{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nPunkt 𝐴= (-3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nPole tego trójkąta jest równe 15. Bok 𝐵𝐶 zawarty jest w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1.\nOblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nPunkt A=(-3,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x-1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\nP8.6) oblicza odległość dwóch punktów;\nR8.1) oblicza odległość punktu od prostej;\nR8.4) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy odległość punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2\nALBO\ngdy zapisze współrzędne punktu 𝐵 lub 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1), 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1),\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 wynikające z warunków zadania,\nnp.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\nLUB\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nobliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1 oraz obliczy długości\nodcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 5√2, 𝑑= 3√2\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\nLUB\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\nALBO\nwyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆, w którym współczynniki są zależne od 𝑥𝐵:\n𝑦-\n𝑥𝐵+1\n2\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-\n𝑥𝐵-3\n2 ) (sposób 3.),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\ni √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nzapisze równanie, w którym niewiadomymi są współrzędne 𝑥𝐶 oraz 𝑦𝐶 punktu 𝐶,\nnp. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = 5√2\nALBO\nwyznaczy odległość 𝐴𝐶 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu 𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(𝑥𝐶-(-3))\n2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 oraz obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od\nprostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2,\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\ni √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 ,\nALBO\nwyznaczy współrzędne punktu 𝐶 w zależności od 𝑥𝐵:\n𝐶= (\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵,\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n) (sposób 3.),\nALBO\nzapisze jedno z równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑦𝐵 :\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = √2 lub √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = 9√2 (sposób 4.),\nALBO\nzapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐶 i 𝑦𝐶 :\n√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = 4√2 (sposób 4.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające wyznaczyć współrzędne\npunktu 𝐶 lub punktu 𝐵, np. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2\nLUB\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2,\nLUB\n√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑥𝐵:\n((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵-\n𝑥𝐵-3\n2 )\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵+1\n2 )\n2\n) = 900 (sposób 3.),\nALBO\nzapisze dwa równania z niewiadomą 𝑥𝐵:\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2 i √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2 (sposób 4.).\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy nie utożsamia żadnego wierzchołka 𝐵 z żadnym z wierzchołków 𝐶 (ani 𝐶 z 𝐵) oraz\nspełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy odcięte punktów 𝐶1 i 𝐶2\n2) obliczy odcięte punktów 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4\n3) obliczy odciętą jednego z punktów 𝐶 i odcięte odpowiadających temu punktowi\ndwóch punktów 𝐵\n4) obliczy odcięte dwóch punktów 𝐵 i odcięte punktów 𝐶, odpowiadających tym\npunktom 𝐵.