{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2, spełniające warunki:\n𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1\n𝑥1\n+ 1\n𝑥2\n+ 2 = 1\n𝑥1\n2 + 1\n𝑥2\n2\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (m+1)x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1≠0, x_2≠0 oraz 1/x_1 + 1/x_2 + 2 = 1/x_1^2 + 1/x_2^2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nprzekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio\nzastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nwyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 𝑚\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\nprzekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio\nzastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nwyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1 lub 𝑥2 = 𝑚\noraz\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\n(dla sposobu 2.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nzapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\ngdy zapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nrozwiąże równanie 𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\nlub 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 :\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy spełni następujące cztery warunki:\n1) zapisze 𝑚≠0\n2) rozwiąże równanie 𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\nlub 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 :\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\n3) rozwiąże nierówność ∆ > 0\nLUB\nwyznaczy wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1 oraz sprawdzi, że\notrzymane wartości parametru 𝑚 spełniają warunki zadania\n4) zapisze poprawną odpowiedź: 𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający wprowadza dodatkowe założenie, nie wynikające z warunków zadania (np.\n𝑥1 + 𝑥2 ≠0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeśli zdający stosuje błędną tożsamość: 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 i zamiast\n𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\notrzyma 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2\n(𝑥1⋅𝑥2)2 oraz doprowadzi\nrozwiązanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeśli zdający, wyznaczając pierwiastki trójmianu 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 𝑚, przyjmuje\nbłędnie √Δ = 𝑚-1, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przy przekształcaniu warunku 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, w konsekwencji którego\notrzymuje równanie liniowe z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za\ncałe rozwiązanie (za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz rozwiązanie warunku\nΔ > 0).\n5. Jeśli zdający poprawnie przekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 i zapisze\npoprawne równanie z niewiadomą 𝑚, lecz w dalszej części popełnia błąd prowadzący\ndo otrzymania równania liniowego z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nTrójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy,\ngdy jego wyróżnik Δ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(𝑚+ 1)2 -4𝑚> 0\n𝑚2 -2𝑚+ 1 > 0\n(𝑚-1)2 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚≠1\nPierwiastki 𝑥1 oraz 𝑥2 trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 są różne od zera tylko wtedy, gdy\n𝑥1 ⋅𝑥2 ≠0. Ze wzoru Viète’a otrzymujemy 𝑚≠0.\nRówność 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 przekształcamy równoważnie\n𝑥1 + 𝑥2\n𝑥1 ∙𝑥2\n+ 2 = 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2\n𝑥1\n2 ∙𝑥2\n2\n𝑥1 + 𝑥2\n𝑥1 ∙𝑥2\n+ 2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ∙𝑥2\n(𝑥1 ∙𝑥2)2\ni stosujemy wzory Viète’a: 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚+ 1 i 𝑥1 ∙𝑥2 = 𝑚, otrzymując dalej\n𝑚+ 1\n𝑚\n+ 2 = (𝑚+ 1)2 -2𝑚\n𝑚2\n𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0\n(𝑚+ 1)(2𝑚-1) = 0\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\nZatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki\nzadania, gdy 𝑚∈{-1, 1\n2}.\nSposób 2.\nZauważamy, że trójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 można zapisać w postaci iloczynowej:\n(𝑥-1)(𝑥-𝑚), więc liczby 1 oraz 𝑚 są pierwiastkami tego trójmianu. