{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne\n𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że sin 𝛼= 12\n13 (zobacz\nrysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐹𝐻 jest równe 26,4.\nOblicz wysokość ℎ tego graniastosłupa.\nα\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐻\nℎ\n𝐶\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nDany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sinα = 12/13 (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 26,4 Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów […]\ngraniastosłupów;\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i cosinusów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy spełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy cos 𝛼: cos 𝛼= 5\n13\n2) wyznaczy lub obliczy iloczyn długości przekątnych 𝐴𝐹 i 𝐴𝐻:\n|𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 2𝑃Δ𝐴𝐹𝐻\nsin𝛼 lub |𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 57,2\n3) zapisze związek między długością przekątnej podstawy graniastosłupa\ni długościami krawędzi jego podstawy\noraz\nzwiązek między długością przekątnej jednej ze ścian bocznych graniastosłupa\na długościami krawędzi tej ściany bocznej, np.:\n|𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐻|2 = ℎ2 + |𝐴𝐷|2\n(lub |𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐹|2 = ℎ2 + |𝐴𝐵|2 )\n4) zapisze równość wynikającą z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐹𝐻:\n|𝐹𝐻|2 = |𝐴𝐻|2 + |𝐴𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐻| ⋅|𝐴𝐹| ⋅cos 𝛼.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni dwa spośród warunków 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy spełni warunek 4) oraz dwa spośród warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania\nza 1 punkt.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nspełni wszystkie warunki od 1) do 4) określone w zasadach oceniania za 1 punkt\nALBO\nzapisze równość, której bezpośrednie przekształcenie prowadzi do obliczenia\nwysokości graniastosłupa, np. ℎ2 = 5\n13 √𝑎2 + ℎ2 ⋅√𝑏2 + ℎ2.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wysokość ℎ graniastosłupa: ℎ= √22.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeśli zdający niepoprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie cosinusów,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co\nnajwyżej 3 punkty.\n2. Jeśli zdający zakłada, że |𝐴𝐻| = |𝐴𝐹| albo że czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem\ni korzysta z tego, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n3. Jeśli zdający zakłada, że trójkąt 𝐴𝐹𝐻 jest prostokątny i z tego założenia korzysta, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (gdy spełni trzecie kryterium zasad\noceniania za 1 punkt).\n4. Jeśli zdający pomija współczynnik 1\n2 we wzorze na pole trójkąta, to może otrzymać za\ncałe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n5. Jeśli zdający przyjmuje konkretne wartości długości krawędzi graniastosłupa, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy |𝐴𝐷| = 𝑎, |𝐴𝐵| = 𝑏, |𝐴𝐻| = 𝑑, |𝐴𝐹| = 𝑒, |𝐹𝐻| = 𝑐 (zobacz rysunek).\nPonieważ 𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 26,4 oraz sin 𝛼= 12\n13 , więc\n𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 1\n2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅sin 𝛼\n26,4 = 1\n2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅12\n13\n𝑑⋅𝑒= 57,2\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐹𝐻 twierdzenie cosinusów\ni otrzymujemy\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅cos 𝛼\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 cos 𝛼\nObliczamy cos 𝛼: cos2 𝛼= 1 -sin2 𝛼= 1 -(12\n13)\n2\n= 25\n169 i kąt 𝛼 jest ostry, więc\ncos 𝛼= 5\n13 . Zatem\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 ⋅5\n13\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -44\nStąd, wobec 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 oraz 𝑑2 = ℎ2 + 𝑎2 i 𝑒2 = ℎ2 + 𝑏2, otrzymujemy\n𝑎2 + 𝑏2 = ℎ2 + 𝑎2 + ℎ2 + 𝑏2 -44\nℎ= √22\nα\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐻\nℎ\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝑒\n𝑑\n𝑐\n𝑏\n𝑎","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = \\sqrt{22}\\)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn skalarny + wzór na pole trójkąta\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych.** Niech podstawa ma boki \\(a = AB\\) i \\(b = BC\\), a wysokość graniastosłupa wynosi \\(h\\). Ustawiamy:\n\n\\[A = (0, 0, 0),\\quad F = (a, 0, h),\\quad H = (0, b, h)\\]\n\n(Wierzchołki \\(F\\) i \\(H\\) to wierzchołki nad \\(B\\) i \\(D\\).)\n\n**Wektory przekątnych ścian bocznych** z punktu \\(A\\):\n\\[\\vec{AF} = (a, 0, h), \\qquad \\vec{AH} = (0, b, h)\\]\n\n**Długości przekątnych:**\n\\[|AF| = \\sqrt{a^2 + h^2}, \\qquad |AH| = \\sqrt{b^2 + h^2}\\]\n\n**Krok 1: Iloczyn skalarny wektorów.**\n\n\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = a \\cdot 0 + 0 \\cdot b + h \\cdot h = h^2\\]\n\nKluczowe spostrzeżenie - iloczyn skalarny zależy **wyłącznie od \\(h\\)**!\n\nZ definicji iloczynu skalarnego:\n\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = |AF| \\cdot |AH| \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{|AF| \\cdot |AH| = \\frac{h^2}{\\cos\\alpha}} \\tag{I}\\]\n\n**Krok 2: Pole trójkąta \\(AFH\\).**\n\n\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF| \\cdot |AH| \\cdot \\sin\\alpha \\tag{II}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy (I) do (II).**\n\n\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{h^2}{\\cos\\alpha} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{h^2 \\tan\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(\\tan\\alpha\\).**\n\nDane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\), kąt ostry, więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{144}{169}} = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{12/13}{5/13} = \\frac{12}{5}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy \\(h\\).**\n\n\\[26{,}4 = \\frac{h^2 \\cdot \\frac{12}{5}}{2} = \\frac{12h^2}{10} = \\frac{6h^2}{5}\\]\n\n\\[h^2 = \\frac{26{,}4 \\cdot 5}{6} = \\frac{132}{6} = 22\\]\n\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ dwóch równań\n\nOznaczmy \\(p = |AF|\\), \\(q = |AH|\\). Mamy dwa równania:\n\n**Równanie kąta** (z warunku na kąt między przekątnymi):\n\\[p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha = h^2 \\tag{1}\\]\n\n**Równanie pola** (pole trójkąta \\(AFH\\)):\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha = 26{,}4 \\tag{2}\\]\n\n**Dzielimy (1) przez (2) stronami:**\n\\[\\frac{p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha}{\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]\n\n\\[\\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]\n\n\\[h^2 = 26{,}4 \\cdot \\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 26{,}4 \\cdot \\frac{2 \\cdot \\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = 26{,}4 \\cdot \\frac{10}{12} = 26{,}4 \\cdot \\frac{5}{6} = 22\\]\n\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]\n\n> **Elegancja tej metody:** wartości \\(a\\) i \\(b\\) (boki podstawy) **wypadają z równania** - wynik zależy tylko od kąta i pola trójkąta, nie od konkretnych wymiarów podstawy!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru z kątem:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy tego jako wzoru \\(P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF||AH|\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) z podanego \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\tan\\alpha = \\frac{12}{5}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn skalarny \\(\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = h^2\\) - **nie** \\(a^2 + b^2 + h^2\\)! Człony z \\(a\\) i \\(b\\) znikają, bo boki \\(a\\) i \\(b\\) leżą w prostopadłych kierunkach (\\(x\\) vs \\(y\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sin\\alpha\\) z \\(\\cos\\alpha\\). Zapamiętaj: dane \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) → hipotenuza 13, ramię prostopadłe 12, ramię poziome 5, więc \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(h = \\sqrt{22} \\approx 4{,}69\\) jest niezależny od boków \\(a\\) i \\(b\\) podstawy - to celowy projekt zadania. Nie próbuj wyznaczać \\(a\\) ani \\(b\\) z dodatkowych warunków, bo ich brakuje (i słusznie - nie są potrzebne).