\nZdający otrzymuje 6 pkt\ngdy obliczy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze te punkty w odpowiednich parach:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający obliczy długości odcinków 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 i 𝐶𝐷 (punkt 𝐷 jest rzutem\nprostokątnym punktu 𝐴 na prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1) i odczyta współrzędne\npunktu 𝐶 z rysunku, gubiąc jedno rozwiązanie, to otrzymuje 4 punkty.\n2. Jeśli zdający rozważa trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za obliczenie odległości punktu 𝐴 od\nprostej 𝐵𝐶 lub zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 (lub 𝐶) za pomocą jednej zmiennej,\nlub zapisanie równania 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15), o ile nie\nnabył praw do innej punktacji.\n3. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd merytoryczny (np. zamiana miejscami\nwspółrzędnych punktu, błędne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej,\nbłędne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, stosowanie nieistniejącego wzoru\n√𝑡+ 𝑢= √𝑡+ √𝑢, błędnie zapisana równość wynikająca z twierdzenia Pitagorasa)\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n4. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd rachunkowy, w konsekwencji którego otrzymuje\ndwie pary punktów, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n5. Jeśli zdający narysuje w układzie współrzędnych prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zaznaczy\npunkt 𝐴 oraz jedną parę punktów 𝐵 i 𝐶 i na tej podstawie zapisze współrzędne\nwierzchołków 𝐵 i 𝐶 jednego z trójkątów spełniających warunki zadania oraz sprawdzi\nrachunkiem, że pole tego trójkąta jest równe 15, to otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0: 𝑑=\n|-3-2-1|\n√2\n= 3√2.\nObliczona odległość 𝑑 jest równa wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴\nna bok 𝐵𝐶.\nObliczamy długość boku |𝐵𝐶|:\n𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅𝑑⋅|𝐵𝐶|\n|𝐵𝐶| = 2𝑃Δ𝐴𝐵𝐶\n𝑑\n= 5√2\nNiech 𝑥𝐶 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐶. Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).\nKorzystając z warunku |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| oraz ze wzoru na długość odcinka, otrzymujemy\nkolejno\n√(𝑥𝐶-(-3))\n2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 = 5√2\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2\n𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 50\n2𝑥𝐶\n2 -32 = 0\n2(𝑥𝐶-4)(𝑥𝐶+ 4) = 0\n𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4\nZatem 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).\nNiech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).\nPonieważ |𝐵𝐶| = 5√2, więc dla 𝐶= (4, 3) otrzymujemy\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (3 -(𝑥𝐵-1))\n2 = 5√2\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2\n2 ⋅(4 -𝑥𝐵)2 = 50\n|4 -𝑥𝐵| = 5\n𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= 9\nZatem 𝐵= (-1, -2) lub 𝐵= (9, 8).\nObliczamy współrzędne punktu 𝐵 dla 𝐶= (-4, -5):\n|𝐵𝐶| = 5√2\n√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-5 -(𝑥𝐵-1))\n2 = 5√2\n√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-4 -𝑥𝐵)2 = 5√2\n2 ⋅(-4 -𝑥𝐵)2 = 50\n|4 + 𝑥𝐵| = 5\n𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -9\nZatem 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-9, -10).\nWarunki zadania spełniają cztery pary punktów:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nUwaga:\nWspółrzędne punktu 𝐶 możemy otrzymać, rozwiązując układ równań\n{ 𝑦= 𝑥-1\n(𝑥+ 3)2 + (𝑦-2)2 = 50\nSposób 2.\nPunkty 𝐵 i 𝐶 leżą na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1) oraz\n𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta\n𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|\ni uwzględniamy warunek 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 15:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-1 -2) -(𝑥𝐵-1 -2) ∙(𝑥𝐶+ 3)|\n15 = 1\n2 |6𝑥𝐶-6𝑥𝐵|\n5 = |𝑥𝐶-𝑥𝐵|\nStąd i z tego, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, otrzymujemy układ równań\n{ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝑥𝐶-𝑥𝐵| = 5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n(1) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5\nlub\n(2) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5\nRozwiązujemy układ równań (1):\n{ 𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5\nZ pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶\n2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4\nlub 𝑥𝐶= -4.\nObliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.\nDla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2).\nDla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nRozwiązujemy układ równań (2):\n{ 𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5\nZ pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶\n2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4\nlub 𝑥𝐶= -4.\nObliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.\nDla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8).\nDla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0).\nWarunki zadania spełniają cztery pary punktów:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nSposób 3.\nNiech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1). Środek 𝑆 podstawy 𝐴𝐵 ma współrzędne\n𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n) = (-3 + 𝑥𝐵\n2\n, 2 + 𝑥𝐵-1\n2\n) = (𝑥𝐵-3\n2\n, 𝑥𝐵+ 1\n2\n)\nJeśli 𝑥𝐵= 𝑥𝐴= -3, to wtedy 𝑆= (-3-3\n2\n, -3+1\n2\n) = (-3, -1), prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑥= -3, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma\nrównanie 𝑦= -1. Wobec tego 𝐶= (𝑥𝐶 , -1). Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, więc -1 = 𝑥𝐶-1, czyli 𝑥𝐶= 0. Zatem 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość |𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest\nwtedy równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1\n2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15\nZatem 𝑥𝐵≠-3, co oznacza, że prostą 𝐴𝐵 można opisać równaniem kierunkowym.\nWspółczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\n𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴\n𝑥𝐵-𝑥𝐴\n= 𝑥𝐵-1 -2\n𝑥𝐵-(-3) = 𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵+ 3\nJeśli 𝑥𝐵= 3, to wtedy 𝑆= (3-3\n2 , 3+1\n2 ) = (0, 2), 𝑦𝐵= 2 i prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= 2, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma\nrównanie 𝑥= 0. Wobec tego 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość\n|𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest wtedy równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1\n2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15\nZatem 𝑥𝐵≠3.\nProsta 𝑆𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐶 jest\nrówny\n𝑎𝑆𝐶= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3\nZatem równanie prostej 𝑆𝐶 ma postać\n𝑦-𝑦𝑆= 𝑎𝑆𝐶(𝑥-𝑥𝑆)\n𝑦-𝑥𝐵+ 1\n2\n= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-𝑥𝐵-3\n2\n)\n𝑦= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań {\n𝑦= 𝑥-1\n𝑦= -\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2\nStąd\n(𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 + 1) ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3\nGdy 𝑥𝐵= 0, to równanie jest sprzeczne, więc 𝑥𝐵≠0. Możemy zatem podzielić obie strony\nrównania przez 2𝑥𝐵\n𝑥𝐵-3 , otrzymując\n𝑥= (𝑥𝐵+ 3) ⋅(𝑥𝐵-3)\n2𝑥𝐵\n= 𝑥𝐵\n2 -9\n2𝑥𝐵\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 𝑦=\n(𝑥𝐵)2 -9\n2𝑥𝐵\n-1 =\n(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n, czyli 𝐶= (\n(𝑥𝐵)2 -9\n2𝑥𝐵\n,\n(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 15 i stąd otrzymujemy kolejno\n|𝐴𝐵|2 ⋅|𝑆𝐶|2 = 900\n((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵-\n𝑥𝐵-3\n2 )\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵+1\n2 )\n2\n) = 900\n(2𝑥𝐵\n2 + 18) ((\n𝑥𝐵\n2-9-𝑥𝐵\n2+3𝑥𝐵\n2𝑥𝐵\n)\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9-𝑥𝐵\n2-𝑥𝐵\n2𝑥𝐵\n)\n2\n) = 900\n2(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n9\n4 (\n𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵)\n2\n9\n4 (\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵)\n2\n) = 900\n(𝑥𝐵\n2 + 9) ((\n𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵)\n2\n+ (\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵)\n2\n) = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n𝑥𝐵\n2-6𝑥𝐵+9+𝑥𝐵\n2+6𝑥𝐵+9\n𝑥𝐵\n2\n) = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n2𝑥𝐵\n2+18\n𝑥𝐵\n2\n) = 200\n2\n𝑥𝐵\n2 (𝑥𝐵\n2 + 9)2 = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9)2 = 100𝑥𝐵\n2\n(𝑥𝐵\n2 + 9)2 -(10𝑥𝐵)2 = 0\n(𝑥𝐵\n2 + 9 -10𝑥𝐵)(𝑥𝐵\n2 + 9 + 10𝑥𝐵) = 0\n(𝑥𝐵\n2 -10𝑥𝐵+ 9)(𝑥𝐵\n2 + 10𝑥𝐵+ 9) = 0\n(𝑥𝐵-1)(𝑥𝐵-9)(𝑥𝐵+ 1)(𝑥𝐵+ 9) = 0\n𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= -9\nGdy 𝑥𝐵= 1, to 𝐵= (1, 0) i 𝐶= (\n12-9\n2⋅1 ,\n12-2⋅1 -9\n2⋅1\n) = (-4, -5).\nGdy 𝑥𝐵= 9, to 𝐵= (9, 8) i 𝐶= (\n92-9\n2⋅9 ,\n92-2⋅9 -9\n2⋅9\n) = (4, 3).\nGdy 𝑥𝐵= -1, to 𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (\n(-1)2-9\n2⋅(-1) ,\n(-1)2-2⋅(-1) -9\n2⋅(-1)\n) = (4, 3).\nGdy 𝑥𝐵= -9, to 𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (\n(-9)2-9\n2⋅(-9) ,\n(-9)2-2⋅(-9) -9\n2⋅(-9)\n) = (-4, -5).\nSposób 4.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴= (-3, 2) od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0:\n𝑑=\n|-3 -2 -1|\n√2\n= 3√2\nObliczona odległość jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną na prostą 𝐵𝐶. Ponieważ\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1\n2 ∙𝑑∙|𝐵𝐶| = 15 i stąd |𝐵𝐶| = 30\n3√2 = 5√2.\nNiech 𝐷 oznacza spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej na prostą 𝐵𝐶.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷.\nProsta prostopadła do prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, przechodząca przez punkt 𝐴, jest\nokreślona równaniem 𝑦-2 = -(𝑥+ 3), czyli 𝑦= -𝑥-1.\nPunkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷, zatem\n𝑥-1 = -𝑥-1\nwięc 𝑥= 0 i 𝑦= 0 -1 = -1, czyli 𝐷= (0, -1).\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐷𝐶 i wobec\n|𝐴𝐷| = 𝑑= 3√2 oraz |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 5√2 otrzymujemy |𝐶𝐷| = 4√2.\nNiech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1). Ponieważ |𝐶𝐷| = 4√2, więc\n√(𝑥𝐶)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2\na stąd\n2(𝑥𝐶)2 = 32\nZatem 𝑥𝐶\n2 = 16, czyli 𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy punkt 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶).\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐵𝐶| -|𝐶𝐷| = 5√2 -4√2 = √2. Zatem\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2\ni stąd 2(𝑥𝐵)2 = 2, czyli 𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -1.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-1, -2).\nGdy 𝐵= (1, 0), to wtedy 𝐶= (-4, -5), a gdy 𝐵= (-1, -2), to 𝐶= (4, 3), gdyż punkt\n𝐷 leży między punktami 𝐵 i 𝐶.\nPrzypadek 2. (gdy punkt 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶).\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵, 𝑥𝐵-1) .\nPonieważ 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷| + |𝐵𝐶| = 4√2 + 5√2 = 9√2. Zatem\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2\ni stąd 2(𝑥𝐵)2 = 81 ∙2, czyli 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -9.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (9, 8) lub 𝐵= (-9, -10).\nGdy 𝐵= (9, 8), to wtedy 𝐶= (4, 3), a gdy 𝐵= (-9, -10), to 𝐶= (-4, -5), gdyż punkt\n𝐵 leży między punktami 𝐷 i 𝐶.\nOstatecznie otrzymujemy cztery trójkąty spełniające warunki zadania o wierzchołkach\n𝐴= (-3, 2) oraz\n𝐵= (1, 0) i 𝐶= (-4, -5) lub\n𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (4, 3), lub\n𝐵= (9, 8) i 𝐶= (4, 3), lub\n𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (-4, -5).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nTrójkąt ma **4 rozwiązania** (dwie możliwe pozycje \\(C\\), a dla każdej - dwie możliwe pozycje \\(B\\)):\n\n- \\(C = (4, 3)\\), \\(B = (9, 8)\\) lub \\(B = (-1, -2)\\)\n- \\(C = (-4, -5)\\), \\(B = (1, 0)\\) lub \\(B = (-9, -10)\\)\n\n## Sposób 1 - geometryczny (wysokość → długość BC → okrąg)\n\n### Krok 1: Wysokość trójkąta z wierzchołka A na bok BC\n\nProsta zawierająca \\(BC\\) ma równanie \\(y = x - 1\\), czyli \\(x - y - 1 = 0\\).