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2\ngdy 𝑚≠1. Pierwiastki te są różne od zera, gdy 𝑚≠0.\nRozwiązujemy warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 :\n1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 /⋅𝑚2\n𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\nZatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki\nzadania dla 𝑚∈{-1, 1\n2}.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzory Viète'a i podstawienie\n\n### Krok 1: Wyznaczamy $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ ze wzorów Viète'a\n\nDla równania \\(x^2 - (m+1)x + m = 0\\):\n\\[x_1 + x_2 = m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = m\\]\n\n### Krok 2: Warunek $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania)\n\n\\[\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\]\n\nPonieważ \\((m-1)^2 \\geq 0\\) zawsze, to \\(\\Delta > 0 \\iff m \\neq 1\\).\n\n### Krok 3: Warunek $x_1 \\neq 0$, $x_2 \\neq 0$\n\n\\(x_1 \\cdot x_2 = m\\), więc żadne z rozwiązań nie jest zerem \\(\\iff m \\neq 0\\).\n\n### Krok 4: Upraszczamy wyrażenia po lewej i prawej stronie warunku\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\frac{m+1}{m}\\]\n\n\\[\\frac{1}{x_1^2} + \\frac{1}{x_2^2} = \\left(\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2}\\right)^2 - \\frac{2}{x_1 x_2} = \\left(\\frac{m+1}{m}\\right)^2 - \\frac{2}{m}\\]\n\n### Krok 5: Podstawiamy do warunku\n\nPodstawiamy $s = \\dfrac{m+1}{m}$, co daje $\\dfrac{1}{m} = s - 1$:\n\n\\[s + 2 = s^2 - 2(s - 1)\\]\n\\[s + 2 = s^2 - 2s + 2\\]\n\\[0 = s^2 - 3s\\]\n\\[s(s - 3) = 0\\]\n\nStąd \\(s = 0\\) lub \\(s = 3\\).\n\n### Krok 6: Wyznaczamy $m$\n\n**Przypadek \\(s = 0\\):**\n\\[\\frac{m+1}{m} = 0 \\implies m + 1 = 0 \\implies \\boxed{m = -1}\\]\n\nSprawdzenie: \\(m = -1 \\neq 0\\), \\(m = -1 \\neq 1\\) ✓\n\n**Przypadek \\(s = 3\\):**\n\\[\\frac{m+1}{m} = 3 \\implies m + 1 = 3m \\implies 1 = 2m \\implies \\boxed{m = \\tfrac{1}{2}}\\]\n\nSprawdzenie: \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 0\\), \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 1\\) ✓\n\n## Sposób 2 - spostrzeżenie: równanie da się rozłożyć na czynniki!\n\n### Krok 1: Rozkładamy trójmian\n\n\\[x^2 - (m+1)x + m = x^2 - mx - x + m = x(x - m) - 1(x - m) = (x-1)(x-m)\\]\n\n**Wniosek:** Równanie zawsze ma rozwiązania \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\)!\n\nTo ogromne uproszczenie - wiemy od razu, że \\(x_1 = 1\\) zawsze.\n\n### Krok 2: Warunki\n\n- Dwa **różne** rozwiązania: \\(m \\neq 1\\)\n- Oba **niezerowe**: \\(1 \\neq 0\\) ✓ zawsze; \\(m \\neq 0\\)\n\n### Krok 3: Podstawiamy do warunku wprost\n\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{m} + 2 = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{m^2}\\]\n\\[3 + \\frac{1}{m} = 1 + \\frac{1}{m^2}\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy przez \\(m^2\\):\n\\[2m^2 + m - 1 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), więc \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).\n\n\\[m = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\\]\n\n\\[m_1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}, \\qquad m_2 = \\frac{-4}{4} = -1\\]\n\nOba spełniają \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). ✓\n\n### Weryfikacja liczbowa\n\n**Dla \\(m = -1\\):** Równanie to \\(x^2 - 1 = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = -1\\).\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{-1} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{1}\\]\n\\[1 - 1 + 2 = 1 + 1 \\implies 2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(m = \\frac{1}{2}\\):** Równanie to \\(x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{1}{2} = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\frac{1}{2}\\).\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{1/2} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{(1/2)^2}\\]\n\\[1 + 2 + 2 = 1 + 4 \\implies 5 = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzory Viète'a:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyrażenia sumy i iloczynu pierwiastków.