{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i ma wszystkie\nwyrazy dodatnie. Ponadto 𝑎1 = 675 i 𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21.\nCiąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny.\nSuma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych\nkolejnych wyrazów ciągu (𝑏𝑛). Ponadto 𝑎3 = 𝑏4. Oblicz 𝑏1.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a_1=675 i a_22 = 5/4a_23 + 1/5a_21. Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a_3=b_4. Oblicz b_1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nP5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na\nsumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\nR5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania dla sposobów 1. i 2.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 2\n5\nALBO\nzapisze 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 ,\nALBO\nzapisze 𝑆25 = 𝑏1+𝑏25\n2\n⋅25 lub 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np. 𝑏1 + 3𝑟= 108,\n1125 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25\nALBO\nzapisze 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25 oraz 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy zapisze układ dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np.\n𝑏1 + 3𝑟= 108 oraz 1125 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy obliczy 𝑏1: 𝑏1 = 129.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający rozpatruje przypadek 𝑞= 0 i w ostatecznej odpowiedzi nie odrzuca\notrzymanej z tego przypadku wartości 𝑏1, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i otrzyma jedynie wartość ilorazu\n𝑞 spoza przedziału (-1, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i uzyska wartość ilorazu ze zbioru\n(-1,0) ∪(0,1), to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej:\n3 punkty - gdy popełni jedynie błąd rachunkowy (lub błąd nieuwagi),\n2 punkty - gdy popełni błąd rzeczowy.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie\n𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21 do postaci 𝑎21 ⋅𝑞= 5\n4 𝑎21 ⋅𝑞2 + 1\n5 𝑎21 . Dzieląc obie strony równania\nprzez 𝑎21 ≠0, otrzymujemy równanie 5\n4 𝑞2 -𝑞+ 1\n5 = 0, którego rozwiązaniem jest 𝑞= 2\n5 .\nPonieważ |𝑞| = | 2\n5 | < 1, zatem istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).\nObliczamy sumę 𝑆= 675\n1-2\n5\n= 1125 i 𝑎3 = 675 ⋅(2\n5)\n2\n= 108.\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,\nwięc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie\ndwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem\n1125 = 2𝑏1 + 24𝑟\n2\n⋅25\n45 = 𝑏1 + 12𝑟\nZ równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.\nZatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.\nSposób 2.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie\n𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21 do postaci 𝑎2 ⋅𝑞20 = 5\n4 𝑎3 ⋅𝑞20 + 1\n5 𝑎1 ⋅𝑞20. Dzieląc obie strony\nrównania przez 𝑞 (wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc 𝑞≠0), otrzymujemy\n𝑎2 = 5\n4 𝑎3 + 1\n5 𝑎1 . Stąd i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy dalej\n(5\n4 𝑎3 + 1\n5 𝑎1)\n2\n= 675 ⋅𝑎3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n25\n16 𝑎3\n2 -675\n2 𝑎3 + 18225 = 0\nRozwiązaniem równania jest 𝑎3 = 108. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i zapisujemy 108 = 675 ⋅𝑞2 , skąd 𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5 . Ponieważ\nwszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są dodatnie, więc 𝑞= 2\n5 .\nStwierdzamy, że |𝑞| < 1, więc istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛). Obliczamy\nsumę 𝑆= 675\n1-2\n5\n= 1125.