\n\nOdległość punktu \\(A = (-3, 2)\\) od tej prostej (wzór z Działu 11):\n\\[\nh = \\frac{|(-3) - 2 - 1|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-6|}{\\sqrt{2}} = \\frac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}\n\\]\n\nTa odległość jest zarazem **wysokością trójkąta** opuszczoną z \\(A\\) na bok \\(BC\\).\n\n### Krok 2: Wyznaczenie długości |BC| z pola\n\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h \\implies 15 = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot 3\\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|BC| = \\frac{30}{3\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\n\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie C z warunku |AC| = |BC|\n\nSkoro \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\), punkt \\(C\\) leży jednocześnie:\n- **na prostej** \\(y = x - 1\\)\n- **na okręgu** o środku \\(A = (-3, 2)\\) i promieniu \\(5\\sqrt{2}\\):\n\n\\[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 50\\]\n\nPodstawiamy \\(y = x - 1\\):\n\\[\n(x+3)^2 + (x - 1 - 2)^2 = 50\n\\]\n\\[\n(x+3)^2 + (x-3)^2 = 50\n\\]\n\\[\nx^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 50\n\\]\n\\[\n2x^2 + 18 = 50 \\implies x^2 = 16 \\implies x = 4 \\text{ lub } x = -4\n\\]\n\nStąd:\n- \\(x = 4 \\implies y = 3\\) → \\(\\mathbf{C_1 = (4, 3)}\\)\n- \\(x = -4 \\implies y = -5\\) → \\(\\mathbf{C_2 = (-4, -5)}\\)\n\n### Krok 4: Wyznaczenie B dla każdego C\n\nPunkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = x - 1\\) w odległości \\(5\\sqrt{2}\\) od \\(C\\).\n\nNiech \\(B = (t, t-1)\\). Wtedy:\n\\[\n|BC|^2 = (t - x_C)^2 + (t - 1 - (x_C - 1))^2 = 2(t - x_C)^2 = 50\n\\]\n\\[\n(t - x_C)^2 = 25 \\implies t - x_C = \\pm 5\n\\]\n\n**Dla \\(C_1 = (4, 3)\\):** \\(t = 4 + 5 = 9\\) lub \\(t = 4 - 5 = -1\\)\n- \\(\\mathbf{B_1 = (9, 8)}\\)\n- \\(\\mathbf{B_2 = (-1, -2)}\\)\n\n**Dla \\(C_2 = (-4, -5)\\):** \\(t = -4 + 5 = 1\\) lub \\(t = -4 - 5 = -9\\)\n- \\(\\mathbf{B_3 = (1, 0)}\\)\n- \\(\\mathbf{B_4 = (-9, -10)}\\)\n\n### Weryfikacja (przykładowo dla \\(C_1, B_1\\)):\n\\[\n|AC_1|^2 = (4+3)^2 + (3-2)^2 = 49 + 1 = 50 \\checkmark\n\\]\n\\[\n|B_1C_1|^2 = (9-4)^2 + (8-3)^2 = 25 + 25 = 50 \\checkmark\n\\]\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot 5\\sqrt{2} \\cdot 3\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = 15 \\checkmark\n\\]\n\n## Sposób 2 - algebraiczny (parametryzacja punktów na prostej)\n\nNiech \\(B = (b, b-1)\\) i \\(C = (c, c-1)\\) - oba punkty na prostej \\(y = x-1\\).\n\n### Warunek |AC| = |BC|:\n\n\\[\n|AC|^2 = (c+3)^2 + (c-3)^2 = 2c^2 + 18\n\\]\n\\[\n|BC|^2 = (c-b)^2 + (c-b)^2 = 2(c-b)^2\n\\]\n\nZ \\(|AC| = |BC|\\):\n\\[\n2c^2 + 18 = 2(c-b)^2 \\implies c^2 + 9 = (c-b)^2\n\\]\n\n### Warunek pola = 15:\n\nPole trójkąta \\(A(-3,2)\\), \\(B(b,b-1)\\), \\(C(c,c-1)\\) ze wzoru na pole z współrzędnych:\n\\[\nP = \\frac{1}{2}\\left|(b+3)(c-3) - (b-3)(c+3)\\right|\n\\]\n\\[\n= \\frac{1}{2}|{-6b + 6c}| = 3|c - b| = 15 \\implies |c-b| = 5\n\\]\n\n### Połączenie obu warunków:\n\nZ pola: \\(|c-b| = 5\\), czyli \\((c-b)^2 = 25\\).\n\nPodstawiamy do warunku |AC| = |BC|:\n\\[\nc^2 + 9 = 25 \\implies c^2 = 16 \\implies c = \\pm 4\n\\]\n\nDalej: \\(b = c \\pm 5\\) - po 2 wartości dla każdego \\(c\\).\n\nWyniki identyczne jak w Sposobie 1:\n\n| \\(C\\) | \\(B\\) (opcja 1) | \\(B\\) (opcja 2) |\n| \\((4, 3)\\) | \\((9, 8)\\) | \\((-1, -2)\\) |\n| \\((-4, -5)\\) | \\((1, 0)\\) | \\((-9, -10)\\) |\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości trójkąta (odległość \\(A\\) od prostej \\(y = x - 1\\)).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}\\]\nUżyliśmy przy weryfikacji \\(|AC| = |BC|\\) oraz przy wyznaczaniu \\(B\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do znalezienia punktu \\(C\\) będącego przecięciem okręgu z prostą.