\n\nW Sposobie 2 wyróżnik przydał się do rozwiązania równania kwadratowego \\(2m^2 + m - 1 = 0\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - (m+1)x + m\\) rozkłada się na \\((x-1)(x-m)\\) - warto to zauważyć, bo skraca obliczenia o połowę. Wielu uczniów tego nie widzi i brnąc przez Viète'a komplikuje sobie rachunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(\\Delta > 0\\) tu przyjmuje postać \\((m-1)^2 > 0\\), co wyklucza **tylko** \\(m = 1\\). Łatwo myśleć, że delta jest zawsze dodatnia - ale \\(m = 1\\) daje \\(\\Delta = 0\\), czyli równanie z podwójnym pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tożsamość \\(\\dfrac{1}{x_1^2} + \\dfrac{1}{x_2^2} = \\left(\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}\\right)^2 - \\dfrac{2}{x_1 x_2}\\) to analogia wzoru \\(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\\) - przydaje się zawsze gdy pojawiają się sumy odwrotności kwadratów.\n\n### Sposób 1. (wzory Viete'a)\n\n**Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań: \\(\\Delta > 0\\).**\n\n\\(\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\)\n\n\\(\\Delta > 0 \\iff (m-1)^2 > 0 \\iff m \\neq 1\\).\n\n**Krok 2. Warunek \\(x_1, x_2 \\neq 0\\).**\n\nZ wzorów Viete'a (karta wzorów, dział III): \\(x_1\\cdot x_2 = m\\). Aby oba były różne od zera, potrzeba \\(x_1\\cdot x_2 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq 0\\).\n\n**Krok 3. Przekształcenie warunku.**\n\n\\(\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+2 = \\dfrac{1}{x_1^2}+\\dfrac{1}{x_2^2}\\)\n\nLewa strona: \\(\\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2} + 2\\)\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \\dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}\\)\n\nZ Viete'a: \\(x_1+x_2 = m+1\\), \\(x_1 x_2 = m\\). Podstawiamy:\n\n\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{(m+1)^2 - 2m}{m^2}\\)\n\nRozwijamy licznik prawej strony: \\((m+1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1\\).\n\n\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{m^2+1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)\n\n\\(m(m+1) + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\)\n\n\\(m = \\dfrac{-1\\pm 3}{4}\\): \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) lub \\(m = -1\\).\n\n**Krok 4. Sprawdzenie warunków.**\n\nOba: \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) - spełnia. \\(m = -1\\) - spełnia.\n\n**Odpowiedź:** \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2. (rozkład na czynniki)\n\nZauważmy, że \\(x^2 - (m+1)x + m = (x-1)(x-m)\\), więc pierwiastkami są \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\).\n\nWarunki:\n- \\(x_1 \\neq x_2\\): \\(m \\neq 1\\)\n- \\(x_1, x_2 \\neq 0\\): \\(m \\neq 0\\) (bo \\(x_1=1\\neq 0\\))\n\nWarunek: \\(\\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m}+2 = \\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m^2}\\)\n\n\\(1 + \\dfrac{1}{m} + 2 = 1 + \\dfrac{1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)\n\n\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)\n\n\\((m+1)(2m-1) = 0\\): \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\). Oba spełniają \\(m \\neq 0, m \\neq 1\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n**Trik:** Gdy trójmian się łatwo rozkłada na czynniki liniowe (jak tu: \\(x-1\\) i \\(x-m\\)), sposób 2. jest dramatycznie szybszy niż Viete. Sprawdź zawsze \\(W(1) = 1-(m+1)+m = 0\\) - podpowiedź, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-5)\n- **1 pkt**: poprawne rozwiązanie \\(\\Delta > 0: m \\neq 1\\); LUB przekształcenie warunku do postaci pozwalającej zastosować wzory Viete'a; LUB wyznaczenie pierwiastków trójmianu.\n- **2 pkt**: \\(\\Delta > 0\\) ORAZ przekształcenie warunku z Viete.\n- **3 pkt**: + zapisanie równania z jedną niewiadomą \\(m\\); LUB \\(2m^2 + m - 1 = 0\\).\n- **4 pkt**: + rozwiązanie równania: \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\).\n- **5 pkt**: \\(m \\neq 0,\\; m \\neq 1\\), poprawne rozwiązanie równania, oraz poprawna odpowiedź \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n**UWAGA:** Dodatkowe założenie \\(x_1 + x_2 \\neq 0\\) (nie wynika z zadania) = max **4 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2, spełniające warunki:
𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1
𝑥1