\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,\nwięc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie\ndwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem\n1125 = 2𝑏1 + 24𝑟\n2\n⋅25\n45 = 𝑏1 + 12𝑟\nZ równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.\nZatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b_1 = 129\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z warunku, a potem układ równań\n\n### Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\)\n\nNiech \\(q > 0\\) - iloraz ciągu \\((a_n)\\). Ogólny wyraz: \\(a_n = 675 \\cdot q^{n-1}\\).\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\frac{5}{4}a_{23} + \\frac{1}{5}a_{21}\\):\n\n\\[675q^{21} = \\frac{5}{4} \\cdot 675q^{22} + \\frac{1}{5} \\cdot 675q^{20}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(675q^{20}\\) (niezerowe, bo \\(q > 0\\) i \\(a_1 = 675 > 0\\)):\n\n\\[q = \\frac{5}{4}q^2 + \\frac{1}{5}\\]\n\nMnożymy przez 20:\n\n\\[20q = 25q^2 + 4\\]\n\n\\[25q^2 - 20q + 4 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 400 - 4 \\cdot 25 \\cdot 4 = 400 - 400 = 0\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta = 0\\):\n\n\\[q = \\frac{20}{2 \\cdot 25} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]\n\n### Krok 2: Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \\((a_n)\\)\n\nPonieważ \\(|q| = \\frac{2}{5} < 1\\), suma nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje:\n\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q} = \\frac{675}{1 - \\frac{2}{5}} = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 675 \\cdot \\frac{5}{3} = 1125\\]\n\n### Krok 3: Oblicz \\(a_3\\) (potrzebne do warunku \\(a_3 = b_4\\))\n\n\\[a_3 = 675 \\cdot q^2 = 675 \\cdot \\frac{4}{25} = \\frac{2700}{25} = 108\\]\n\n### Krok 4: Zapisz układ równań dla ciągu arytmetycznego \\((b_n)\\)\n\nNiech \\(b_1\\) - pierwszy wyraz, \\(d\\) - różnica ciągu \\((b_n)\\).\n\n**Warunek 1:** \\(a_3 = b_4\\)\n\n\\[b_1 + 3d = 108\\]\n\n**Warunek 2:** \\(S_{25} = 1125\\)\n\n\\[S_{25} = \\frac{25(2b_1 + 24d)}{2} = 25b_1 + 300d = 1125\\]\n\nDzielimy przez 25:\n\n\\[b_1 + 12d = 45\\]\n\n### Krok 5: Rozwiąż układ\n\n\\[\\begin{cases} b_1 + 3d = 108 \\\\ b_1 + 12d = 45 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie pierwsze od drugiego:\n\n\\[9d = 45 - 108 = -63\\]\n\n\\[d = -7\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[b_1 = 108 - 3 \\cdot (-7) = 108 + 21 = \\mathbf{129}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wszystkich warunków)\n\nMamy: \\(a_1 = 675\\), \\(q = \\frac{2}{5}\\), \\(b_1 = 129\\), \\(d = -7\\).\n\n**Sprawdzenie warunku głównego:**\n\\[a_{22} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{21}, \\quad a_{23} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{22}, \\quad a_{21} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\]\n\nDzieląc przez \\(675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\):\n\n\\[\\frac{2}{5} \\stackrel{?}{=} \\frac{5}{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^2 + \\frac{1}{5} = \\frac{5}{4} \\cdot \\frac{4}{25} + \\frac{1}{5} = \\frac{1}{5} + \\frac{1}{5} = \\frac{2}{5} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(a_3 = b_4\\):**\n\\[a_3 = 108, \\quad b_4 = 129 + 3(-7) = 129 - 21 = 108 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie sumy:**\n\\[S_{25} = 25 \\cdot 129 + 300 \\cdot (-7) = 3225 - 2100 = 1125 \\checkmark\\]\n\n\\[S_\\infty = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 1125 \\checkmark\\]\n\nWszystkie warunki spełnione. **\\(b_1 = 129\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad |q| < 1\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia sumy wszystkich wyrazów \\((a_n)\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9)** - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyte w Kroku 1 i 3.