).</li><li><strong>C, D.</strong> Plus zamiast mnożenia - typowy błąd mylący dodawanie wykładników z dodawaniem potęg.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> potęgowanie SUMY zamienia się na ILOCZYN potęg, nie sumę.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Uproszczenie wyrażenia i wykorzystanie potęg</h5>\n<ol><li><strong>Rozpisujemy wyrażenie:</strong></li></ol>\n<p>\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 3^2 \\cdot 3 \\cdot 4\\]</p>\n<ol><li><strong>Mnożymy liczby:</strong></li></ol>\n<p>\\[3^2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.</strong> Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.</li></ol>\n<p>Ponownie:<br>\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]<br>Zatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na potęgi</h5>\n<ol><li><strong>Zastosowanie wzoru na potęgi:</strong></li></ol>\n<p>\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3^{1} \\cdot 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4\\]</p>\n<ol><li><strong>Mnożymy liczby:</strong></li></ol>\n<p>\\[3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]</p>\n<ol><li><strong>Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.</strong> Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.</li></ol>\n<p>Ponownie:<br>\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]<br>Zatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 5</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\sqrt{3}^{3}\\)</strong>: To jest równoważne (\\(3^{1/2})^3 = 3^{3/2} = 3 \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108.</li><li><strong>C. \\(3^{2} + \\sqrt{3}\\)</strong>: To jest suma dwóch wyrażeń, a wynik to 9 + √3, co nie jest równe 108.</li><li><strong>D. \\(3^{2} + \\sqrt{3}^{4}\\)</strong>: To jest \\(9 + (\\sqrt{3})^4 = 9 + 9 = 18\\), co również nie jest równe 108.</li></ul>\n<p>Wszystkie odpowiedzi są błędne. Prawidłowa odpowiedź to 108, a w opcjach podana jest odpowiedź A, która jest błędna. Prawdopodobnie w treści zadania jest błąd.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania liczby, którą mamy obliczyć. Zapisujemy to w postaci:\\</li></ol>\n<p>$$3^{2 + \\frac{1}{4}}$$</p>\n<ol><li>Następnie wykorzystujemy zasadę, że możemy rozdzielić potęgę na dwie części, co zapisujemy jako:\\</li></ol>\n<p>$$3^{2 + \\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}}$$</p>\n<ol><li>Teraz obliczamy wartość $3^2$. Wykonujemy mnożenie:\\</li></ol>\n<p>$$3^2 = 9$$</p>\n<ol><li>Teraz przekształcamy $3^{\\frac{1}{4}}$. Z definicji pierwiastków, możemy zapisać:\\</li></ol>\n<p>$$3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}$$</p>\n<ol><li>Połączmy nasze wyniki z kroku 3 i kroku 4:\\</li></ol>\n<p>$$3^{2 + \\frac{1}{4}} = 9 \\cdot \\sqrt[4]{3}$$</p>\n<ol><li>Mamy teraz pełną postać wyrażenia:\\</li></ol>\n<p>$$3^{2 + \\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3}$$</p>\n<ol><li>Porównujemy nasze równanie z opcjami odpowiedzi. Opcja A mówi, że to jest $3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3}$, co zgadza się z naszym wynikiem.\\</li></ol>\n<ol><li>Pozostałe opcje (B, C, D) nie pasują do naszego wyniku, więc odrzucamy je.\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> A</p>"}]}