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyprowadzenia warunku \\(|c - b| = 5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **4 rozwiązania** - łatwo pominąć część z nich! Dla każdego \\(C\\) są dwie pozycje \\(B\\) (po obu stronach \\(C\\) na prostej), a \\(C\\) samo ma dwa możliwe punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając odległość punktu od prostej, trzeba najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z \\(y = x - 1\\) dostajemy \\(x - y - 1 = 0\\). Pomyłka w znakach tu jest bardzo częsta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\) - oznacza on, że to \\(C\\) jest wierzchołkiem przy ramionach. Gdyby zadanie mówiło \\(|AB| = |BC|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna!\n\n### Sposób 1. (odległość od prostej + długość BC)\n\n**Krok 1. Odległość \\(A\\) od prostej \\(x - y - 1 = 0\\).**\n\nZ karty wzorów (dział VIII Geometria analityczna):\n\n\\(d = \\dfrac{|1\\cdot(-3) + (-1)\\cdot 2 + (-1)|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \\dfrac{|-3-2-1|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}\\)\n\n\\(d\\) to wysokość trójkąta \\(ABC\\) prowadzona z \\(A\\) na bok \\(BC\\).\n\n**Krok 2. Długość \\(|BC|\\).**\n\nZ wzoru \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot|BC| = 15\\):\n\n\\(|BC| = \\dfrac{30}{3\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 3. Wyznaczenie \\(C\\).**\n\n\\(C = (x_C, x_C - 1)\\) (leży na prostej). Warunek \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\):\n\n\\(\\sqrt{(x_C+3)^2 + (x_C-1-2)^2} = 5\\sqrt{2}\\)\n\n\\((x_C+3)^2 + (x_C-3)^2 = 50\\)\n\n\\(x_C^2 + 6x_C + 9 + x_C^2 - 6x_C + 9 = 50\\)\n\n\\(2x_C^2 = 32\\), \\(x_C^2 = 16\\), \\(x_C = \\pm 4\\).\n\nZatem \\(C = (4, 3)\\) lub \\(C = (-4, -5)\\).\n\n**Krok 4. Wyznaczenie \\(B\\).**\n\n\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(|BC| = 5\\sqrt{2}\\).\n\n**Dla \\(C = (4, 3)\\):**\n\n\\(\\sqrt{(4-x_B)^2 + (3-(x_B-1))^2} = 5\\sqrt{2}\\)\n\n\\(2(4-x_B)^2 = 50\\), \\(|4-x_B| = 5\\), \\(x_B = -1\\) lub \\(x_B = 9\\).\n\n\\(B = (-1, -2)\\) lub \\(B = (9, 8)\\).\n\n**Dla \\(C = (-4, -5)\\):**\n\nAnalogicznie \\(|4+x_B| = 5\\), \\(x_B = 1\\) lub \\(x_B = -9\\).\n\n\\(B = (1, 0)\\) lub \\(B = (-9, -10)\\).\n\n**Odpowiedź:** 4 pary rozwiązań:\n- \\(C = (4, 3),\\; B = (-1, -2)\\)\n- \\(C = (4, 3),\\; B = (9, 8)\\)\n- \\(C = (-4, -5),\\; B = (1, 0)\\)\n- \\(C = (-4, -5),\\; B = (-9, -10)\\)\n\n### Sposób 2. (wzór na pole + warunek równoramienności)\n\n\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(C = (x_C, x_C-1)\\). Z wzoru na pole trójkąta (karta wzorów):\n\n\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|\\)\n\n\\(15 = \\dfrac{1}{2}|(x_B+3)(x_C-3) - (x_B-3)(x_C+3)|\\)\n\nRozwijając: \\(15 = \\dfrac{1}{2}|6x_C - 6x_B|\\), czyli \\(|x_C - x_B| = 5\\).\n\nWarunek \\(|AC| = |BC|\\): \\(\\sqrt{(x_C+3)^2+(x_C-3)^2} = \\sqrt{(x_C-x_B)^2+(x_C-x_B)^2}\\)\n\n\\((x_C+3)^2+(x_C-3)^2 = 2(x_C-x_B)^2 = 2\\cdot 25 = 50\\)\n\n\\(2x_C^2+18 = 50\\), \\(x_C = \\pm 4\\). Dalej jak wyżej.\n\n**Trik:** W zadaniu \"pole + równoramienność\" zawsze liczymy wysokość jako odległość \\(A\\) od \\(BC\\), potem długość \\(BC\\), a na końcu z warunku \\(|AC|=|BC|\\) szukamy \\(C\\). Pamiętaj że \\(B\\) daje 2 rozwiązania (po obu stronach \\(C\\)) - w sumie 4 pary!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-6)\n- **1 pkt**: \\(d = 3\\sqrt{2}\\) lub zapisanie \\(B, C\\) parametrycznie, lub zapisanie warunków.\n- **2 pkt**: \\(|BC| = 5\\sqrt{2}\\), \\(d = 3\\sqrt{2}\\).\n- **3 pkt**: równanie na \\(x_C\\): \\((x_C+3)^2+(x_C-3)^2 = 50\\).\n- **4 pkt**: zapisanie jednego z równań pozwalających wyznaczyć \\(C\\) lub \\(B\\).\n- **5 pkt**: brak utożsamień + spełnienie jednego z warunków (np. odcięte dwóch punktów \\(C\\), lub czterech punktów \\(B\\) itp.).\n- **6 pkt**: wszystkie 4 pary punktów.\n\n**UWAGA:** Rozpatrywanie \\(|AB|=|AC|\\) zamiast \\(|AC|=|BC|\\) = max **1 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Punkt 𝐴= (-3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.
Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok 𝐵𝐶 zawarty jest w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1.
Oblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.

