{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania 2𝑥(𝑥2 -9)(𝑥+ 1) = 0 jest równy\nA. (-3)\nB. 3\nC. 0\nD. 9\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x^2-9)(x+1)=0 jest równy A. -3 B. 3 C. 0 D. 9","answer":"R","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n3.6) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i obliczenie iloczynu\n\nRozwiązujemy równanie:\n\\[2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\]\n\nIloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **przynajmniej jeden z czynników jest równy zero**.\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(x^2 - 9\\) jako różnicę kwadratów:\n\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\]\n\n**Krok 2.** Zerujemy każdy czynnik osobno:\n\n| Czynnik | Równanie | Pierwiastek |\n| \\(2x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x_1 = 0\\) |\n| \\(x - 3\\) | \\(x - 3 = 0\\) | \\(x_2 = 3\\) |\n| \\(x + 3\\) | \\(x + 3 = 0\\) | \\(x_3 = -3\\) |\n| \\(x + 1\\) | \\(x + 1 = 0\\) | \\(x_4 = -1\\) |\n\n**Krok 3.** Obliczamy iloczyn wszystkich pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = 0 \\cdot 3 \\cdot (-3) \\cdot (-1) = \\mathbf{0}\\]\n\nPonieważ jeden z pierwiastków to **\\(x_1 = 0\\)**, iloczyn jest natychmiast równy \\(0\\), niezależnie od pozostałych wartości.\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja)\n\nRównanie \\(2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\) możemy rozwinąć do postaci wielomianu stopnia 4.\n\nZgodnie z uogólnieniem wzorów Viète'a, iloczyn wszystkich pierwiastków wielomianu\n\\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \\ldots + a_1 x + a_0 = 0\\]\njest równy:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\ldots \\cdot x_n = \\frac{a_0}{a_n} \\cdot (-1)^n\\]\n\nRozwijamy nasze równanie. Najpierw:\n\\[2x \\cdot (x-3)(x+3) \\cdot (x+1) = 2x(x^2 - 9)(x+1)\\]\n\\[= 2x(x^3 + x^2 - 9x - 9)\\]\n\\[= 2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x\\]\n\nWielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x + 0\\)\n\nZatem \\(a_4 = 2\\), \\(a_0 = 0\\).\n\nIloczyn pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = \\frac{a_0}{a_4} \\cdot (-1)^4 = \\frac{0}{2} \\cdot 1 = \\mathbf{0}\\]\n\nTo potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy bezpośrednio wzorów na funkcję kwadratową - kluczowy jest rozkład na czynniki i własność iloczynu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-3\\) | Uczeń zauważa pierwiastek \\(x = -3\\) i myśli, że to wynik - pomija pozostałe pierwiastki |\n| B. \\(3\\) | Uczeń bierze tylko \\(x = 3\\) i \\(x = -3\\), liczy ich iloczyn: \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem gubi minus - albo bierze tylko \\(x = 3\\) |\n| D. \\(9\\) | Uczeń liczy \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem bierze wartość bezwzględną, lub liczy \\(3 \\cdot 3 = 9\\) ignorując znaki |\n\nW każdym z tych błędów wspólny mianownik to **pominięcie pierwiastka \\(x = 0\\)**, który zeruje cały iloczyn.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wśród pierwiastków jest \\(x = 0\\), iloczyn wszystkich pierwiastków wynosi \\(0\\) - bez obliczania czegokolwiek dalej! To \"skrót myślowy\", który warto zapamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać \\(x\\) z obu stron równania (np. dzielić przez \\(x\\)), bo wtedy tracimy pierwiastek \\(x = 0\\). Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\(x^2 - 9\\) to **nie** \\((x-9)(x+9)\\)! Pamiętaj: \\(9 = 3^2\\), więc \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Znajdujemy pierwiastki\n\\(2x = 0 \\Rightarrow x = 0\\); \\(x^2-9 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 3\\); \\(x+1 = 0 \\Rightarrow x = -1\\).\nPierwiastki: \\(\\{0, 3, -3, -1\\}\\).\nIloczyn: \\(0\\cdot 3\\cdot (-3)\\cdot (-1) = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Obserwacja\nJeśli jeden z pierwiastków to \\(0\\) (bo \\(2x\\) daje \\(x = 0\\)), iloczyn wszystkich pierwiastków musi być \\(0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - zapomniano o \\(x=0\\) i \\(x=-1\\).\n- **B. \\(3\\)** - iloczyn tylko części pierwiastków.\n- **D. \\(9\\)** - iloczyn \\(3\\cdot (-3) = -9\\) po błędzie znakowym.\n\n**Trik:** gdy \\(x = 0\\) jest pierwiastkiem, iloczyn wszystkich zawsze \\(= 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania i analiza rozwiązań\n\n1. **Rozwiązanie równania:**\nRównanie dane to: \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\)\nMożemy rozwinąć to równanie:\n\\(2x(x^3 + x^2 - 9x - 9) = 0\\)\n\\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)\n\\(x(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18) = 0\\)\n\nZatem jednym z rozwiązań jest \\(x = 0\\). Pozostałe rozwiązania pochodzą z rozwiązania równania wielomianowego: \\(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18 = 0\\). Możemy podzielić przez 2:\n\\(x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0\\)\n\\(x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0\\)\n\\((x + 1)(x^2 - 9) = 0\\)\n\\((x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\\)\n\nZatem rozwiązania to: \\(x = -1\\), \\(x = 3\\), \\(x = -3\\).\n\n2. **Iloczyn rozwiązań:**\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) to:\n\\(0 \\cdot (-1) \\cdot 3 \\cdot (-3) = 0\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn pierwiastków wielomianu\n\n1. **Wielomian:**\nRównanie \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) można zapisać jako wielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)\n\n2. **Wzór na iloczyn pierwiastków:**\nDla wielomianu \\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\\), iloczyn jego pierwiastków to \\(- \\frac{e}{a}\\).\n\nW naszym przypadku: \\(a = 2\\), \\(e = 0\\).\nZatem iloczyn pierwiastków to \\(-\\frac{0}{2} = 0\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-3):** Iloczyn rozwiązań to 0, a nie -3.\n* **B. 3:** Podobnie jak wyżej, iloczyn to 0.\n* **D. 9:** Iloczyn rozwiązań to 0, a nie 9.\n\nW obu sposobach rozwiązania, iloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) jest równy 0. Równanie ma pierwiastki 0, -1, 3, -3, a ich iloczyn to 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2𝑥(𝑥2 -9)(𝑥+ 1) = 0 jest równy
A. (-3)
B. 3
C. 0
D. 9
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x^2-9)(x+1)=0 jest równy A. -3 B. 3 C. 0 D. 9

