{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzekształci równoważnie równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0, stosując wzór na\nsumę sinusów lub sinus sumy, lub sinus różnicy, lub sinus podwojonego kąta, lub\nsinus potrojonego kąta, np.:\n2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0\nlub\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0,\nlub\nsin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,\nlub\nsin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ 3 sin 𝑥-4 sin3 𝑥= 0,\nALBO\npoda dwie spośród liczb: 0, 𝜋\n2 , 𝜋, i zapisze, że podane liczby spełniają równanie.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych, np.:\nsin 2𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0,\nsin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1, 5𝑥) = 0,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0,\nsin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nprzekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych i rozwiąże każde z tych równań w zbiorze liczb rzeczywistych\nALBO\nprzekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych i rozwiąże jedno z tych równań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\ni otrzyma poprawny zbiór rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩: {0, 𝜋\n2 , 2𝜋\n3 , 𝜋 }.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na:\nniepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy\nlub sumę/różnicę sinusów, lub sinus podwojonego/potrojonego kąta\nALBO\nbłędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca oraz otrzyma co najmniej trzy rozwiązania\nz przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile\nnie nabył praw do innej punktacji.\n2. Jeśli zdający zastępuje cos 𝑥 przez √1 -sin2 𝑥 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, otrzymując co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające\nniewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże zadanie\ndo końca i otrzyma co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (suma sinusów)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 3𝑥+ sin 2𝑥= 0\n2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0\nsin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 2𝑥= 0 lub cos 𝑥= -1\n2\nStąd 2𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 𝑘⋅𝜋\n2 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nInne przykładowe realizacje.\n1)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0\n2 sin(1,5𝑥) (cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥)) = 0\n2 sin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥) = 0\n2 sin(1,5𝑥) = 0 lub 2 cos(0,5𝑥) cos(-𝑥) = 0\nStąd 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 0,5𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 2𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\n2)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0\n2 sin(0,5𝑥) cos(0,5𝑥) + 2 sin(2,5𝑥) cos(0,5𝑥) = 0\n2 cos(0,5𝑥) (sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥)) = 0\n2 cos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0\n2 cos(0,5𝑥) = 0 lub 2 sin(1,5𝑥) cos(-𝑥) = 0\nStąd 0,5𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nSposób 2. (sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ cos 2𝑥+ 2 cos2 𝑥) = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ 2 cos2 𝑥-1 + 2 cos2 𝑥) = 0\nsin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0\nsin 𝑥= 0 lub cos 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0\nStąd 𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą\ncałkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nSposób 3. (sinus różnicy)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin(2𝑥-𝑥) + sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0\nsin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0\n2 sin 2𝑥cos 𝑥+ sin 2𝑥= 0\nsin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0\nI dalej jak w sposobie 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left\\{0,\\ \\frac{\\pi}{2},\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi\\right\\}\\]\n\n## Sposób 1 - grupowanie i wzór sum-to-product\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** \\(\\sin x\\) i \\(\\sin 3x\\) mają \"symetrię\" względem \\(\\sin 2x\\) - grupujemy je razem.\n\n**Krok 1.** Stosujemy wzór sumy sinusów:\n\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]\n\ndo pary \\(\\sin x + \\sin 3x\\):\n\\[\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin\\frac{x+3x}{2}\\cos\\frac{3x-x}{2} = 2\\sin 2x \\cos x\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy do równania:\n\\[2\\sin 2x \\cos x + \\sin 2x = 0\\]\n\n**Krok 3.** Wyłączamy \\(\\sin 2x\\) przed nawias:\n\\[\\sin 2x\\,(2\\cos x + 1) = 0\\]\n\n**Krok 4.** Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:\n\n**Przypadek A:** \\(\\sin 2x = 0\\)\n\\[2x = k\\pi \\implies x = \\frac{k\\pi}{2}\\]\nNa \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = 0,\\quad x = \\dfrac{\\pi}{2},\\quad x = \\pi\\)\n\n**Przypadek B:** \\(2\\cos x + 1 = 0\\)\n\\[\\cos x = -\\frac{1}{2}\\]\nNa \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\)\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\{0,\\;\\frac{\\pi}{2},\\;\\frac{2\\pi}{3},\\;\\pi\\right\\}}\\]\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie i faktoryzacja\n\nZamiast grupować, rozwijamy wszystko przez \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\sin 3x = 3\\sin x - 4\\sin^3 x\\):\n\n\\[\\sin x + 2\\sin x\\cos x + 3\\sin x - 4\\sin^3 x = 0\\]\n\\[4\\sin x + 2\\sin x\\cos x - 4\\sin^3 x = 0\\]\n\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2\\sin^2 x\\bigr) = 0\\]\n\nZamieniamy \\(\\sin^2 x = 1 - \\cos^2 x\\):\n\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2(1 - \\cos^2 x)\\bigr) = 0\\]\n\\[2\\sin x\\bigl(\\cos x + 2\\cos^2 x\\bigr) = 0\\]\n\\[2\\sin x \\cdot \\cos x\\,(1 + 2\\cos x) = 0\\]\n\nMamy trzy czynniki:\n\n| Czynnik | Warunek | Rozwiązania na \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) |\n| \\(\\sin x = 0\\) | - | \\(x = 0,\\; x = \\pi\\) |\n| \\(\\cos x = 0\\) | - | \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\) |\n| \\(1 + 2\\cos x = 0\\) | \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\) | \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) |\n\nTen sam wynik - oba sposoby się zgadzają.\n\n## Weryfikacja (sprawdzenie każdego rozwiązania)\n\n- \\(x = 0\\): \\(\\sin 0 + \\sin 0 + \\sin 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\): \\(1 + 0 + (-1) = 0\\) ✓\n- \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\): \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} + \\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right) + 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = \\pi\\): \\(0 + 0 + 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - funkcje sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nZ tego wzoru (dodając \\(\\sin(\\alpha+\\beta) + \\sin(\\alpha-\\beta)\\)) wyprowadzamy:\n\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do zgrupowania \\(\\sin x + \\sin 3x\\).\n\n**Dział 9 (s. 13)** - jedynka trygonometryczna i wzory podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x, \\qquad \\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]\nUżyte w Sposobie 2 przy zamianie \\(\\sin^2 x\\) na wyrażenie z \\(\\cos x\\).\n\n**Dział 9 (s. 11)** - wartości kątów wybranych:\n\\[\\cos 120° = \\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyte przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\) nie jest wprost na karcie CKE, ale **można go wyprowadzić** z wzorów na \\(\\sin(\\alpha \\pm \\beta)\\). Na egzaminie warto to zrobić lub po prostu rozwinąć wszystko przez wzory na \\(\\sin 2x\\) i \\(\\sin 3x\\) (Sposób 2 - bezpieczniejszy!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o \\(x = 0\\) i \\(x = \\pi\\) - obu końcach przedziału! Przedział jest **domknięty** \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\), więc końce należą do dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\frac{1}{2}\\) w przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) jest **dokładnie jedno** rozwiązanie: \\(x = \\frac{2\\pi}{3}\\). Drugie rozwiązanie (\\(x = \\frac{4\\pi}{3}\\)) leży poza przedziałem - nie dopisuj go!\n\n### Sposób 1. (suma sinusów)\n\nGrupujemy \\(\\sin x + \\sin 3x\\) i stosujemy wzór z karty wzorów (dział IX):\n\n\\(\\sin\\alpha + \\sin\\beta = 2\\sin\\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}\\cos\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2}\\)\n\n\\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x \\cos(-x) = 2\\sin 2x\\cos x\\)\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\(2\\sin 2x\\cos x + \\sin 2x = 0\\)\n\n\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\n**Przypadek A:** \\(\\sin 2x = 0\\), czyli \\(2x = k\\pi\\), \\(x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\), \\(k\\in\\mathbb{Z}\\).\n\nW \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**Przypadek B:** \\(2\\cos x + 1 = 0\\), czyli \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi\\) lub \\(x = \\dfrac{4\\pi}{3} + 2k\\pi\\).\n\nW \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2. (sinus sumy)\n\nPiszemy \\(\\sin 3x = \\sin(x+2x) = \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x\\).