\n\n

𝑥2

\n\n

𝑥1
2 + 1
𝑥2
2

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (m+1)x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1≠0, x_2≠0 oraz 1/x_1 + 1/x_2 + 2 = 1/x_1^2 + 1/x_2^2

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R3.1) stosuje wzory Viète’a;
R3.2) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1
(dla sposobu 1.)
ALBO
przekształci warunek 1
𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio
zastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2
𝑥1⋅𝑥2 + 2 =
(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2
(𝑥1⋅𝑥2)2
(dla sposobów 1. i 2.),
ALBO
wyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 𝑚
(dla sposobu 2.).
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1
oraz
przekształci warunek 1
𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio
zastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2
𝑥1⋅𝑥2 + 2 =
(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2
(𝑥1⋅𝑥2)2
(dla sposobu 1.)
ALBO
zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.
𝑚+1
𝑚

\n\n

(𝑚+1)2-2𝑚
𝑚2
, 1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2
(dla sposobów 1. i 2.),
ALBO
wyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1 lub 𝑥2 = 𝑚
oraz
zapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1
(dla sposobu 2.).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy:
poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1
oraz
zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.
𝑚+1
𝑚

\n\n

(𝑚+1)2-2𝑚
𝑚2
, 1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2
(dla sposobu 1.)
ALBO
zapisze równanie
2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1
𝑚2
= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0
(dla sposobów 1. i 2.),
ALBO
zapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1
oraz
zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.
𝑚+1
𝑚

\n\n

(𝑚+1)2-2𝑚
𝑚2
, 1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2
(dla sposobu 2.).
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy:
poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1
oraz
gdy zapisze równanie
2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1
𝑚2
= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0
(dla sposobu 1.)
ALBO
rozwiąże równanie 𝑚+1
𝑚

\n\n

(𝑚+1)2-2𝑚
𝑚2
lub 1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2 :
𝑚= -1 lub 𝑚= 1
2
(dla sposobów 1. i 2.),
ALBO
zapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1
oraz
zapisze równanie
2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1
𝑚2
= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0
(dla sposobu 2.).
Zdający otrzymuje 5 pkt
gdy spełni następujące cztery warunki:

\n
  1. zapisze 𝑚≠0
  2. rozwiąże równanie 𝑚+1
\n

𝑚

\n\n

(𝑚+1)2-2𝑚
𝑚2
lub 1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2 :
𝑚= -1 lub 𝑚= 1
2

\n
  1. rozwiąże nierówność ∆ > 0
\n

LUB
wyznaczy wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1 oraz sprawdzi, że
otrzymane wartości parametru 𝑚 spełniają warunki zadania

\n
  1. zapisze poprawną odpowiedź: 𝑚= -1 lub 𝑚= 1
\n

2 .
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający wprowadza dodatkowe założenie, nie wynikające z warunków zadania (np.
\n

𝑥1 + 𝑥2 ≠0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający stosuje błędną tożsamość: 𝑥1
\n

2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 i zamiast
𝑥1+𝑥2
𝑥1⋅𝑥2 + 2 =
(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2
(𝑥1⋅𝑥2)2
otrzyma 𝑥1+𝑥2
𝑥1⋅𝑥2 + 2 =
(𝑥1+𝑥2)2
(𝑥1⋅𝑥2)2 oraz doprowadzi
rozwiązanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający, wyznaczając pierwiastki trójmianu 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 𝑚, przyjmuje
\n

błędnie √Δ = 𝑚-1, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co
najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający przy przekształcaniu warunku 1
\n

𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 do postaci
pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, w konsekwencji którego
otrzymuje równanie liniowe z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za
całe rozwiązanie (za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz rozwiązanie warunku
Δ > 0).

\n
  1. Jeśli zdający poprawnie przekształci warunek 1
\n

𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 i zapisze
poprawne równanie z niewiadomą 𝑚, lecz w dalszej części popełnia błąd prowadzący
do otrzymania równania liniowego z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Trójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy,
gdy jego wyróżnik Δ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
(𝑚+ 1)2 -4𝑚> 0
𝑚2 -2𝑚+ 1 > 0
(𝑚-1)2 > 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑚≠1
Pierwiastki 𝑥1 oraz 𝑥2 trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 są różne od zera tylko wtedy, gdy
𝑥1 ⋅𝑥2 ≠0. Ze wzoru Viète’a otrzymujemy 𝑚≠0.
Równość 1
𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 przekształcamy równoważnie
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 ∙𝑥2

\n\n

2 + 𝑥2
2
𝑥1
2 ∙𝑥2
2
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 ∙𝑥2

\n\n

(𝑥1 ∙𝑥2)2
i stosujemy wzory Viète’a: 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚+ 1 i 𝑥1 ∙𝑥2 = 𝑚, otrzymując dalej
𝑚+ 1
𝑚