\n\n### Sposób 1. (pole trójkąta + tw. cosinusów)\n\n**Oznaczenia:** \\(|AD|=a, |AB|=b, |AH|=d, |AF|=e, |FH|=c\\).\n\n**Krok 1. Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\).**\n\nKąt ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\). Z \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}\\), \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).\n\n**Krok 2. Wzór na pole trójkąta.**\n\nZ karty wzorów (dział X): \\(P_{\\triangle AFH} = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\sin\\alpha\\)\n\n\\(26{,}4 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\dfrac{12}{13}\\)\n\nStąd \\(d\\cdot e = \\dfrac{26{,}4\\cdot 2\\cdot 13}{12} = 57{,}2\\).\n\n**Krok 3. Tw. cosinusów w \\(\\triangle AFH\\).**\n\n\\(c^2 = d^2 + e^2 - 2de\\cos\\alpha = d^2 + e^2 - 2\\cdot 57{,}2\\cdot\\dfrac{5}{13} = d^2 + e^2 - 44\\)\n\n**Krok 4. Związki w graniastosłupie.**\n\nW prostokącie \\(ABCD\\): \\(|BD|^2 = |AB|^2+|AD|^2 = b^2+a^2\\). Ale \\(FH\\) jest przekątną prostokąta \\(EFGH\\), a ten prostokąt ma te same wymiary co \\(ABCD\\). Więc \\(|FH|^2 = a^2+b^2\\), czyli \\(c^2 = a^2+b^2\\).\n\nW ścianie bocznej \\(ADHE\\) (prostokąt): \\(|AH|^2 = |AD|^2+|DH|^2 = a^2+h^2\\), czyli \\(d^2 = a^2+h^2\\).\n\nW ścianie bocznej \\(ABFE\\): \\(|AF|^2 = |AB|^2+|BF|^2 = b^2+h^2\\), czyli \\(e^2 = b^2+h^2\\).\n\n**Krok 5. Równanie dla \\(h\\).**\n\nPodstawiamy \\(c^2 = a^2+b^2\\), \\(d^2 = a^2+h^2\\), \\(e^2 = b^2+h^2\\):\n\n\\(a^2+b^2 = (a^2+h^2) + (b^2+h^2) - 44\\)\n\n\\(0 = 2h^2 - 44\\)\n\n\\(h^2 = 22\\), czyli \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n### Sposób 2. (redukcja bez pełnych rachunków na \\(a, b\\))\n\nZ kroków 1-3 sposobu 1 otrzymujemy \\(c^2 = d^2 + e^2 - 44\\).\n\nDodając \\(d^2+e^2 = (a^2+h^2)+(b^2+h^2) = (a^2+b^2)+2h^2 = c^2 + 2h^2\\), mamy:\n\n\\(c^2 = c^2 + 2h^2 - 44\\)\n\n\\(2h^2 = 44\\), \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**Trik:** W graniastosłupie prostym o podstawie prostokątnej trójkąt \\(AFH\\) jest specjalny - \\(FH\\) leży w górnej podstawie, \\(AH, AF\\) to przekątne ścian bocznych. Zawsze warto wyrazić kwadraty wszystkich boków przez \\(a, b, h\\) - redukcja jest dramatyczna.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-5)\n- **1 pkt** za jeden z warunków: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\); LUB \\(|AF|\\cdot|AH|=57{,}2\\); LUB związki \\(|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2\\), \\(|AH|^2=h^2+|AD|^2\\); LUB tw. cosinusów dla \\(\\triangle AFH\\).\n- **2 pkt**: dwa z powyższych warunków.\n- **3 pkt**: tw. cosinusów + dwa inne warunki.\n- **4 pkt**: wszystkie cztery warunki, np. \\(h^2 = \\dfrac{5}{13}\\sqrt{a^2+h^2}\\cdot\\sqrt{b^2+h^2}\\).\n- **5 pkt**: \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**UWAGA:** Założenie, że \\(|AH|=|AF|\\) lub że \\(ABCD\\) jest kwadratem (oba nie wynikają z treści) = max **3 pkt**. Założenie, że \\(\\triangle AFH\\) jest prostokątny = max **1 pkt**. Pomięcie współczynnika \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole = max **4 pkt**. Przyjmowanie konkretnych wartości krawędzi = **0 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne
𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że sin 𝛼= 12
13 (zobacz
rysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐹𝐻 jest równe 26,4.
Oblicz wysokość ℎ tego graniastosłupa.
α
𝐴
𝐷
𝐵
𝐹
𝐺
𝐸
𝐻
ℎ
𝐶

