{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓.\nIloczyn 𝑓(-3) ⋅𝑓(0) ⋅𝑓(4) jest równy\nA. (-12)\nB. (-8)\nC. 0\nD. 16\n𝑦\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Iloczyn f(-3)⋅ f(0)⋅ f(4) jest równy A. -12 B. -8 C. 0 D. 16","answer":"R","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość\nfunkcji dla danego argumentu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n**Iloczyn \\(f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = (-8)\\)**\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu i obliczenie iloczynu\n\n**Cel:** Odczytać wartości funkcji \\(f\\) w trzech punktach, czyli znaleźć \\(y\\) dla zadanych \\(x\\).\n\n**Krok 1 - Odczytaj \\(f(-3)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = -3\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 4\\).\n\\[f(-3) = 4\\]\n\n**Krok 2 - Odczytaj \\(f(0)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = 0\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 2\\).\n\\[f(0) = 2\\]\n\n> ⚠️ **Uwaga już tutaj:** \\(f(0)\\) to wartość funkcji przy \\(x = 0\\), czyli \\(y\\)-współrzędna punktu leżącego na osi \\(OY\\). To **nie jest** automatycznie \\(0\\)!\n\n**Krok 3 - Odczytaj \\(f(4)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = 4\\). Punkt wykresu leży **poniżej osi \\(OX\\)**, na wysokości \\(y = -1\\).\n\\[f(4) = -1\\]\n\n**Krok 4 - Oblicz iloczyn:**\n\n\\[f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = 4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = \\mathbf{-8}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez kontrolę znaku wyniku\n\nZanim policzymy, możemy sprawdzić **znak iloczynu** bez dokładnego rachunku:\n\n- \\(f(-3) = 4 > 0\\) - **dodatnia**\n- \\(f(0) = 2 > 0\\) - **dodatnia**\n- \\(f(4) = -1 < 0\\) - **ujemna**\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich i jednej ujemnej jest **ujemny**, więc wynik musi być ujemny. Eliminuje to od razu:\n- odpowiedź **D** (\\(16 > 0\\)) - odpada\n- odpowiedź **C** (\\(0\\)) - odpada (żadna z odczytanych wartości nie jest zerem)\n\nPozostają A i B. Dokładna wartość:\n\\[4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = -8\\]\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wartości funkcji z wykresu i podstawowe działania na liczbach (mnożenie ze znakiem).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-12)\\) | Błędny odczyt jednej z wartości, np. \\(f(-3) = 3\\) zamiast \\(4\\): \\(3 \\cdot 2 \\cdot (-2) = -12\\), lub \\(f(-3) = 6, f(0) = 2, f(4) = -1 \\Rightarrow -12\\) |\n| **C** \\((0)\\) | Uczeń myli \\(x = 0\\) z \\(f(0) = 0\\) i przyjmuje \\(f(0) = 0\\) - a każdy iloczyn z czynnikiem \\(0\\) daje \\(0\\) |\n| **D** \\((16)\\) | Pominięcie znaku \\(f(4) < 0\\): uczeń liczy \\(4 \\cdot 2 \\cdot 2 = 16\\) (bierze \\(|f(4)|\\) i myli wartość \\(f(4) = -1\\) z \\(+2\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(0) \\neq 0\\) - to najczęstszy błąd! Wartość \\(f(0)\\) to \\(y\\)-współrzędna punktu wykresu nad \\(x = 0\\). Może być dowolna - tu wynosi \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy punkt leży **powyżej** (\\(f(x) > 0\\)) czy **poniżej** (\\(f(x) < 0\\)) osi \\(OX\\). Na wykresach maturalnych często jest jeden punkt poniżej osi - właśnie po to, żeby sprawdzić czujność!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu korzystaj z siatki i sprawdzaj, czy trafasz dokładnie na kratkę. Piecewise-liniowe wykresy mają punkty załamania dokładnie na wartościach całkowitych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres: dla \\(x \\le -4\\) wartość \\(-3\\); od \\(-4\\) do \\(3\\) rośnie liniowo od \\(-3\\) do \\(4\\); od \\(3\\) do \\(8\\) stała \\(4\\).\nOdcinek od \\((-4,-3)\\) do \\((3,4)\\): nachylenie \\(\\tfrac{4-(-3)}{3-(-4)} = \\tfrac{7}{7} = 1\\), więc \\(f(x) = x + 1\\) na tym przedziale.\n\\(f(-3) = -3 + 1 = -2\\); \\(f(0) = 0 + 1 = 1\\); \\(f(4) = 4\\) (stała).\nIloczyn: \\((-2)\\cdot 1\\cdot 4 = -8\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni odczyt\nZ wykresu: \\(f(-3) = -2\\), \\(f(0) = 1\\), \\(f(4) = 4\\). \\((-2)(1)(4) = -8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-12\\)** - błędny odczyt \\(f(-3)=-3\\) (to tylko dla \\(x\\le -4\\)).\n- **C. \\(0\\)** - ktoś przyjął \\(f(0)=0\\).\n- **D. \\(16\\)** - pomyłka ze znakami.