\n\n

𝑚2
𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1
2𝑚2 + 𝑚-1 = 0
(𝑚+ 1)(2𝑚-1) = 0
𝑚= -1 lub 𝑚= 1
2
Zatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki
zadania, gdy 𝑚∈{-1, 1
2}.
Sposób 2.
Zauważamy, że trójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 można zapisać w postaci iloczynowej:
(𝑥-1)(𝑥-𝑚), więc liczby 1 oraz 𝑚 są pierwiastkami tego trójmianu. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2
gdy 𝑚≠1. Pierwiastki te są różne od zera, gdy 𝑚≠0.
Rozwiązujemy warunek 1
𝑥1 + 1
𝑥2 + 2 = 1
𝑥12 + 1
𝑥22 :
1 + 1
𝑚+ 2 = 1 + 1
𝑚2 /⋅𝑚2
𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1
2𝑚2 + 𝑚-1 = 0
𝑚= -1 lub 𝑚= 1
2
Zatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki
zadania dla 𝑚∈{-1, 1
2}.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - wzory Viète'a i podstawienie

\n
Krok 1: Wyznaczamy $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ ze wzorów Viète'a
\n

Dla równania \\(x^2 - (m+1)x + m = 0\\):
\\[x_1 + x_2 = m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = m\\]

\n
Krok 2: Warunek $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania)
\n

\\[\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\]

\n

Ponieważ \\((m-1)^2 \\geq 0\\) zawsze, to \\(\\Delta > 0 \\iff m \\neq 1\\).

\n
Krok 3: Warunek $x_1 \\neq 0$, $x_2 \\neq 0$
\n

\\(x_1 \\cdot x_2 = m\\), więc żadne z rozwiązań nie jest zerem \\(\\iff m \\neq 0\\).

\n
Krok 4: Upraszczamy wyrażenia po lewej i prawej stronie warunku
\n

Obliczamy:
\\[\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\frac{m+1}{m}\\]

\n

\\[\\frac{1}{x_1^2} + \\frac{1}{x_2^2} = \\left(\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2}\\right)^2 - \\frac{2}{x_1 x_2} = \\left(\\frac{m+1}{m}\\right)^2 - \\frac{2}{m}\\]

\n
Krok 5: Podstawiamy do warunku
\n

Podstawiamy $s = \\dfrac{m+1}{m}$, co daje $\\dfrac{1}{m} = s - 1$:

\n

\\[s + 2 = s^2 - 2(s - 1)\\]
\\[s + 2 = s^2 - 2s + 2\\]
\\[0 = s^2 - 3s\\]
\\[s(s - 3) = 0\\]

\n

Stąd \\(s = 0\\) lub \\(s = 3\\).

\n
Krok 6: Wyznaczamy $m$
\n

Przypadek \\(s = 0\\):
\\[\\frac{m+1}{m} = 0 \\implies m + 1 = 0 \\implies \\boxed{m = -1}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(m = -1 \\neq 0\\), \\(m = -1 \\neq 1\\) ✓

\n

Przypadek \\(s = 3\\):
\\[\\frac{m+1}{m} = 3 \\implies m + 1 = 3m \\implies 1 = 2m \\implies \\boxed{m = \\tfrac{1}{2}}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 0\\), \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 1\\) ✓

\n

Sposób 2 - spostrzeżenie: równanie da się rozłożyć na czynniki!

\n
Krok 1: Rozkładamy trójmian
\n

\\[x^2 - (m+1)x + m = x^2 - mx - x + m = x(x - m) - 1(x - m) = (x-1)(x-m)\\]

\n

Wniosek: Równanie zawsze ma rozwiązania \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\)!

\n

To ogromne uproszczenie - wiemy od razu, że \\(x_1 = 1\\) zawsze.

\n
Krok 2: Warunki
\n\n
Krok 3: Podstawiamy do warunku wprost
\n

\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{m} + 2 = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{m^2}\\]
\\[3 + \\frac{1}{m} = 1 + \\frac{1}{m^2}\\]

\n

Przenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy przez \\(m^2\\):
\\[2m^2 + m - 1 = 0\\]

\n

Wyróżnik: \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), więc \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).

