{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba log3 √27 -log27 √3 jest równa\nA. 4\n3\nB. 1\n2\nC. 11\n12\nD. 3\nLiczba log_3 √{27} - log_{27} √3 jest równa A. 4/3 B. 1/2 C. 11/12 D. 3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR1.2) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy (3)\n\nKluczowa obserwacja: zarówno \\(\\sqrt{27}\\), jak i \\(\\sqrt{3}\\) da się wyrazić jako **potęgi liczby 3**. Dzięki temu oba logarytmy uprościmy bezpośrednio z definicji.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)**\n\n\\[\\sqrt{27} = 27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nZ definicji logarytmu: \\(\\log_a a^r = r\\), więc:\n\n\\[\\log_3 \\sqrt{27} = \\log_3 3^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)**\n\n\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nPodstawa: \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\) (bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\)).\n\nZ własności \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):\n\n\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{27} 3^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_{27} 3 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz różnicę**\n\n\\[\\log_3 \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy\n\nOba logarytmy zamieniamy na logarytmy o podstawie \\(3\\), korzystając ze wzoru:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\n\n**\\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)** - podstawa już jest 3, więc jak w Sposobie 1:\n\n\\[\\log_3 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_3 27 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**\\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)** - zmieniamy podstawę na 3:\n\n\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{\\log_3 \\sqrt{3}}{\\log_3 27} = \\frac{\\log_3 3^{\\frac{1}{2}}}{\\log_3 3^3} = \\frac{\\frac{1}{2}}{3} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Różnica:**\n\n\\[\\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - użyta przy \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\), bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyta do wyciągnięcia \\(\\frac{1}{2}\\) przed oba logarytmy.\n\nZmiana podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyta w Sposobie 2 do przeliczenia \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\) na podstawę 3.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte do uproszczenia \\(\\sqrt{27} = 3^{\\frac{3}{2}}\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{1}{6}\\) - zapomniano, że podstawa to \\(27\\), nie \\(3\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{2} = 1\\) |\n| C | Obliczono \\(\\log_3\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\) poprawnie, ale \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\) - pomylono \\(\\log_{27}3\\) z \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{3} = \\frac{7}{6}\\) |\n| D | Zapomniano o pierwiastkach - policzono \\(\\log_3 27 - \\log_{27} 3 = 3 - \\frac{1}{3} = \\frac{8}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\) to **nie** to samo co \\(\\log_3\\sqrt{3}\\). Podstawa 27 jest kluczowa - najpierw wyraź 27 jako potęgę 3, żeby mieć pewność co do wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zmianie podstawy logarytmu wzorem \\(\\frac{\\log_3 c}{\\log_3 b}\\) - liczymy ODWROTNIE niż można się spodziewać: licznik to argument, mianownik to stara podstawa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{27} \\neq 3\\sqrt{3}\\) to co prawda prawda algebraicznie, ale w kontekście logarytmu wygodniej od razu pisać \\(27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\), aby korzystać wprost z definicji.\n\n### Sposób 1. (własność logarytmu potęgi)\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\log_{a^n} b^m = \\dfrac{m}{n}\\log_{a} b\\) (karta wzorów, dział VIII Logarytmy).\n\n\\(\\log_{3} \\sqrt{27} = \\log_{3} 27^{1/2} = \\dfrac{1}{2}\\log_{3} 27 = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3 = \\dfrac{3}{2}\\)\n\n\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{3^3} 3^{1/2} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)\n\nZatem \\(\\log_{3} \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{9-1}{6} = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2. (zamiana podstawy logarytmu)\n\nZ karty wzorów: \\(\\log_{c} b = \\dfrac{\\log_{a} b}{\\log_{a} c}\\).\n\nZamieniamy wszystko na \\(\\log_{3}\\):\n\n\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{\\log_{3} \\sqrt{3}}{\\log_{3} 27} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(\\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_{a^k} b^m = \\dfrac{m}{k}\\log_{a} b\\). Gdy podstawa i argument są potęgami tej samej liczby, wykładniki stają się współczynnikami, co dramatycznie upraszcza rachunki.