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
3.6) korzysta z własności iloczynu przy
rozwiązywaniu równań […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie - wersja A
Rozwiązanie - wersja B
C
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i obliczenie iloczynu

\n

Rozwiązujemy równanie:
\\[2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\]

\n

Iloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

\n

Krok 1. Rozkładamy \\(x^2 - 9\\) jako różnicę kwadratów:
\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:
\\[2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\]

\n

Krok 2. Zerujemy każdy czynnik osobno:

\n

| Czynnik | Równanie | Pierwiastek |
| \\(2x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x_1 = 0\\) |
| \\(x - 3\\) | \\(x - 3 = 0\\) | \\(x_2 = 3\\) |
| \\(x + 3\\) | \\(x + 3 = 0\\) | \\(x_3 = -3\\) |
| \\(x + 1\\) | \\(x + 1 = 0\\) | \\(x_4 = -1\\) |

\n

Krok 3. Obliczamy iloczyn wszystkich pierwiastków:
\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = 0 \\cdot 3 \\cdot (-3) \\cdot (-1) = \\mathbf{0}\\]

\n

Ponieważ jeden z pierwiastków to \\(x_1 = 0\\), iloczyn jest natychmiast równy \\(0\\), niezależnie od pozostałych wartości.

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja)

\n

Równanie \\(2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\) możemy rozwinąć do postaci wielomianu stopnia 4.

\n

Zgodnie z uogólnieniem wzorów Viète'a, iloczyn wszystkich pierwiastków wielomianu
\\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \\ldots + a_1 x + a_0 = 0\\]
jest równy:
\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\ldots \\cdot x_n = \\frac{a_0}{a_n} \\cdot (-1)^n\\]

\n

Rozwijamy nasze równanie. Najpierw:
\\[2x \\cdot (x-3)(x+3) \\cdot (x+1) = 2x(x^2 - 9)(x+1)\\]
\\[= 2x(x^3 + x^2 - 9x - 9)\\]
\\[= 2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x\\]

\n

Wielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x + 0\\)

\n

Zatem \\(a_4 = 2\\), \\(a_0 = 0\\).

