{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRozwiązaniem układu równań {11𝑥-11𝑦= 1\n22𝑥+ 22𝑦= -1 jest para liczb: 𝑥= 𝑥0 , 𝑦= 𝑦0 . Wtedy\nA. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 > 0\nB. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 < 0\nC. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 > 0\nD. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 < 0\nRozwiązaniem układu równań {11x-11y=1; 22x+22y=-1 jest para liczb: x=x_0, y=y_0. Wtedy A. x_0>0 i y_0>0 B. x_0>0 i y_0<0 C. x_0<0 i y_0>0 D. x_0<0 i y_0<0.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG7.6) rozwiązuje układy równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Metoda eliminacji (dodawanie stronami)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} 11x - 11y = 1 \\\\ 22x + 22y = -1 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1: Uprość równania przez podzielenie.**\n\nPierwsze równanie podziel przez \\(11\\), drugie przez \\(22\\):\n\\[\\begin{cases} x - y = \\dfrac{1}{11} \\\\[6pt] x + y = -\\dfrac{1}{22} \\end{cases}\\]\n\n**Krok 2: Dodaj oba równania stronami** (eliminujemy \\(y\\)):\n\\[(x - y) + (x + y) = \\frac{1}{11} + \\left(-\\frac{1}{22}\\right)\\]\n\\[2x = \\frac{2}{22} - \\frac{1}{22} = \\frac{1}{22}\\]\n\\[x = \\frac{1}{44}\\]\n\n**Stąd wynika:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(y\\)** - podstaw do pierwszego równania:\n\\[\\frac{1}{44} - y = \\frac{1}{11}\\]\n\\[y = \\frac{1}{44} - \\frac{1}{11} = \\frac{1}{44} - \\frac{4}{44} = -\\frac{3}{44}\\]\n\n**Stąd wynika:** \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\). ✓\n\n**Wynik:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\) oraz \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\), czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Metoda podstawiania\n\nZ pierwszego równania (po podzieleniu przez \\(11\\)) wyraź \\(x\\) przez \\(y\\):\n\\[x - y = \\frac{1}{11} \\implies x = y + \\frac{1}{11}\\]\n\nPodstaw do drugiego równania (po podzieleniu przez \\(22\\)):\n\\[\\left(y + \\frac{1}{11}\\right) + y = -\\frac{1}{22}\\]\n\\[2y + \\frac{1}{11} = -\\frac{1}{22}\\]\n\\[2y = -\\frac{1}{22} - \\frac{2}{22} = -\\frac{3}{22}\\]\n\\[y = -\\frac{3}{44}\\]\n\nWróć do wyrażenia na \\(x\\):\n\\[x = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]\n\n**Ten sam wynik:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\), \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\) → odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe techniki algebry (eliminacja, podstawianie, działania na ułamkach).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń dostaje prawidłowe \\(x_0 > 0\\), ale myli znaki przy wyznaczaniu \\(y\\) - np. dodaje zamiast odejmować, wychodzi mu \\(y_0 > 0\\) |\n| C | Zamienione znaki - uczeń pomylił, które równanie ma \\(+\\), a które \\(-\\), i dostaje \\(x < 0, y > 0\\) |\n| D | Uczeń nie upraszcza równań przed obliczeniami i myli się przy działaniach na większych liczbach - dostaje obie wartości ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz eliminację, zawsze uproszczone liczby - tutaj \\(11\\) i \\(22\\) to \"wabik\". Po podzieleniu układ wygląda dużo prościej i łatwiej nie popełnić błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu ułamków sprowadź do wspólnego mianownika! \\(\\frac{1}{11} = \\frac{2}{22}\\) - łatwo to przeoczyć i dostać zły znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta tylko o **znaki** \\(x_0\\) i \\(y_0\\), nie o same wartości. Wystarczy określić, czy wynik jest dodatni czy ujemny - nie musisz liczyć dokładnych wartości (choć warto to zrobić dla pewności).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podzielenie równań\nPierwsze równanie: \\(x - y = \\tfrac{1}{11}\\). Drugie: \\(x + y = -\\tfrac{1}{22}\\).\nDodając: \\(2x = \\tfrac{1}{11} - \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{2-1}{22} = \\tfrac{1}{22}\\), więc \\(x_0 = \\tfrac{1}{44} > 0\\).\nOdejmując: \\(-2y = \\tfrac{1}{11} + \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{3}{22}\\), więc \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\).\n\n### Sposób 2 - Metoda podstawienia\nZ pierwszego \\(x = y + \\tfrac{1}{11}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\(22(y + \\tfrac{1}{11}) + 22y = -1\\), \\(44y + 2 = -1\\), \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\). Wtedy \\(x_0 = -\\tfrac{3}{44} + \\tfrac{4}{44} = \\tfrac{1}{44} > 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - złe znaki wynikające z pomyłki w znaku w równaniach.\n\n**Trik:** dziel oba równania, aby uprościć; suma i różnica szybko dają x i y.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda eliminacji\n\n1. **Z pierwszego równania:** \\[11x - 11y = 1] Możemy podzielić obie strony przez 11, otrzymując:\n\\[x - y = \\frac{1}{11}\\]\n\\[x = y + \\frac{1}{11}\\]\n\n2. **Podstawienie do drugiego równania:** \\[22x + 22y = -1] Podstawiamy wyznaczone \\(x\\) z pierwszego równania:\n\\[22(y + \\frac{1}{11}) + 22y = -1\\]\n\\[22y + 2 + 22y = -1\\]\n\\[44y = -3\\]\n\\[y = -\\frac{3}{44}\\]\n\n3. **Obliczenie x:** \\[x = y + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]\n\nZatem rozwiązaniem układu równań jest \\(x = \\frac{1}{44}\\) i \\(y = -\\frac{3}{44}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Metoda mnożenia i dodawania\n\n1. **Pomnożenie pierwszego równania przez 22:**\n\\[22(11x - 11y) = 22(1)\\]\n\\[242x - 242y = 22\\]\n\n2. **Dodanie do drugiego równania:**\n\\[(242x - 242y) + (22x + 22y) = 22 + (-1)\\]\n\\[264x - 220y = 21\\]\n\n3. **Podzielenie przez 4:** Aby uprościć równanie, dzielimy obie strony przez 4:\n\\[66x - 55y = \\frac{21}{4}\\]\n\n4. **Rozwiązanie równania z niewiadomą x:** Aby rozwiązać to równanie, możemy użyć wzorów z karty wzorów, ale w tym przypadku jest to równanie liniowe, które można rozwiązać metodą podwoju. Z pierwszego równania (x-y=1/11) mamy x = y+1/11. Podstawiamy do drugiego równania: 22(y+1/11) + 22y = -1. Rozwiązujemy to równanie, jak w sposobie 1.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(x0 > 0 i y0 > 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.\n* **C. \\(x0 < 0 i y0 > 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.\n* **D. \\(x0 < 0 i y0 < 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Rozwiązaniem układu równań {11𝑥-11𝑦= 1
22𝑥+ 22𝑦= -1 jest para liczb: 𝑥= 𝑥0 , 𝑦= 𝑦0 . Wtedy
A. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 > 0
B. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 < 0
C. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 > 0
D. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 < 0
Rozwiązaniem układu równań {11x-11y=1; 22x+22y=-1 jest para liczb: x=x_0, y=y_0. Wtedy A. x_0>0 i y_0>0 B. x_0>0 i y_0<0 C. x_0<0 i y_0>0 D. x_0<0 i y_0<0.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
G7.6) rozwiązuje układy równań stopnia
pierwszego z dwiema niewiadomymi.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\)