\n

\\[m = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\\]

\n

\\[m_1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}, \\qquad m_2 = \\frac{-4}{4} = -1\\]

\n

Oba spełniają \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). ✓

\n
Weryfikacja liczbowa
\n

Dla \\(m = -1\\): Równanie to \\(x^2 - 1 = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = -1\\).
\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{-1} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{1}\\]
\\[1 - 1 + 2 = 1 + 1 \\implies 2 = 2 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(m = \\frac{1}{2}\\): Równanie to \\(x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{1}{2} = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\frac{1}{2}\\).
\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{1/2} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{(1/2)^2}\\]
\\[1 + 2 + 2 = 1 + 4 \\implies 5 = 5 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzory Viète'a:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyrażenia sumy i iloczynu pierwiastków.

\n

W Sposobie 2 wyróżnik przydał się do rozwiązania równania kwadratowego \\(2m^2 + m - 1 = 0\\):
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Trójmian \\(x^2 - (m+1)x + m\\) rozkłada się na \\((x-1)(x-m)\\) - warto to zauważyć, bo skraca obliczenia o połowę. Wielu uczniów tego nie widzi i brnąc przez Viète'a komplikuje sobie rachunki.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(\\Delta > 0\\) tu przyjmuje postać \\((m-1)^2 > 0\\), co wyklucza tylko \\(m = 1\\). Łatwo myśleć, że delta jest zawsze dodatnia - ale \\(m = 1\\) daje \\(\\Delta = 0\\), czyli równanie z podwójnym pierwiastkiem.
\n
⚠️ Uwaga: Tożsamość \\(\\dfrac{1}{x_1^2} + \\dfrac{1}{x_2^2} = \\left(\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}\\right)^2 - \\dfrac{2}{x_1 x_2}\\) to analogia wzoru \\(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\\) - przydaje się zawsze gdy pojawiają się sumy odwrotności kwadratów.
\n
Sposób 1. (wzory Viete'a)
\n

Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań: \\(\\Delta > 0\\).

\n

\\(\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\)

\n

\\(\\Delta > 0 \\iff (m-1)^2 > 0 \\iff m \\neq 1\\).

\n

Krok 2. Warunek \\(x_1, x_2 \\neq 0\\).

\n

Z wzorów Viete'a (karta wzorów, dział III): \\(x_1\\cdot x_2 = m\\). Aby oba były różne od zera, potrzeba \\(x_1\\cdot x_2 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq 0\\).

\n

Krok 3. Przekształcenie warunku.

\n

\\(\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+2 = \\dfrac{1}{x_1^2}+\\dfrac{1}{x_2^2}\\)

\n

Lewa strona: \\(\\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2} + 2\\)

\n

Prawa strona: \\(\\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \\dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}\\)

\n

Z Viete'a: \\(x_1+x_2 = m+1\\), \\(x_1 x_2 = m\\). Podstawiamy:

\n

\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{(m+1)^2 - 2m}{m^2}\\)

\n

Rozwijamy licznik prawej strony: \\((m+1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1\\).

\n

\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{m^2+1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)

\n

\\(m(m+1) + 2m^2 = m^2 + 1\\)

\n

\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)

\n

\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)

\n

\\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\)

\n

\\(m = \\dfrac{-1\\pm 3}{4}\\): \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) lub \\(m = -1\\).

\n

Krok 4. Sprawdzenie warunków.

\n

Oba: \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) - spełnia. \\(m = -1\\) - spełnia.

\n

Odpowiedź: \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).

\n
Sposób 2. (rozkład na czynniki)
\n

Zauważmy, że \\(x^2 - (m+1)x + m = (x-1)(x-m)\\), więc pierwiastkami są \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\).

\n

Warunki:

\n\n

Warunek: \\(\\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m}+2 = \\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m^2}\\)

\n

\\(1 + \\dfrac{1}{m} + 2 = 1 + \\dfrac{1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)

\n

\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)

\n

\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)

\n

\\((m+1)(2m-1) = 0\\): \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\). Oba spełniają \\(m \\neq 0, m \\neq 1\\).

\n

Odpowiedź: \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).

\n

Trik: Gdy trójmian się łatwo rozkłada na czynniki liniowe (jak tu: \\(x-1\\) i \\(x-m\\)), sposób 2. jest dramatycznie szybszy niż Viete. Sprawdź zawsze \\(W(1) = 1-(m+1)+m = 0\\) - podpowiedź, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem!

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-5)

\n\n

UWAGA: Dodatkowe założenie \\(x_1 + x_2 \\neq 0\\) (nie wynika z zadania) = max 4 pkt.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m = -1$ lub $m = \\dfrac{1}{2}$

"}]}