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \\cdot n\\]\nUżyte w Kroku 4.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b}{2a} \\text{ (gdy } \\Delta = 0\\text{)}\\]\nUżyte w Kroku 1 do rozwiązania równania kwadratowego na \\(q\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"suma wszystkich wyrazów\" oznacza sumę **nieskończonego** ciągu geometrycznego - wzór \\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\) działa tylko gdy \\(|q| < 1\\). Warto sprawdzić ten warunek (tu \\(q = \\frac{2}{5} < 1\\) - OK).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu równań w układzie łatwo pomylić kolejność - pamiętaj, że odejmujesz **całe równanie**, by wyeliminować \\(b_1\\). Błąd znaku da tu \\(d = +7\\) zamiast \\(-7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\Delta = 0\\) w równaniu kwadratowym na \\(q\\) daje **dokładnie jeden pierwiastek** - nie zgub tego faktu i nie szukaj dwóch ilorazów. Jeden pierwiastek to sygnał, że zadanie jest dobrze skonstruowane.\n\n### Sposób 1. (własność ciągu geometrycznego)\n\n**Krok 1. Wyznaczenie ilorazu \\(q\\).**\n\nW ciągu geometrycznym: \\(a_{22} = a_{21}\\cdot q\\), \\(a_{23} = a_{21}\\cdot q^2\\). Z karty wzorów (dział V, ciągi).\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\dfrac{5}{4}a_{23} + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\):\n\n\\(a_{21}\\cdot q = \\dfrac{5}{4}a_{21}\\cdot q^2 + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\)\n\nDzieląc przez \\(a_{21} \\neq 0\\):\n\n\\(\\dfrac{5}{4}q^2 - q + \\dfrac{1}{5} = 0\\; /\\cdot 20\\)\n\n\\(25q^2 - 20q + 4 = 0\\)\n\n\\((5q-2)^2 = 0\\), stąd \\(q = \\dfrac{2}{5}\\).\n\n**Krok 2. Suma szeregu geometrycznego.**\n\nPonieważ \\(|q| = \\dfrac{2}{5} < 1\\), istnieje suma szeregu nieskończonego (karta wzorów):\n\n\\(S = \\dfrac{a_1}{1-q} = \\dfrac{675}{1 - 2/5} = \\dfrac{675}{3/5} = 1125\\)\n\n**Krok 3. Wyznaczenie \\(a_3\\).**\n\n\\(a_3 = a_1\\cdot q^2 = 675\\cdot\\dfrac{4}{25} = 108\\)\n\n**Krok 4. Układ równań dla ciągu \\((b_n)\\).**\n\nZ \\(a_3 = b_4\\): \\(b_4 = 108\\), czyli \\(b_1 + 3r = 108\\).\n\nZ karty wzorów, suma \\(S_{25}\\) ciągu arytmetycznego: \\(S_{25} = \\dfrac{2b_1 + 24r}{2}\\cdot 25\\).\n\nZ warunku \\(S_{25} = 1125\\): \\(\\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25 = 1125\\), stąd \\(2b_1+24r = 90\\), czyli \\(b_1 + 12r = 45\\).\n\nUkład:\n\\(\\begin{cases} b_1 + 3r = 108 \\\\ b_1 + 12r = 45 \\end{cases}\\)\n\nOdejmując: \\(9r = -63\\), stąd \\(r = -7\\).\n\n\\(b_1 = 108 - 3\\cdot(-7) = 108 + 21 = 129\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(b_1 = 129\\).\n\n### Sposób 2. (bez wyznaczenia \\(q\\) z wzoru ogólnego)\n\nZe wzoru ogólnego \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\):\n\n\\(a_{22} = a_1\\cdot q^{21}, a_{23} = a_1\\cdot q^{22}, a_{21} = a_1\\cdot q^{20}\\)\n\nDzieląc równanie przez \\(q\\) (wszystkie wyrazy dodatnie, \\(q \\neq 0\\)):\n\n\\(a_2 = \\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}a_1\\)\n\nZ własności ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\), więc \\(a_2 = \\sqrt{a_1\\cdot a_3} = \\sqrt{675\\cdot a_3}\\).