\n

Iloczyn pierwiastków:
\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = \\frac{a_0}{a_4} \\cdot (-1)^4 = \\frac{0}{2} \\cdot 1 = \\mathbf{0}\\]

\n

To potwierdza wynik ze Sposobu 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).

\n

W tym zadaniu nie używamy bezpośrednio wzorów na funkcję kwadratową - kluczowy jest rozkład na czynniki i własność iloczynu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(-3\\) | Uczeń zauważa pierwiastek \\(x = -3\\) i myśli, że to wynik - pomija pozostałe pierwiastki |
| B. \\(3\\) | Uczeń bierze tylko \\(x = 3\\) i \\(x = -3\\), liczy ich iloczyn: \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem gubi minus - albo bierze tylko \\(x = 3\\) |
| D. \\(9\\) | Uczeń liczy \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem bierze wartość bezwzględną, lub liczy \\(3 \\cdot 3 = 9\\) ignorując znaki |

\n

W każdym z tych błędów wspólny mianownik to pominięcie pierwiastka \\(x = 0\\), który zeruje cały iloczyn.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy wśród pierwiastków jest \\(x = 0\\), iloczyn wszystkich pierwiastków wynosi \\(0\\) - bez obliczania czegokolwiek dalej! To "skrót myślowy", który warto zapamiętać.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno skracać \\(x\\) z obu stron równania (np. dzielić przez \\(x\\)), bo wtedy tracimy pierwiastek \\(x = 0\\). Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.
\n
⚠️ Uwaga: Wyrażenie \\(x^2 - 9\\) to nie \\((x-9)(x+9)\\)! Pamiętaj: \\(9 = 3^2\\), więc \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Znajdujemy pierwiastki
\n

\\(2x = 0 \\Rightarrow x = 0\\); \\(x^2-9 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 3\\); \\(x+1 = 0 \\Rightarrow x = -1\\).
Pierwiastki: \\(\\{0, 3, -3, -1\\}\\).
Iloczyn: \\(0\\cdot 3\\cdot (-3)\\cdot (-1) = 0\\).

\n
Sposób 2 - Obserwacja
\n

Jeśli jeden z pierwiastków to \\(0\\) (bo \\(2x\\) daje \\(x = 0\\)), iloczyn wszystkich pierwiastków musi być \\(0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: gdy \\(x = 0\\) jest pierwiastkiem, iloczyn wszystkich zawsze \\(= 0\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Rozwiązanie równania i analiza rozwiązań
\n
  1. Rozwiązanie równania:
\n

Równanie dane to: \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\)
Możemy rozwinąć to równanie:
\\(2x(x^3 + x^2 - 9x - 9) = 0\\)
\\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)
\\(x(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18) = 0\\)

\n

Zatem jednym z rozwiązań jest \\(x = 0\\). Pozostałe rozwiązania pochodzą z rozwiązania równania wielomianowego: \\(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18 = 0\\). Możemy podzielić przez 2:
\\(x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0\\)
\\(x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0\\)
\\((x + 1)(x^2 - 9) = 0\\)
\\((x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\\)

\n

Zatem rozwiązania to: \\(x = -1\\), \\(x = 3\\), \\(x = -3\\).

\n
  1. Iloczyn rozwiązań:
\n

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) to:
\\(0 \\cdot (-1) \\cdot 3 \\cdot (-3) = 0\\)

\n

📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn pierwiastków wielomianu
\n
  1. Wielomian:
\n

Równanie \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) można zapisać jako wielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)

\n
  1. Wzór na iloczyn pierwiastków:
\n

Dla wielomianu \\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\\), iloczyn jego pierwiastków to \\(- \\frac{e}{a}\\).

\n

W naszym przypadku: \\(a = 2\\), \\(e = 0\\).
Zatem iloczyn pierwiastków to \\(-\\frac{0}{2} = 0\\).

\n

📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a, strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W obu sposobach rozwiązania, iloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) jest równy 0. Równanie ma pierwiastki 0, -1, 3, -3, a ich iloczyn to 0.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, jednym z rozwiązań równania jest $x=0$, co skutkuje iloczynem równym $0$.

"}]}