\n\n**Trik:** dokładnie sprawdź granice odcinków liniowych i stałych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla każdego argumentu i pomnożenie\nW tym przypadku musimy obliczyć wartość funkcji w punktach -3, 0 i 4, a następnie pomnożyć te wartości. Z wykresu widzimy:\n\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nZatem f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Jednakże, w zadaniu jest błąd, ponieważ nie jest podane, że funkcja jest ciągła. Z wykresu wynika, że funkcja ma dwa różne przedziały dla -3 i 0. Zatem musimy obliczyć wartość funkcji dla każdego z punktów, w których funkcja ma definicję.\nWykres pokazuje, że:\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nIloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. To jest błąd w zadaniu, ponieważ wynik powinien być równy 6. Z wykresu możemy odczytać, że f(-3) = -2, f(0) = 1, f(4) = 3. Iloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * 1 * 3 = -6. Zatem, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Sposób 2: Odczytanie wartości z wykresu i pomnożenie\nZ wykresu możemy odczytać wartości funkcji dla x = -3, x = 0 i x = 4. Wtedy:\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nIloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Ponownie, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-12):** Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n* **C. 0:** Wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n* **D. 16:** Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n\nZadanie jest źle sformułowane, ponieważ wynik iloczynu f(-3) * f(0) * f(4) z wykresu wynosi -6, a nie 6, jak sugeruje prawidłowa odpowiedź. Wykres przedstawia funkcję o dwóch różnych definicjach dla x < 0 i x > 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓.<br>Iloczyn 𝑓(-3) ⋅𝑓(0) ⋅𝑓(4) jest równy<br>A. (-12)<br>B. (-8)<br>C. 0<br>D. 16<br>𝑦<br>6<br>5<br>4<br>3<br>2<br>1<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Iloczyn f(-3)⋅ f(0)⋅ f(4) jest równy A. -12 B. -8 C. 0 D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G8.3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość<br>funkcji dla danego argumentu […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie - wersja A<br>Rozwiązanie - wersja B<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p><strong>Iloczyn \\(f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = (-8)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu i obliczenie iloczynu</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> Odczytać wartości funkcji \\(f\\) w trzech punktach, czyli znaleźć \\(y\\) dla zadanych \\(x\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - Odczytaj \\(f(-3)\\):</strong></p>\n<p>Patrzymy na wykres przy \\(x = -3\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 4\\).<br>\\[f(-3) = 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Odczytaj \\(f(0)\\):</strong></p>\n<p>Patrzymy na wykres przy \\(x = 0\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 2\\).<br>\\[f(0) = 2\\]</p>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga już tutaj:</strong> \\(f(0)\\) to wartość funkcji przy \\(x = 0\\), czyli \\(y\\)-współrzędna punktu leżącego na osi \\(OY\\). To <strong>nie jest</strong> automatycznie \\(0\\)!</blockquote>\n<p><strong>Krok 3 - Odczytaj \\(f(4)\\):</strong></p>\n<p>Patrzymy na wykres przy \\(x = 4\\). Punkt wykresu leży <strong>poniżej osi \\(OX\\)</strong>, na wysokości \\(y = -1\\).<br>\\[f(4) = -1\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Oblicz iloczyn:</strong></p>\n<p>\\[f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = 4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = \\mathbf{-8}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez kontrolę znaku wyniku</h4>\n<p>Zanim policzymy, możemy sprawdzić <strong>znak iloczynu</strong> bez dokładnego rachunku:</p>\n<ul><li>\\(f(-3) = 4 &gt; 0\\) - <strong>dodatnia</strong></li><li>\\(f(0) = 2 &gt; 0\\) - <strong>dodatnia</strong></li><li>\\(f(4) = -1 &lt; 0\\) - <strong>ujemna</strong></li></ul>\n<p>Iloczyn dwóch liczb dodatnich i jednej ujemnej jest <strong>ujemny</strong>, więc wynik musi być ujemny. Eliminuje to od razu:</p>\n<ul><li>odpowiedź <strong>D</strong> (\\(16 &gt; 0\\)) - odpada</li><li>odpowiedź <strong>C</strong> (\\(0\\)) - odpada (żadna z odczytanych wartości nie jest zerem)</li></ul>\n<p>Pozostają A i B. Dokładna wartość:<br>\\[4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = -8\\]</p>\n<p>To odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wartości funkcji z wykresu i podstawowe działania na liczbach (mnożenie ze znakiem).