\n\nPodstawiając \\(a_2^2 = 675\\cdot a_3\\):\n\n\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}\\cdot 675\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)\n\n\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + 135\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)\n\nRozwijając otrzymujemy \\(a_3 = 108\\), skąd \\(q^2 = \\dfrac{a_3}{a_1} = \\dfrac{108}{675} = \\dfrac{4}{25}\\), \\(q = \\dfrac{2}{5}\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n**Trik:** Gdy widzisz zależność między \\(a_{k}, a_{k+1}, a_{k-1}\\) w ciągu geometrycznym - podziel przez najmniejszą potęgę \\(q\\), równanie od razu zamienia się w kwadratowe dla \\(q\\). To oszczędza strasznie dużo rachunków.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: obliczenie \\(q = \\dfrac{2}{5}\\); LUB zapisanie \\(b_1+3r = b_4\\); LUB wzór na \\(S_{25}\\).\n- **2 pkt**: \\(b_1+3r = 108\\) i \\(1125 = \\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25\\).\n- **3 pkt**: zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \\(b_1, r\\).\n- **4 pkt**: \\(b_1 = 129\\).\n\n**UWAGA:** Mylenie własności ciągu arytmetycznego z geometrycznym = **0 punktów**!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i ma wszystkie<br>wyrazy dodatnie. Ponadto 𝑎1 = 675 i 𝑎22 = 5<br>4 𝑎23 + 1<br>5 𝑎21.<br>Ciąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny.<br>Suma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych<br>kolejnych wyrazów ciągu (𝑏𝑛). Ponadto 𝑎3 = 𝑏4. Oblicz 𝑏1.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>10.<br>Maks. liczba pkt<br>4<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a_1=675 i a_22 = 5/4a_23 + 1/5a_21. Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a_3=b_4. Oblicz b_1.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>P5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na<br>sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego;<br>R5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne<br>zbieżne i oblicza ich sumy.<br>Zasady oceniania dla sposobów 1. i 2.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy:<br>obliczy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 2<br>5<br>ALBO<br>zapisze 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 ,<br>ALBO<br>zapisze 𝑆25 = 𝑏1+𝑏25<br>2<br>⋅25 lub 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟<br>2<br>⋅25.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy:<br>zapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np. 𝑏1 + 3𝑟= 108,<br>1125 = 2𝑏1+24𝑟<br>2<br>⋅25<br>ALBO<br>zapisze 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟<br>2<br>⋅25 oraz 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 .<br>Zdający otrzymuje 3 pkt<br>gdy zapisze układ dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np.<br>𝑏1 + 3𝑟= 108 oraz 1125 = 2𝑏1+24𝑟<br>2<br>⋅25.<br>Zdający otrzymuje 4 pkt<br>gdy obliczy 𝑏1: 𝑏1 = 129.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu</li></ol>\n<p>geometrycznego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający rozpatruje przypadek 𝑞= 0 i w ostatecznej odpowiedzi nie odrzuca</li></ol>\n<p>otrzymanej z tego przypadku wartości 𝑏1, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i otrzyma jedynie wartość ilorazu</li></ol>\n<p>𝑞 spoza przedziału (-1, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i uzyska wartość ilorazu ze zbioru</li></ol>\n<p>(-1,0) ∪(0,1), to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej:<br>3 punkty - gdy popełni jedynie błąd rachunkowy (lub błąd nieuwagi),<br>2 punkty - gdy popełni błąd rzeczowy.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie<br>𝑎22 = 5<br>4 𝑎23 + 1<br>5 𝑎21 do postaci 𝑎21 ⋅𝑞= 5<br>4 𝑎21 ⋅𝑞2 + 1<br>5 𝑎21 . Dzieląc obie strony równania<br>przez 𝑎21 ≠0, otrzymujemy równanie 5<br>4 𝑞2 -𝑞+ 1<br>5 = 0, którego rozwiązaniem jest 𝑞= 2<br>5 .