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za poprawną odpowiedź A. 0 pkt za wybór innej lub brak odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie logarytmów i uproszczenie wyrażeń\n\n1. **Obliczenie log3 √27:**\nZauważmy, że √27 = √(3⁴) = 3² / √3. Zatem log₃ √27 = log₃ (3² / √3) = log₃ 3² - log₃ √3 = 2 - log₃ (3^(1/2)) = 2 - (1/2) = 3/2.\n\\[log_3 \\sqrt{27} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6\n\n2. **Obliczenie log27 √3:**\nZauważmy, że √3 = 3^(1/2). Zatem log27 √3 = log27 (3^(1/2)) = log27 (27^(1/3)) = 1/3.\n\\[log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6\n\n3. **Ostateczne obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\n\n### Sposób 2: Użycie własności logarytmów i uproszczenie wyrażeń\n\n1. **Uproszczenie wyrażeń:**\nlog₃ √27 = log₃ (27^(1/2)) = (1/2)log₃ 27 = (1/2) * 3 = 3/2\nlog27 √3 = log27 (3^(1/2)) = (1/2)log27 3 = (1/2) * 1 = 1/2\n\n2. **Obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/2 = 2/2 = 1. To jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n3. **Poprawne obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\nTo jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\nZatem log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B, C, D:** Wszystkie te odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego wyniku. Wszystkie obliczenia są nieprawidłowe. Zastosowanie logarytmów wymaga starannego rozpatrywania potęg i pierwiastków.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Liczba log3 √27 -log27 √3 jest równa<br>A. 4<br>3<br>B. 1<br>2<br>C. 11<br>12<br>D. 3<br>Liczba log_3 √{27} - log_{27} √3 jest równa A. 4/3 B. 1/2 C. 11/12 D. 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 20221<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R1.2) stosuje w obliczeniach wzór na<br>logarytm potęgi oraz wzór na zamianę<br>podstawy logarytmu.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{4}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy (3)</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: zarówno \\(\\sqrt{27}\\), jak i \\(\\sqrt{3}\\) da się wyrazić jako <strong>potęgi liczby 3</strong>. Dzięki temu oba logarytmy uprościmy bezpośrednio z definicji.</p>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)</strong></p>\n<p>\\[\\sqrt{27} = 27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]</p>\n<p>Z definicji logarytmu: \\(\\log_a a^r = r\\), więc:</p>\n<p>\\[\\log_3 \\sqrt{27} = \\log_3 3^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Oblicz \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)</strong></p>\n<p>\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p>Podstawa: \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\) (bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\)).</p>\n<p>Z własności \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):</p>\n<p>\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{27} 3^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_{27} 3 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz różnicę</strong></p>\n<p>\\[\\log_3 \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy</h4>\n<p>Oba logarytmy zamieniamy na logarytmy o podstawie \\(3\\), korzystając ze wzoru:<br>\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]</p>\n<p><strong>\\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)</strong> - podstawa już jest 3, więc jak w Sposobie 1:</p>\n<p>\\[\\log_3 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_3 27 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]</p>\n<p><strong>\\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)</strong> - zmieniamy podstawę na 3:</p>\n<p>\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{\\log_3 \\sqrt{3}}{\\log_3 27} = \\frac{\\log_3 3^{\\frac{1}{2}}}{\\log_3 3^3} = \\frac{\\frac{1}{2}}{3} = \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p><strong>Różnica:</strong></p>\n<p>\\[\\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong></p>\n<p>Definicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - użyta przy \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\), bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\).</p>\n<p>Własność potęgi logarytmu:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyta do wyciągnięcia \\(\\frac{1}{2}\\) przed oba logarytmy.</p>\n<p>Zmiana podstawy:<br>\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]<br>Użyta w Sposobie 2 do przeliczenia \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\) na podstawę 3.