\n\n\\(\\sin x + \\sin 2x + \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x = 0\\)\n\nPodstawmy \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\cos 2x = 2\\cos^2 x - 1\\):\n\n\\(\\sin x + 2\\sin x\\cos x + \\sin x(2\\cos^2 x - 1) + \\cos x\\cdot 2\\sin x\\cos x = 0\\)\n\n\\(\\sin x(1 + 2\\cos x + 2\\cos^2 x - 1 + 2\\cos^2 x) = 0\\)\n\n\\(\\sin x(4\\cos^2 x + 2\\cos x) = 0\\)\n\n\\(2\\sin x\\cos x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\n\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\nDalej jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3. (inne grupowanie)\n\nGrupujemy \\(\\sin x + \\sin 2x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2}\\). Dodajemy \\(\\sin 3x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2}\\):\n\n\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2} + 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2} = 0\\)\n\n\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\left(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2}\\right) = 0\\)\n\nZe wzoru na sumę cosinusów: \\(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2} = 2\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2}\\):\n\n\\(4\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2} = 0\\)\n\nPrzypadki:\n- \\(\\sin\\dfrac{3x}{2} = 0\\): \\(\\dfrac{3x}{2} = k\\pi\\), \\(x = \\dfrac{2k\\pi}{3}\\). W \\(\\langle 0,\\pi\\rangle\\): \\(x \\in \\{0, \\dfrac{2\\pi}{3}\\}\\).\n- \\(\\cos x = 0\\): \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\).\n- \\(\\cos\\dfrac{x}{2} = 0\\): \\(\\dfrac{x}{2} = \\dfrac{\\pi}{2}\\), \\(x = \\pi\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**Trik:** W \\(\\sin A + \\sin B\\), gdzie \\(A+B\\) lub \\(B-A\\) to dwukrotność środkowego wyrazu - zawsze grupuj brzegowe! Tu \\(x + 3x = 2\\cdot 2x\\), więc \\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x\\cos x\\) daje natychmiast \\(\\sin 2x\\) jako wspólny czynnik.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: przekształcenie równoważne z użyciem wzoru na sumę sinusów / sinus sumy / sinus podwojonego kąta; LUB podanie dwóch rozwiązań z \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right\\}\\).\n- **2 pkt**: przekształcenie do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np. \\(\\sin 2x = 0\\) lub \\(2\\cos x + 1 = 0\\).\n- **3 pkt**: rozwiązanie każdej alternatywy w \\(\\mathbb{R}\\) lub rozwiązanie jednej w \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\).\n- **4 pkt**: poprawny zbiór rozwiązań w \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**UWAGA:** Zastąpienie \\(\\cos x\\) przez \\(\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\) i konsekwentne rozwiązywanie = co najwyżej **2 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Rozwiąż równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
11.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Rozwiąż równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 w przedziale <0,π>.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R6.5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy
i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów
i cosinusów kątów;
R6.6) rozwiązuje równania
trygonometryczne […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
przekształci równoważnie równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0, stosując wzór na
sumę sinusów lub sinus sumy, lub sinus różnicy, lub sinus podwojonego kąta, lub
sinus potrojonego kąta, np.:
2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0
lub
2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0,
lub
sin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0,
lub
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,
lub
sin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,
lub
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0,
lub
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ 3 sin 𝑥-4 sin3 𝑥= 0,
ALBO
poda dwie spośród liczb: 0, 𝜋
2 , 𝜋, i zapisze, że podane liczby spełniają równanie.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań
trygonometrycznych, np.:
sin 2𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0,
sin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1, 5𝑥) = 0,
Zasady oceniania rozwiązań zadań
cos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0,
sin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0.
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy:
przekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań
trygonometrycznych i rozwiąże każde z tych równań w zbiorze liczb rzeczywistych
ALBO
przekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań
trygonometrycznych i rozwiąże jedno z tych równań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0
i otrzyma poprawny zbiór rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩: {0, 𝜋
2 , 2𝜋
3 , 𝜋 }.
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na:
\n

niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy
lub sumę/różnicę sinusów, lub sinus podwojonego/potrojonego kąta
ALBO
błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej
i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca oraz otrzyma co najmniej trzy rozwiązania
z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile
nie nabył praw do innej punktacji.

\n
  1. Jeśli zdający zastępuje cos 𝑥 przez √1 -sin2 𝑥 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do
\n

końca, otrzymując co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co
najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające
\n

niewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże zadanie
do końca i otrzyma co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (suma sinusów)
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
sin 𝑥+ sin 3𝑥+ sin 2𝑥= 0
2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0
sin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0
sin 2𝑥= 0 lub cos 𝑥= -1
2
Stąd 2𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋
3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Zatem 𝑥= 𝑘⋅𝜋
2 lub 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋
3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Rozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋
2 ,
2𝜋
3 , 𝜋.
Inne przykładowe realizacje.
1)
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0
2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0
2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0
2 sin(1,5𝑥) (cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥)) = 0
2 sin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥) = 0
2 sin(1,5𝑥) = 0 lub 2 cos(0,5𝑥) cos(-𝑥) = 0
Stąd 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 0,5𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Zatem 𝑥= 2𝜋
3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Rozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋
2 ,
2𝜋
3 , 𝜋.
2)
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0
sin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0
2 sin(0,5𝑥) cos(0,5𝑥) + 2 sin(2,5𝑥) cos(0,5𝑥) = 0
2 cos(0,5𝑥) (sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥)) = 0
2 cos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0
2 cos(0,5𝑥) = 0 lub 2 sin(1,5𝑥) cos(-𝑥) = 0
Stąd 0,5𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 lub 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Zatem 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋
3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋
2 ,
2𝜋
3 , 𝜋.
Sposób 2. (sinus sumy)
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0
sin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ cos 2𝑥+ 2 cos2 𝑥) = 0
sin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ 2 cos2 𝑥-1 + 2 cos2 𝑥) = 0
sin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0
sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0
Stąd 𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋
2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋
3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋
3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą
całkowitą.
Rozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋
2 ,
2𝜋
3 , 𝜋.
Sposób 3. (sinus różnicy)
Przekształcamy równanie w sposób równoważny:
sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0
sin(2𝑥-𝑥) + sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0
sin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0
2 sin 2𝑥cos 𝑥+ sin 2𝑥= 0
sin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0
I dalej jak w sposobie 1.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x \\in \\left\\{0,\\ \\frac{\\pi}{2},\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi\\right\\}\\]

\n

Sposób 1 - grupowanie i wzór sum-to-product

\n

Kluczowe spostrzeżenie: \\(\\sin x\\) i \\(\\sin 3x\\) mają "symetrię" względem \\(\\sin 2x\\) - grupujemy je razem.

\n

Krok 1. Stosujemy wzór sumy sinusów:
\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]

\n

do pary \\(\\sin x + \\sin 3x\\):
\\[\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin\\frac{x+3x}{2}\\cos\\frac{3x-x}{2} = 2\\sin 2x \\cos x\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy do równania:
\\[2\\sin 2x \\cos x + \\sin 2x = 0\\]

\n

Krok 3. Wyłączamy \\(\\sin 2x\\) przed nawias:
\\[\\sin 2x\\,(2\\cos x + 1) = 0\\]

\n

Krok 4. Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:

\n

Przypadek A: \\(\\sin 2x = 0\\)
\\[2x = k\\pi \\implies x = \\frac{k\\pi}{2}\\]
Na \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = 0,\\quad x = \\dfrac{\\pi}{2},\\quad x = \\pi\\)

\n

Przypadek B: \\(2\\cos x + 1 = 0\\)
\\[\\cos x = -\\frac{1}{2}\\]
Na \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\)

\n

Odpowiedź:
\\[\\boxed{x \\in \\left\\{0,\\;\\frac{\\pi}{2},\\;\\frac{2\\pi}{3},\\;\\pi\\right\\}}\\]

\n

Sposób 2 - rozwinięcie i faktoryzacja

\n

Zamiast grupować, rozwijamy wszystko przez \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\sin 3x = 3\\sin x - 4\\sin^3 x\\):

\n

\\[\\sin x + 2\\sin x\\cos x + 3\\sin x - 4\\sin^3 x = 0\\]
\\[4\\sin x + 2\\sin x\\cos x - 4\\sin^3 x = 0\\]
\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2\\sin^2 x\\bigr) = 0\\]

\n

Zamieniamy \\(\\sin^2 x = 1 - \\cos^2 x\\):
\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2(1 - \\cos^2 x)\\bigr) = 0\\]
\\[2\\sin x\\bigl(\\cos x + 2\\cos^2 x\\bigr) = 0\\]
\\[2\\sin x \\cdot \\cos x\\,(1 + 2\\cos x) = 0\\]

\n

Mamy trzy czynniki:

\n

| Czynnik | Warunek | Rozwiązania na \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) |
| \\(\\sin x = 0\\) | - | \\(x = 0,\\; x = \\pi\\) |
| \\(\\cos x = 0\\) | - | \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\) |
| \\(1 + 2\\cos x = 0\\) | \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\) | \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) |

\n

Ten sam wynik - oba sposoby się zgadzają.