<br>Ponieważ |𝑞| = | 2<br>5 | &lt; 1, zatem istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).<br>Obliczamy sumę 𝑆= 675<br>1-2<br>5<br>= 1125 i 𝑎3 = 675 ⋅(2<br>5)<br>2<br>= 108.<br>Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,<br>więc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.<br>Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie<br>dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem<br>1125 = 2𝑏1 + 24𝑟<br>2<br>⋅25<br>45 = 𝑏1 + 12𝑟<br>Z równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.<br>Zatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.<br>Sposób 2.<br>Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie<br>𝑎22 = 5<br>4 𝑎23 + 1<br>5 𝑎21 do postaci 𝑎2 ⋅𝑞20 = 5<br>4 𝑎3 ⋅𝑞20 + 1<br>5 𝑎1 ⋅𝑞20. Dzieląc obie strony<br>równania przez 𝑞 (wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc 𝑞≠0), otrzymujemy<br>𝑎2 = 5<br>4 𝑎3 + 1<br>5 𝑎1 . Stąd i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy dalej<br>(5<br>4 𝑎3 + 1<br>5 𝑎1)<br>2<br>= 675 ⋅𝑎3<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>25<br>16 𝑎3<br>2 -675<br>2 𝑎3 + 18225 = 0<br>Rozwiązaniem równania jest 𝑎3 = 108. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu<br>geometrycznego i zapisujemy 108 = 675 ⋅𝑞2 , skąd 𝑞= 2<br>5 lub 𝑞= -2<br>5 . Ponieważ<br>wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są dodatnie, więc 𝑞= 2<br>5 .<br>Stwierdzamy, że |𝑞| &lt; 1, więc istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛). Obliczamy<br>sumę 𝑆= 675<br>1-2<br>5<br>= 1125.<br>Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,<br>więc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.<br>Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie<br>dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem<br>1125 = 2𝑏1 + 24𝑟<br>2<br>⋅25<br>45 = 𝑏1 + 12𝑟<br>Z równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.<br>Zatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(b_1 = 129\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z warunku, a potem układ równań</h4>\n<h5>Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\)</h5>\n<p>Niech \\(q &gt; 0\\) - iloraz ciągu \\((a_n)\\). Ogólny wyraz: \\(a_n = 675 \\cdot q^{n-1}\\).</p>\n<p>Podstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\frac{5}{4}a_{23} + \\frac{1}{5}a_{21}\\):</p>\n<p>\\[675q^{21} = \\frac{5}{4} \\cdot 675q^{22} + \\frac{1}{5} \\cdot 675q^{20}\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(675q^{20}\\) (niezerowe, bo \\(q &gt; 0\\) i \\(a_1 = 675 &gt; 0\\)):</p>\n<p>\\[q = \\frac{5}{4}q^2 + \\frac{1}{5}\\]</p>\n<p>Mnożymy przez 20:</p>\n<p>\\[20q = 25q^2 + 4\\]</p>\n<p>\\[25q^2 - 20q + 4 = 0\\]</p>\n<p>\\[\\Delta = 400 - 4 \\cdot 25 \\cdot 4 = 400 - 400 = 0\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\Delta = 0\\):</p>\n<p>\\[q = \\frac{20}{2 \\cdot 25} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]</p>\n<h5>Krok 2: Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \\((a_n)\\)</h5>\n<p>Ponieważ \\(|q| = \\frac{2}{5} &lt; 1\\), suma nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje:</p>\n<p>\\[S = \\frac{a_1}{1-q} = \\frac{675}{1 - \\frac{2}{5}} = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 675 \\cdot \\frac{5}{3} = 1125\\]</p>\n<h5>Krok 3: Oblicz \\(a_3\\) (potrzebne do warunku \\(a_3 = b_4\\))</h5>\n<p>\\[a_3 = 675 \\cdot q^2 = 675 \\cdot \\frac{4}{25} = \\frac{2700}{25} = 108\\]</p>\n<h5>Krok 4: Zapisz układ równań dla ciągu arytmetycznego \\((b_n)\\)</h5>\n<p>Niech \\(b_1\\) - pierwszy wyraz, \\(d\\) - różnica ciągu \\((b_n)\\).