\n

EMAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Punkt A=(-3,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x-1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
P8.3) wyznacza równanie prostej, która jest
równoległa lub prostopadła do prostej danej
w postaci kierunkowej i przechodzi przez
dany punkt;
P8.6) oblicza odległość dwóch punktów;
R8.1) oblicza odległość punktu od prostej;
R8.4) oblicza współrzędne oraz długość
wektora […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
obliczy odległość punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2
ALBO
gdy zapisze współrzędne punktu 𝐵 lub 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.
𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1), 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1),
ALBO
zapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 wynikające z warunków zadania,
np.
1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15
LUB
√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1 oraz obliczy długości
odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 5√2, 𝑑= 3√2
ALBO
zapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.
1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15
LUB
√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2
ALBO
wyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆, w którym współczynniki są zależne od 𝑥𝐵:
𝑦-
𝑥𝐵+1
2
𝑥𝐵+3
𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-
𝑥𝐵-3
2 ) (sposób 3.),
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO
zapisze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 , np.
1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15
i √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2 .
Zdający otrzymuje 3 pkt
gdy:
zapisze równanie, w którym niewiadomymi są współrzędne 𝑥𝐶 oraz 𝑦𝐶 punktu 𝐶,
np. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = 5√2
ALBO
wyznaczy odległość 𝐴𝐶 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu 𝐶:
|𝐴𝐶| = √(𝑥𝐶-(-3))
2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 oraz obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od
prostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2,
ALBO
zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.
1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15
i √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 ,
ALBO
wyznaczy współrzędne punktu 𝐶 w zależności od 𝑥𝐵:
𝐶= (
𝑥𝐵
2-9
2𝑥𝐵,
𝑥𝐵
2-2𝑥𝐵-9
2𝑥𝐵
) (sposób 3.),
ALBO
zapisze jedno z równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑦𝐵 :
√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = √2 lub √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = 9√2 (sposób 4.),
ALBO
zapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐶 i 𝑦𝐶 :
√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = 4√2 (sposób 4.).
Zdający otrzymuje 4 pkt
gdy:
zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające wyznaczyć współrzędne
punktu 𝐶 lub punktu 𝐵, np. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2
LUB
√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2,
LUB
√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2
ALBO
zapisze równanie z niewiadomą 𝑥𝐵:
((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((
𝑥𝐵
2-9
2𝑥𝐵-
𝑥𝐵-3
2 )
2

\n\n

𝑥𝐵
2-2𝑥𝐵-9
2𝑥𝐵
𝑥𝐵+1
2 )
2
) = 900 (sposób 3.),
ALBO
zapisze dwa równania z niewiadomą 𝑥𝐵:
√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2 i √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2 (sposób 4.).
Zdający otrzymuje 5 pkt
gdy nie utożsamia żadnego wierzchołka 𝐵 z żadnym z wierzchołków 𝐶 (ani 𝐶 z 𝐵) oraz
spełni jeden z poniższych warunków:

\n
  1. obliczy odcięte punktów 𝐶1 i 𝐶2
  2. obliczy odcięte punktów 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4
  3. obliczy odciętą jednego z punktów 𝐶 i odcięte odpowiadających temu punktowi
\n

dwóch punktów 𝐵

\n
  1. obliczy odcięte dwóch punktów 𝐵 i odcięte punktów 𝐶, odpowiadających tym
\n

punktom 𝐵.
Zdający otrzymuje 6 pkt
gdy obliczy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze te punkty w odpowiednich parach:
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający obliczy długości odcinków 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 i 𝐶𝐷 (punkt 𝐷 jest rzutem
\n

prostokątnym punktu 𝐴 na prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1) i odczyta współrzędne
punktu 𝐶 z rysunku, gubiąc jedno rozwiązanie, to otrzymuje 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający rozważa trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|, to za całe
\n

rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za obliczenie odległości punktu 𝐴 od
prostej 𝐵𝐶 lub zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 (lub 𝐶) za pomocą jednej zmiennej,
lub zapisanie równania 1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15), o ile nie
nabył praw do innej punktacji.

\n
  1. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd merytoryczny (np. zamiana miejscami
\n

współrzędnych punktu, błędne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej,
błędne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, stosowanie nieistniejącego wzoru
√𝑡+ 𝑢= √𝑡+ √𝑢, błędnie zapisana równość wynikająca z twierdzenia Pitagorasa)
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd rachunkowy, w konsekwencji którego otrzymuje
\n

dwie pary punktów, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.

\n
  1. Jeśli zdający narysuje w układzie współrzędnych prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zaznaczy
\n