\n

Sposób 1 - Metoda eliminacji (dodawanie stronami)

\n

Mamy układ:
\\[\\begin{cases} 11x - 11y = 1 \\\\ 22x + 22y = -1 \\end{cases}\\]

\n

Krok 1: Uprość równania przez podzielenie.

\n

Pierwsze równanie podziel przez \\(11\\), drugie przez \\(22\\):
\\[\\begin{cases} x - y = \\dfrac{1}{11} \\\\[6pt] x + y = -\\dfrac{1}{22} \\end{cases}\\]

\n

Krok 2: Dodaj oba równania stronami (eliminujemy \\(y\\)):
\\[(x - y) + (x + y) = \\frac{1}{11} + \\left(-\\frac{1}{22}\\right)\\]
\\[2x = \\frac{2}{22} - \\frac{1}{22} = \\frac{1}{22}\\]
\\[x = \\frac{1}{44}\\]

\n

Stąd wynika: \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\). ✓

\n

Krok 3: Wyznacz \\(y\\) - podstaw do pierwszego równania:
\\[\\frac{1}{44} - y = \\frac{1}{11}\\]
\\[y = \\frac{1}{44} - \\frac{1}{11} = \\frac{1}{44} - \\frac{4}{44} = -\\frac{3}{44}\\]

\n

Stąd wynika: \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\). ✓

\n

Wynik: \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\) oraz \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\), czyli odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Metoda podstawiania

\n

Z pierwszego równania (po podzieleniu przez \\(11\\)) wyraź \\(x\\) przez \\(y\\):
\\[x - y = \\frac{1}{11} \\implies x = y + \\frac{1}{11}\\]