</p>\n<p><strong>Warunek 1:</strong> \\(a_3 = b_4\\)</p>\n<p>\\[b_1 + 3d = 108\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2:</strong> \\(S_{25} = 1125\\)</p>\n<p>\\[S_{25} = \\frac{25(2b_1 + 24d)}{2} = 25b_1 + 300d = 1125\\]</p>\n<p>Dzielimy przez 25:</p>\n<p>\\[b_1 + 12d = 45\\]</p>\n<h5>Krok 5: Rozwiąż układ</h5>\n<p>\\[\\begin{cases} b_1 + 3d = 108 \\\\ b_1 + 12d = 45 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego:</p>\n<p>\\[9d = 45 - 108 = -63\\]</p>\n<p>\\[d = -7\\]</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszego równania:</p>\n<p>\\[b_1 = 108 - 3 \\cdot (-7) = 108 + 21 = \\mathbf{129}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wszystkich warunków)</h4>\n<p>Mamy: \\(a_1 = 675\\), \\(q = \\frac{2}{5}\\), \\(b_1 = 129\\), \\(d = -7\\).</p>\n<p><strong>Sprawdzenie warunku głównego:</strong><br>\\[a_{22} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{21}, \\quad a_{23} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{22}, \\quad a_{21} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\]</p>\n<p>Dzieląc przez \\(675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\):</p>\n<p>\\[\\frac{2}{5} \\stackrel{?}{=} \\frac{5}{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^2 + \\frac{1}{5} = \\frac{5}{4} \\cdot \\frac{4}{25} + \\frac{1}{5} = \\frac{1}{5} + \\frac{1}{5} = \\frac{2}{5} \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(a_3 = b_4\\):</strong><br>\\[a_3 = 108, \\quad b_4 = 129 + 3(-7) = 129 - 21 = 108 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie sumy:</strong><br>\\[S_{25} = 25 \\cdot 129 + 300 \\cdot (-7) = 3225 - 2100 = 1125 \\checkmark\\]</p>\n<p>\\[S_\\infty = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 1125 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wszystkie warunki spełnione. <strong>\\(b_1 = 129\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - suma nieskończonego ciągu geometrycznego:<br>\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad |q| &lt; 1\\]<br>Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia sumy wszystkich wyrazów \\((a_n)\\).</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9)</strong> - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyte w Kroku 1 i 3.</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - suma \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \\cdot n\\]<br>Użyte w Kroku 4.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)</strong> - wyróżnik:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b}{2a} \\text{ (gdy } \\Delta = 0\\text{)}\\]<br>Użyte w Kroku 1 do rozwiązania równania kwadratowego na \\(q\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek &quot;suma wszystkich wyrazów&quot; oznacza sumę <strong>nieskończonego</strong> ciągu geometrycznego - wzór \\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\) działa tylko gdy \\(|q| &lt; 1\\). Warto sprawdzić ten warunek (tu \\(q = \\frac{2}{5} &lt; 1\\) - OK).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odejmowaniu równań w układzie łatwo pomylić kolejność - pamiętaj, że odejmujesz <strong>całe równanie</strong>, by wyeliminować \\(b_1\\). Błąd znaku da tu \\(d = +7\\) zamiast \\(-7\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\Delta = 0\\) w równaniu kwadratowym na \\(q\\) daje <strong>dokładnie jeden pierwiastek</strong> - nie zgub tego faktu i nie szukaj dwóch ilorazów. Jeden pierwiastek to sygnał, że zadanie jest dobrze skonstruowane.</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (własność ciągu geometrycznego)</h5>\n<p><strong>Krok 1. Wyznaczenie ilorazu \\(q\\).</strong></p>\n<p>W ciągu geometrycznym: \\(a_{22} = a_{21}\\cdot q\\), \\(a_{23} = a_{21}\\cdot q^2\\). Z karty wzorów (dział V, ciągi).