\n

Weryfikacja (sprawdzenie każdego rozwiązania)

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - funkcje sumy kątów:
\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]
Z tego wzoru (dodając \\(\\sin(\\alpha+\\beta) + \\sin(\\alpha-\\beta)\\)) wyprowadzamy:
\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]
Użyte w Sposobie 1 do zgrupowania \\(\\sin x + \\sin 3x\\).

\n

Dział 9 (s. 13) - jedynka trygonometryczna i wzory podwojonego kąta:
\\[\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x, \\qquad \\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]
Użyte w Sposobie 2 przy zamianie \\(\\sin^2 x\\) na wyrażenie z \\(\\cos x\\).

\n

Dział 9 (s. 11) - wartości kątów wybranych:
\\[\\cos 120° = \\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}\\]
Użyte przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\) nie jest wprost na karcie CKE, ale można go wyprowadzić z wzorów na \\(\\sin(\\alpha \\pm \\beta)\\). Na egzaminie warto to zrobić lub po prostu rozwinąć wszystko przez wzory na \\(\\sin 2x\\) i \\(\\sin 3x\\) (Sposób 2 - bezpieczniejszy!).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć o \\(x = 0\\) i \\(x = \\pi\\) - obu końcach przedziału! Przedział jest domknięty \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\), więc końce należą do dziedziny.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\frac{1}{2}\\) w przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) jest dokładnie jedno rozwiązanie: \\(x = \\frac{2\\pi}{3}\\). Drugie rozwiązanie (\\(x = \\frac{4\\pi}{3}\\)) leży poza przedziałem - nie dopisuj go!
\n
Sposób 1. (suma sinusów)
\n

Grupujemy \\(\\sin x + \\sin 3x\\) i stosujemy wzór z karty wzorów (dział IX):

\n

\\(\\sin\\alpha + \\sin\\beta = 2\\sin\\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}\\cos\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2}\\)

\n

\\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x \\cos(-x) = 2\\sin 2x\\cos x\\)

\n

Równanie przyjmuje postać:

\n

\\(2\\sin 2x\\cos x + \\sin 2x = 0\\)

\n

\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)

\n

Przypadek A: \\(\\sin 2x = 0\\), czyli \\(2x = k\\pi\\), \\(x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\), \\(k\\in\\mathbb{Z}\\).

\n

W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right\\}\\).

\n

Przypadek B: \\(2\\cos x + 1 = 0\\), czyli \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi\\) lub \\(x = \\dfrac{4\\pi}{3} + 2k\\pi\\).

\n

W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\).

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).

\n
Sposób 2. (sinus sumy)
\n

Piszemy \\(\\sin 3x = \\sin(x+2x) = \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x\\).

\n

\\(\\sin x + \\sin 2x + \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x = 0\\)

\n

Podstawmy \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\cos 2x = 2\\cos^2 x - 1\\):

\n

\\(\\sin x + 2\\sin x\\cos x + \\sin x(2\\cos^2 x - 1) + \\cos x\\cdot 2\\sin x\\cos x = 0\\)

\n

\\(\\sin x(1 + 2\\cos x + 2\\cos^2 x - 1 + 2\\cos^2 x) = 0\\)

\n

\\(\\sin x(4\\cos^2 x + 2\\cos x) = 0\\)

\n

\\(2\\sin x\\cos x(2\\cos x + 1) = 0\\)

\n

\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)

\n

Dalej jak w sposobie 1.

\n
Sposób 3. (inne grupowanie)
\n

Grupujemy \\(\\sin x + \\sin 2x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2}\\). Dodajemy \\(\\sin 3x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2}\\):

\n

\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2} + 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2} = 0\\)

\n

\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\left(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2}\\right) = 0\\)

\n

Ze wzoru na sumę cosinusów: \\(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2} = 2\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2}\\):

\n

\\(4\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2} = 0\\)

\n

Przypadki:

\n\n

Zbiór rozwiązań: \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).

\n

Trik: W \\(\\sin A + \\sin B\\), gdzie \\(A+B\\) lub \\(B-A\\) to dwukrotność środkowego wyrazu - zawsze grupuj brzegowe! Tu \\(x + 3x = 2\\cdot 2x\\), więc \\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x\\cos x\\) daje natychmiast \\(\\sin 2x\\) jako wspólny czynnik.

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-4)

\n\n

UWAGA: Zastąpienie \\(\\cos x\\) przez \\(\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\) i konsekwentne rozwiązywanie = co najwyżej 2 pkt.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\}$

"}]}