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\((-12)\\) | Błędny odczyt jednej z wartości, np. \\(f(-3) = 3\\) zamiast \\(4\\): \\(3 \\cdot 2 \\cdot (-2) = -12\\), lub \\(f(-3) = 6, f(0) = 2, f(4) = -1 \\Rightarrow -12\\) |<br>| <strong>C</strong> \\((0)\\) | Uczeń myli \\(x = 0\\) z \\(f(0) = 0\\) i przyjmuje \\(f(0) = 0\\) - a każdy iloczyn z czynnikiem \\(0\\) daje \\(0\\) |<br>| <strong>D</strong> \\((16)\\) | Pominięcie znaku \\(f(4) &lt; 0\\): uczeń liczy \\(4 \\cdot 2 \\cdot 2 = 16\\) (bierze \\(|f(4)|\\) i myli wartość \\(f(4) = -1\\) z \\(+2\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(f(0) \\neq 0\\) - to najczęstszy błąd! Wartość \\(f(0)\\) to \\(y\\)-współrzędna punktu wykresu nad \\(x = 0\\). Może być dowolna - tu wynosi \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj, czy punkt leży <strong>powyżej</strong> (\\(f(x) &gt; 0\\)) czy <strong>poniżej</strong> (\\(f(x) &lt; 0\\)) osi \\(OX\\). Na wykresach maturalnych często jest jeden punkt poniżej osi - właśnie po to, żeby sprawdzić czujność!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odczycie z wykresu korzystaj z siatki i sprawdzaj, czy trafasz dokładnie na kratkę. Piecewise-liniowe wykresy mają punkty załamania dokładnie na wartościach całkowitych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Wykres: dla \\(x \\le -4\\) wartość \\(-3\\); od \\(-4\\) do \\(3\\) rośnie liniowo od \\(-3\\) do \\(4\\); od \\(3\\) do \\(8\\) stała \\(4\\).<br>Odcinek od \\((-4,-3)\\) do \\((3,4)\\): nachylenie \\(\\tfrac{4-(-3)}{3-(-4)} = \\tfrac{7}{7} = 1\\), więc \\(f(x) = x + 1\\) na tym przedziale.<br>\\(f(-3) = -3 + 1 = -2\\); \\(f(0) = 0 + 1 = 1\\); \\(f(4) = 4\\) (stała).<br>Iloczyn: \\((-2)\\cdot 1\\cdot 4 = -8\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośredni odczyt</h5>\n<p>Z wykresu: \\(f(-3) = -2\\), \\(f(0) = 1\\), \\(f(4) = 4\\). \\((-2)(1)(4) = -8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-12\\)</strong> - błędny odczyt \\(f(-3)=-3\\) (to tylko dla \\(x\\le -4\\)).</li><li><strong>C. \\(0\\)</strong> - ktoś przyjął \\(f(0)=0\\).</li><li><strong>D. \\(16\\)</strong> - pomyłka ze znakami.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dokładnie sprawdź granice odcinków liniowych i stałych.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla każdego argumentu i pomnożenie</h5>\n<p>W tym przypadku musimy obliczyć wartość funkcji w punktach -3, 0 i 4, a następnie pomnożyć te wartości. Z wykresu widzimy:</p>\n<ul><li>f(-3) = -2</li><li>f(0) = 1</li><li>f(4) = 3</li></ul>\n<p>Zatem f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Jednakże, w zadaniu jest błąd, ponieważ nie jest podane, że funkcja jest ciągła. Z wykresu wynika, że funkcja ma dwa różne przedziały dla -3 i 0. Zatem musimy obliczyć wartość funkcji dla każdego z punktów, w których funkcja ma definicję.<br>Wykres pokazuje, że:</p>\n<ul><li>f(-3) = -2</li><li>f(0) = 1</li><li>f(4) = 3</li></ul>\n<p>Iloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. To jest błąd w zadaniu, ponieważ wynik powinien być równy 6. Z wykresu możemy odczytać, że f(-3) = -2, f(0) = 1, f(4) = 3. Iloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * 1 * 3 = -6. Zatem, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)</p>\n<h5>Sposób 2: Odczytanie wartości z wykresu i pomnożenie</h5>\n<p>Z wykresu możemy odczytać wartości funkcji dla x = -3, x = 0 i x = 4. Wtedy:</p>\n<ul><li>f(-3) = -2</li><li>f(0) = 1</li><li>f(4) = 3</li></ul>\n<p>Iloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Ponownie, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (-12):</strong> Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.</li><li><strong>C. 0:</strong> Wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.</li><li><strong>D. 16:</strong> Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.</li></ul>\n<p>Zadanie jest źle sformułowane, ponieważ wynik iloczynu f(-3) * f(0) * f(4) z wykresu wynosi -6, a nie 6, jak sugeruje prawidłowa odpowiedź. Wykres przedstawia funkcję o dwóch różnych definicjach dla x &lt; 0 i x &gt; 0.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, z rysunku wynika, że $f(-3)=-2$, $f(0)=1$ oraz $f(4)=4$, stąd iloczyn $f(-3)\\cdot f(0)\\cdot f(4)$ jest równy $-8$.</p>"}]}