</p>\n<p>Podstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\dfrac{5}{4}a_{23} + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\):</p>\n<p>\\(a_{21}\\cdot q = \\dfrac{5}{4}a_{21}\\cdot q^2 + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\)</p>\n<p>Dzieląc przez \\(a_{21} \\neq 0\\):</p>\n<p>\\(\\dfrac{5}{4}q^2 - q + \\dfrac{1}{5} = 0\\; /\\cdot 20\\)</p>\n<p>\\(25q^2 - 20q + 4 = 0\\)</p>\n<p>\\((5q-2)^2 = 0\\), stąd \\(q = \\dfrac{2}{5}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Suma szeregu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(|q| = \\dfrac{2}{5} &lt; 1\\), istnieje suma szeregu nieskończonego (karta wzorów):</p>\n<p>\\(S = \\dfrac{a_1}{1-q} = \\dfrac{675}{1 - 2/5} = \\dfrac{675}{3/5} = 1125\\)</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznaczenie \\(a_3\\).</strong></p>\n<p>\\(a_3 = a_1\\cdot q^2 = 675\\cdot\\dfrac{4}{25} = 108\\)</p>\n<p><strong>Krok 4. Układ równań dla ciągu \\((b_n)\\).</strong></p>\n<p>Z \\(a_3 = b_4\\): \\(b_4 = 108\\), czyli \\(b_1 + 3r = 108\\).</p>\n<p>Z karty wzorów, suma \\(S_{25}\\) ciągu arytmetycznego: \\(S_{25} = \\dfrac{2b_1 + 24r}{2}\\cdot 25\\).</p>\n<p>Z warunku \\(S_{25} = 1125\\): \\(\\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25 = 1125\\), stąd \\(2b_1+24r = 90\\), czyli \\(b_1 + 12r = 45\\).</p>\n<p>Układ:<br>\\(\\begin{cases} b_1 + 3r = 108 \\\\ b_1 + 12r = 45 \\end{cases}\\)</p>\n<p>Odejmując: \\(9r = -63\\), stąd \\(r = -7\\).</p>\n<p>\\(b_1 = 108 - 3\\cdot(-7) = 108 + 21 = 129\\).</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(b_1 = 129\\).</p>\n<h5>Sposób 2. (bez wyznaczenia \\(q\\) z wzoru ogólnego)</h5>\n<p>Ze wzoru ogólnego \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\):</p>\n<p>\\(a_{22} = a_1\\cdot q^{21}, a_{23} = a_1\\cdot q^{22}, a_{21} = a_1\\cdot q^{20}\\)</p>\n<p>Dzieląc równanie przez \\(q\\) (wszystkie wyrazy dodatnie, \\(q \\neq 0\\)):</p>\n<p>\\(a_2 = \\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}a_1\\)</p>\n<p>Z własności ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\), więc \\(a_2 = \\sqrt{a_1\\cdot a_3} = \\sqrt{675\\cdot a_3}\\).</p>\n<p>Podstawiając \\(a_2^2 = 675\\cdot a_3\\):</p>\n<p>\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}\\cdot 675\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)</p>\n<p>\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + 135\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)</p>\n<p>Rozwijając otrzymujemy \\(a_3 = 108\\), skąd \\(q^2 = \\dfrac{a_3}{a_1} = \\dfrac{108}{675} = \\dfrac{4}{25}\\), \\(q = \\dfrac{2}{5}\\). Dalej jak w sposobie 1.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Gdy widzisz zależność między \\(a_{k}, a_{k+1}, a_{k-1}\\) w ciągu geometrycznym - podziel przez najmniejszą potęgę \\(q\\), równanie od razu zamienia się w kwadratowe dla \\(q\\). To oszczędza strasznie dużo rachunków.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-4)</p>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong>: obliczenie \\(q = \\dfrac{2}{5}\\); LUB zapisanie \\(b_1+3r = b_4\\); LUB wzór na \\(S_{25}\\).</li><li><strong>2 pkt</strong>: \\(b_1+3r = 108\\) i \\(1125 = \\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25\\).</li><li><strong>3 pkt</strong>: zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \\(b_1, r\\).</li><li><strong>4 pkt</strong>: \\(b_1 = 129\\).</li></ul>\n<p><strong>UWAGA:</strong> Mylenie własności ciągu arytmetycznego z geometrycznym = <strong>0 punktów</strong>!</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$b_1 = 129$</p>"}]}