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>Użyte do uproszczenia \\(\\sqrt{27} = 3^{\\frac{3}{2}}\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Obliczono \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{1}{6}\\) - zapomniano, że podstawa to \\(27\\), nie \\(3\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{2} = 1\\) |<br>| C | Obliczono \\(\\log_3\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\) poprawnie, ale \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\) - pomylono \\(\\log_{27}3\\) z \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{3} = \\frac{7}{6}\\) |<br>| D | Zapomniano o pierwiastkach - policzono \\(\\log_3 27 - \\log_{27} 3 = 3 - \\frac{1}{3} = \\frac{8}{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\) to <strong>nie</strong> to samo co \\(\\log_3\\sqrt{3}\\). Podstawa 27 jest kluczowa - najpierw wyraź 27 jako potęgę 3, żeby mieć pewność co do wyniku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zmianie podstawy logarytmu wzorem \\(\\frac{\\log_3 c}{\\log_3 b}\\) - liczymy ODWROTNIE niż można się spodziewać: licznik to argument, mianownik to stara podstawa.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{27} \\neq 3\\sqrt{3}\\) to co prawda prawda algebraicznie, ale w kontekście logarytmu wygodniej od razu pisać \\(27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\), aby korzystać wprost z definicji.</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (własność logarytmu potęgi)</h5>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\log_{a^n} b^m = \\dfrac{m}{n}\\log_{a} b\\) (karta wzorów, dział VIII Logarytmy).</p>\n<p>\\(\\log_{3} \\sqrt{27} = \\log_{3} 27^{1/2} = \\dfrac{1}{2}\\log_{3} 27 = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3 = \\dfrac{3}{2}\\)</p>\n<p>\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{3^3} 3^{1/2} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)</p>\n<p>Zatem \\(\\log_{3} \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{9-1}{6} = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2. (zamiana podstawy logarytmu)</h5>\n<p>Z karty wzorów: \\(\\log_{c} b = \\dfrac{\\log_{a} b}{\\log_{a} c}\\).</p>\n<p>Zamieniamy wszystko na \\(\\log_{3}\\):</p>\n<p>\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{\\log_{3} \\sqrt{3}}{\\log_{3} 27} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)</p>\n<p>Dalej jak w sposobie 1: \\(\\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\log_{a^k} b^m = \\dfrac{m}{k}\\log_{a} b\\). Gdy podstawa i argument są potęgami tej samej liczby, wykładniki stają się współczynnikami, co dramatycznie upraszcza rachunki.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za poprawną odpowiedź A. 0 pkt za wybór innej lub brak odpowiedzi.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie logarytmów i uproszczenie wyrażeń</h5>\n<ol><li><strong>Obliczenie log3 √27:</strong></li></ol>\n<p>Zauważmy, że √27 = √(3⁴) = 3² / √3. Zatem log₃ √27 = log₃ (3² / √3) = log₃ 3² - log₃ √3 = 2 - log₃ (3^(1/2)) = 2 - (1/2) = 3/2.<br>\\[log_3 \\sqrt{27} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]<br>📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie log27 √3:</strong></li></ol>\n<p>Zauważmy, że √3 = 3^(1/2). Zatem log27 √3 = log27 (3^(1/2)) = log27 (27^(1/3)) = 1/3.<br>\\[log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\]<br>📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6</p>\n<ol><li><strong>Ostateczne obliczenie różnicy:</strong></li></ol>\n<p>log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie własności logarytmów i uproszczenie wyrażeń</h5>\n<ol><li><strong>Uproszczenie wyrażeń:</strong></li></ol>\n<p>log₃ √27 = log₃ (27^(1/2)) = (1/2)log₃ 27 = (1/2) * 3 = 3/2<br>log27 √3 = log27 (3^(1/2)) = (1/2)log27 3 = (1/2) * 1 = 1/2</p>\n<ol><li><strong>Obliczenie różnicy:</strong></li></ol>\n<p>log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/2 = 2/2 = 1. To jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.</p>\n<ol><li><strong>Poprawne obliczenie różnicy:</strong></li></ol>\n<p>log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.<br>To jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.</p>\n<p>Zatem log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D:</strong> Wszystkie te odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego wyniku. Wszystkie obliczenia są nieprawidłowe. Zastosowanie logarytmów wymaga starannego rozpatrywania potęg i pierwiastków.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważmy, że:<br>$\\log_3 \\sqrt{27} = \\log_3 3^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}$ oraz ${\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{27} 3^{\\frac{1}{2}} =\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{\\log_3 27} =\\frac{\\frac{1}{2}}{3} = \\frac{1}{6}}$, więc ${\\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}}$.</p>"}]}