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sinα = 12/13 (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 26,4 Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
P9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń
długości odcinków, miar kątów […]
graniastosłupów;
R7.4) znajduje związki miarowe w figurach
płaskich z zastosowaniem twierdzenia
sinusów i cosinusów.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy spełni jeden z poniższych warunków:

\n
  1. obliczy cos 𝛼: cos 𝛼= 5
\n

13

\n
  1. wyznaczy lub obliczy iloczyn długości przekątnych 𝐴𝐹 i 𝐴𝐻:
\n

|𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 2𝑃Δ𝐴𝐹𝐻
sin𝛼 lub |𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 57,2

\n
  1. zapisze związek między długością przekątnej podstawy graniastosłupa
\n

i długościami krawędzi jego podstawy
oraz
związek między długością przekątnej jednej ze ścian bocznych graniastosłupa
a długościami krawędzi tej ściany bocznej, np.:
|𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐻|2 = ℎ2 + |𝐴𝐷|2
(lub |𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐹|2 = ℎ2 + |𝐴𝐵|2 )

\n
  1. zapisze równość wynikającą z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐹𝐻:
\n

|𝐹𝐻|2 = |𝐴𝐻|2 + |𝐴𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐻| ⋅|𝐴𝐹| ⋅cos 𝛼.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy spełni dwa spośród warunków 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt.
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy spełni warunek 4) oraz dwa spośród warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania
za 1 punkt.
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy:
spełni wszystkie warunki od 1) do 4) określone w zasadach oceniania za 1 punkt
ALBO
zapisze równość, której bezpośrednie przekształcenie prowadzi do obliczenia
wysokości graniastosłupa, np. ℎ2 = 5
13 √𝑎2 + ℎ2 ⋅√𝑏2 + ℎ2.
Zdający otrzymuje 5 pkt
gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wysokość ℎ graniastosłupa: ℎ= √22.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający niepoprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie cosinusów,
\n

i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co
najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zakłada, że |𝐴𝐻| = |𝐴𝐹| albo że czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem
\n

i korzysta z tego, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający zakłada, że trójkąt 𝐴𝐹𝐻 jest prostokątny i z tego założenia korzysta, to za
\n

całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (gdy spełni trzecie kryterium zasad
oceniania za 1 punkt).

\n
  1. Jeśli zdający pomija współczynnik 1
\n

2 we wzorze na pole trójkąta, to może otrzymać za
całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający przyjmuje konkretne wartości długości krawędzi graniastosłupa, to za całe
\n

rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy |𝐴𝐷| = 𝑎, |𝐴𝐵| = 𝑏, |𝐴𝐻| = 𝑑, |𝐴𝐹| = 𝑒, |𝐹𝐻| = 𝑐 (zobacz rysunek).
Ponieważ 𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 26,4 oraz sin 𝛼= 12
13 , więc
𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 1
2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅sin 𝛼
26,4 = 1
2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅12
13
𝑑⋅𝑒= 57,2
Stosujemy do trójkąta 𝐴𝐹𝐻 twierdzenie cosinusów
i otrzymujemy
𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅cos 𝛼
𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 cos 𝛼
Obliczamy cos 𝛼: cos2 𝛼= 1 -sin2 𝛼= 1 -(12
13)
2
= 25
169 i kąt 𝛼 jest ostry, więc
cos 𝛼= 5
13 . Zatem
𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 ⋅5
13
𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -44
Stąd, wobec 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 oraz 𝑑2 = ℎ2 + 𝑎2 i 𝑒2 = ℎ2 + 𝑏2, otrzymujemy
𝑎2 + 𝑏2 = ℎ2 + 𝑎2 + ℎ2 + 𝑏2 -44
ℎ= √22
α
𝐹
𝐺
𝐸
𝐻
ℎ
𝐶
𝐷
𝐵
𝐴
𝑒
𝑑
𝑐
𝑏
𝑎

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(h = \\sqrt{22}\\)

\n

Sposób 1 - Iloczyn skalarny + wzór na pole trójkąta

\n

Wprowadzamy układ współrzędnych. Niech podstawa ma boki \\(a = AB\\) i \\(b = BC\\), a wysokość graniastosłupa wynosi \\(h\\). Ustawiamy:

\n

\\[A = (0, 0, 0),\\quad F = (a, 0, h),\\quad H = (0, b, h)\\]

\n

(Wierzchołki \\(F\\) i \\(H\\) to wierzchołki nad \\(B\\) i \\(D\\).)