\n

Podstaw do drugiego równania (po podzieleniu przez \\(22\\)):
\\[\\left(y + \\frac{1}{11}\\right) + y = -\\frac{1}{22}\\]
\\[2y + \\frac{1}{11} = -\\frac{1}{22}\\]
\\[2y = -\\frac{1}{22} - \\frac{2}{22} = -\\frac{3}{22}\\]
\\[y = -\\frac{3}{44}\\]

\n

Wróć do wyrażenia na \\(x\\):
\\[x = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]

\n

Ten sam wynik: \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\), \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\) → odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe techniki algebry (eliminacja, podstawianie, działania na ułamkach).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń dostaje prawidłowe \\(x_0 > 0\\), ale myli znaki przy wyznaczaniu \\(y\\) - np. dodaje zamiast odejmować, wychodzi mu \\(y_0 > 0\\) |
| C | Zamienione znaki - uczeń pomylił, które równanie ma \\(+\\), a które \\(-\\), i dostaje \\(x < 0, y > 0\\) |
| D | Uczeń nie upraszcza równań przed obliczeniami i myli się przy działaniach na większych liczbach - dostaje obie wartości ujemne |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zanim zaczniesz eliminację, zawsze uproszczone liczby - tutaj \\(11\\) i \\(22\\) to "wabik". Po podzieleniu układ wygląda dużo prościej i łatwiej nie popełnić błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu ułamków sprowadź do wspólnego mianownika! \\(\\frac{1}{11} = \\frac{2}{22}\\) - łatwo to przeoczyć i dostać zły znak.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta tylko o znaki \\(x_0\\) i \\(y_0\\), nie o same wartości. Wystarczy określić, czy wynik jest dodatni czy ujemny - nie musisz liczyć dokładnych wartości (choć warto to zrobić dla pewności).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Podzielenie równań
\n

Pierwsze równanie: \\(x - y = \\tfrac{1}{11}\\). Drugie: \\(x + y = -\\tfrac{1}{22}\\).
Dodając: \\(2x = \\tfrac{1}{11} - \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{2-1}{22} = \\tfrac{1}{22}\\), więc \\(x_0 = \\tfrac{1}{44} > 0\\).
Odejmując: \\(-2y = \\tfrac{1}{11} + \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{3}{22}\\), więc \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\).

\n
Sposób 2 - Metoda podstawienia
\n

Z pierwszego \\(x = y + \\tfrac{1}{11}\\). Podstawiamy do drugiego:
\\(22(y + \\tfrac{1}{11}) + 22y = -1\\), \\(44y + 2 = -1\\), \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\). Wtedy \\(x_0 = -\\tfrac{3}{44} + \\tfrac{4}{44} = \\tfrac{1}{44} > 0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dziel oba równania, aby uprościć; suma i różnica szybko dają x i y.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Metoda eliminacji
\n
  1. Z pierwszego równania: \\[11x - 11y = 1] Możemy podzielić obie strony przez 11, otrzymując:
\n

\\[x - y = \\frac{1}{11}\\]
\\[x = y + \\frac{1}{11}\\]

\n
  1. Podstawienie do drugiego równania: \\[22x + 22y = -1] Podstawiamy wyznaczone \\(x\\) z pierwszego równania:
\n

\\[22(y + \\frac{1}{11}) + 22y = -1\\]
\\[22y + 2 + 22y = -1\\]
\\[44y = -3\\]
\\[y = -\\frac{3}{44}\\]

\n
  1. Obliczenie x: \\[x = y + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]
\n

Zatem rozwiązaniem układu równań jest \\(x = \\frac{1}{44}\\) i \\(y = -\\frac{3}{44}\\).

\n

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

\n
Sposób 2: Metoda mnożenia i dodawania
\n
  1. Pomnożenie pierwszego równania przez 22:
\n

\\[22(11x - 11y) = 22(1)\\]
\\[242x - 242y = 22\\]

\n
  1. Dodanie do drugiego równania:
\n

\\[(242x - 242y) + (22x + 22y) = 22 + (-1)\\]
\\[264x - 220y = 21\\]

\n
  1. Podzielenie przez 4: Aby uprościć równanie, dzielimy obie strony przez 4:
\n

\\[66x - 55y = \\frac{21}{4}\\]

\n
  1. Rozwiązanie równania z niewiadomą x: Aby rozwiązać to równanie, możemy użyć wzorów z karty wzorów, ale w tym przypadku jest to równanie liniowe, które można rozwiązać metodą podwoju. Z pierwszego równania (x-y=1/11) mamy x = y+1/11. Podstawiamy do drugiego równania: 22(y+1/11) + 22y = -1. Rozwiązujemy to równanie, jak w sposobie 1.
\n

📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, po pomnożeniu przez $2$ pierwszego równania i dodaniu obu równań stronami, otrzymujemy $44x=1$, zatem $x=\\displaystyle\\frac{1}{44}$, a $y=-\\displaystyle\\frac{3}{44}$.

"}]}