\n

Wektory przekątnych ścian bocznych z punktu \\(A\\):
\\[\\vec{AF} = (a, 0, h), \\qquad \\vec{AH} = (0, b, h)\\]

\n

Długości przekątnych:
\\[|AF| = \\sqrt{a^2 + h^2}, \\qquad |AH| = \\sqrt{b^2 + h^2}\\]

\n

Krok 1: Iloczyn skalarny wektorów.

\n

\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = a \\cdot 0 + 0 \\cdot b + h \\cdot h = h^2\\]

\n

Kluczowe spostrzeżenie - iloczyn skalarny zależy wyłącznie od \\(h\\)!

\n

Z definicji iloczynu skalarnego:
\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = |AF| \\cdot |AH| \\cdot \\cos\\alpha\\]

\n

Zatem:
\\[\\boxed{|AF| \\cdot |AH| = \\frac{h^2}{\\cos\\alpha}} \\tag{I}\\]

\n

Krok 2: Pole trójkąta \\(AFH\\).

\n

\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF| \\cdot |AH| \\cdot \\sin\\alpha \\tag{II}\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy (I) do (II).

\n

\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{h^2}{\\cos\\alpha} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{h^2 \\tan\\alpha}{2}\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy \\(\\tan\\alpha\\).

\n

Dane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\), kąt ostry, więc:
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{144}{169}} = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]
\\[\\tan\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{12/13}{5/13} = \\frac{12}{5}\\]

\n

Krok 5: Obliczamy \\(h\\).

\n

\\[26{,}4 = \\frac{h^2 \\cdot \\frac{12}{5}}{2} = \\frac{12h^2}{10} = \\frac{6h^2}{5}\\]

\n

\\[h^2 = \\frac{26{,}4 \\cdot 5}{6} = \\frac{132}{6} = 22\\]

\n

\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]

\n

Sposób 2 - Układ dwóch równań

\n

Oznaczmy \\(p = |AF|\\), \\(q = |AH|\\). Mamy dwa równania:

\n

Równanie kąta (z warunku na kąt między przekątnymi):
\\[p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha = h^2 \\tag{1}\\]

\n

Równanie pola (pole trójkąta \\(AFH\\)):
\\[\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha = 26{,}4 \\tag{2}\\]

\n

Dzielimy (1) przez (2) stronami:
\\[\\frac{p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha}{\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]

\n

\\[\\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]

\n

\\[h^2 = 26{,}4 \\cdot \\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 26{,}4 \\cdot \\frac{2 \\cdot \\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = 26{,}4 \\cdot \\frac{10}{12} = 26{,}4 \\cdot \\frac{5}{6} = 22\\]

\n

\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]

\n
Elegancja tej metody: wartości \\(a\\) i \\(b\\) (boki podstawy) wypadają z równania - wynik zależy tylko od kąta i pola trójkąta, nie od konkretnych wymiarów podstawy!
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta ze wzoru z kątem:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]
Użyliśmy tego jako wzoru \\(P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF||AH|\\sin\\alpha\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) z podanego \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(\\tan\\alpha = \\frac{12}{5}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Iloczyn skalarny \\(\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = h^2\\) - nie \\(a^2 + b^2 + h^2\\)! Człony z \\(a\\) i \\(b\\) znikają, bo boki \\(a\\) i \\(b\\) leżą w prostopadłych kierunkach (\\(x\\) vs \\(y\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(\\sin\\alpha\\) z \\(\\cos\\alpha\\). Zapamiętaj: dane \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) → hipotenuza 13, ramię prostopadłe 12, ramię poziome 5, więc \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(h = \\sqrt{22} \\approx 4{,}69\\) jest niezależny od boków \\(a\\) i \\(b\\) podstawy - to celowy projekt zadania. Nie próbuj wyznaczać \\(a\\) ani \\(b\\) z dodatkowych warunków, bo ich brakuje (i słusznie - nie są potrzebne).
\n
Sposób 1. (pole trójkąta + tw. cosinusów)
\n

Oznaczenia: \\(|AD|=a, |AB|=b, |AH|=d, |AF|=e, |FH|=c\\).

\n

Krok 1. Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Kąt ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\). Z \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha = 1\\):

\n

\\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}\\), \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).

\n

Krok 2. Wzór na pole trójkąta.

\n

Z karty wzorów (dział X): \\(P_{\\triangle AFH} = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\sin\\alpha\\)

\n

\\(26{,}4 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\dfrac{12}{13}\\)

\n

Stąd \\(d\\cdot e = \\dfrac{26{,}4\\cdot 2\\cdot 13}{12} = 57{,}2\\).

\n

Krok 3. Tw. cosinusów w \\(\\triangle AFH\\).

\n

\\(c^2 = d^2 + e^2 - 2de\\cos\\alpha = d^2 + e^2 - 2\\cdot 57{,}2\\cdot\\dfrac{5}{13} = d^2 + e^2 - 44\\)

\n

Krok 4. Związki w graniastosłupie.

\n

W prostokącie \\(ABCD\\): \\(|BD|^2 = |AB|^2+|AD|^2 = b^2+a^2\\). Ale \\(FH\\) jest przekątną prostokąta \\(EFGH\\), a ten prostokąt ma te same wymiary co \\(ABCD\\). Więc \\(|FH|^2 = a^2+b^2\\), czyli \\(c^2 = a^2+b^2\\).

\n

W ścianie bocznej \\(ADHE\\) (prostokąt): \\(|AH|^2 = |AD|^2+|DH|^2 = a^2+h^2\\), czyli \\(d^2 = a^2+h^2\\).

\n

W ścianie bocznej \\(ABFE\\): \\(|AF|^2 = |AB|^2+|BF|^2 = b^2+h^2\\), czyli \\(e^2 = b^2+h^2\\).

\n

Krok 5. Równanie dla \\(h\\).

\n

Podstawiamy \\(c^2 = a^2+b^2\\), \\(d^2 = a^2+h^2\\), \\(e^2 = b^2+h^2\\):

\n

\\(a^2+b^2 = (a^2+h^2) + (b^2+h^2) - 44\\)

\n

\\(0 = 2h^2 - 44\\)

\n

\\(h^2 = 22\\), czyli \\(h = \\sqrt{22}\\).

\n

Odpowiedź: \\(h = \\sqrt{22}\\).

\n
Sposób 2. (redukcja bez pełnych rachunków na \\(a, b\\))
\n

Z kroków 1-3 sposobu 1 otrzymujemy \\(c^2 = d^2 + e^2 - 44\\).

\n

Dodając \\(d^2+e^2 = (a^2+h^2)+(b^2+h^2) = (a^2+b^2)+2h^2 = c^2 + 2h^2\\), mamy:

\n

\\(c^2 = c^2 + 2h^2 - 44\\)

\n

\\(2h^2 = 44\\), \\(h = \\sqrt{22}\\).

\n

Trik: W graniastosłupie prostym o podstawie prostokątnej trójkąt \\(AFH\\) jest specjalny - \\(FH\\) leży w górnej podstawie, \\(AH, AF\\) to przekątne ścian bocznych. Zawsze warto wyrazić kwadraty wszystkich boków przez \\(a, b, h\\) - redukcja jest dramatyczna.

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-5)

\n\n

UWAGA: Założenie, że \\(|AH|=|AF|\\) lub że \\(ABCD\\) jest kwadratem (oba nie wynikają z treści) = max 3 pkt. Założenie, że \\(\\triangle AFH\\) jest prostokątny = max 1 pkt. Pomięcie współczynnika \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole = max 4 pkt. Przyjmowanie konkretnych wartości krawędzi = 0 pkt.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$h = \\sqrt{22}$

"}]}