punkt 𝐴 oraz jedną parę punktów 𝐵 i 𝐶 i na tej podstawie zapisze współrzędne
wierzchołków 𝐵 i 𝐶 jednego z trójkątów spełniających warunki zadania oraz sprawdzi
rachunkiem, że pole tego trójkąta jest równe 15, to otrzymuje 1 punkt.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Obliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0: 𝑑=
|-3-2-1|
√2
= 3√2.
Obliczona odległość 𝑑 jest równa wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴
na bok 𝐵𝐶.
Obliczamy długość boku |𝐵𝐶|:
𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅𝑑⋅|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| = 2𝑃Δ𝐴𝐵𝐶
𝑑
= 5√2
Niech 𝑥𝐶 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐶. Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu
𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).
Korzystając z warunku |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| oraz ze wzoru na długość odcinka, otrzymujemy
kolejno
√(𝑥𝐶-(-3))
2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 = 5√2
√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2
𝑥𝐶
2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶
2 -6𝑥𝐶+ 9 = 50
2𝑥𝐶
2 -32 = 0
2(𝑥𝐶-4)(𝑥𝐶+ 4) = 0
𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4
Zatem 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).
Niech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu
𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).
Ponieważ |𝐵𝐶| = 5√2, więc dla 𝐶= (4, 3) otrzymujemy
√(4 -𝑥𝐵)2 + (3 -(𝑥𝐵-1))
2 = 5√2
√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2
2 ⋅(4 -𝑥𝐵)2 = 50
|4 -𝑥𝐵| = 5
𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= 9
Zatem 𝐵= (-1, -2) lub 𝐵= (9, 8).
Obliczamy współrzędne punktu 𝐵 dla 𝐶= (-4, -5):
|𝐵𝐶| = 5√2
√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-5 -(𝑥𝐵-1))
2 = 5√2
√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-4 -𝑥𝐵)2 = 5√2
2 ⋅(-4 -𝑥𝐵)2 = 50
|4 + 𝑥𝐵| = 5
𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -9
Zatem 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-9, -10).
Warunki zadania spełniają cztery pary punktów:
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).
Uwaga:
Współrzędne punktu 𝐶 możemy otrzymać, rozwiązując układ równań
{ 𝑦= 𝑥-1
(𝑥+ 3)2 + (𝑦-2)2 = 50
Sposób 2.
Punkty 𝐵 i 𝐶 leżą na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1) oraz
𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|
i uwzględniamy warunek 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 15:
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-1 -2) -(𝑥𝐵-1 -2) ∙(𝑥𝐶+ 3)|
15 = 1
2 |6𝑥𝐶-6𝑥𝐵|
5 = |𝑥𝐶-𝑥𝐵|
Stąd i z tego, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, otrzymujemy układ równań
{ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|
|𝑥𝐶-𝑥𝐵| = 5
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem
(1) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2
𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5
lub
(2) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2
𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5
Rozwiązujemy układ równań (1):
{ 𝑥𝐶
2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶
2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52
𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5
Z pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶
2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4
lub 𝑥𝐶= -4.
Obliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.
Dla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2).
Dla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).
Rozwiązujemy układ równań (2):
{ 𝑥𝐶
2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶
2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52
𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5
Z pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶
2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4
lub 𝑥𝐶= -4.
Obliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.
Dla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8).
Dla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0).
Warunki zadania spełniają cztery pary punktów:
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz
𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz
𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).
Sposób 3.
Niech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu
𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1). Środek 𝑆 podstawy 𝐴𝐵 ma współrzędne
𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐵
2
, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵
2
) = (-3 + 𝑥𝐵
2
, 2 + 𝑥𝐵-1
2
) = (𝑥𝐵-3
2
, 𝑥𝐵+ 1
2
)
Jeśli 𝑥𝐵= 𝑥𝐴= -3, to wtedy 𝑆= (-3-3
2
, -3+1
2
) = (-3, -1), prosta 𝐴𝐵 ma równanie
𝑥= -3, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma
równanie 𝑦= -1. Wobec tego 𝐶= (𝑥𝐶 , -1). Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu
𝑦= 𝑥-1, więc -1 = 𝑥𝐶-1, czyli 𝑥𝐶= 0. Zatem 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta
𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość |𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest
wtedy równe
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1
2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15
Zatem 𝑥𝐵≠-3, co oznacza, że prostą 𝐴𝐵 można opisać równaniem kierunkowym.
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴
𝑥𝐵-𝑥𝐴
= 𝑥𝐵-1 -2
𝑥𝐵-(-3) = 𝑥𝐵-3
𝑥𝐵+ 3
Jeśli 𝑥𝐵= 3, to wtedy 𝑆= (3-3
2 , 3+1
2 ) = (0, 2), 𝑦𝐵= 2 i prosta 𝐴𝐵 ma równanie
𝑦= 2, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma
równanie 𝑥= 0. Wobec tego 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość
|𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest wtedy równe
𝑃𝐴𝐵𝐶= 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1
2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15
Zatem 𝑥𝐵≠3.
Prosta 𝑆𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐶 jest
równy
𝑎𝑆𝐶= -𝑥𝐵+ 3
𝑥𝐵-3
Zatem równanie prostej 𝑆𝐶 ma postać
𝑦-𝑦𝑆= 𝑎𝑆𝐶(𝑥-𝑥𝑆)
𝑦-𝑥𝐵+ 1
2
= -𝑥𝐵+ 3
𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-𝑥𝐵-3
2
)
𝑦= -𝑥𝐵+ 3
𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2
Wyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań {
𝑦= 𝑥-1
𝑦= -
𝑥𝐵+3
𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2
Stąd
(𝑥𝐵+ 3
𝑥𝐵-3 + 1) ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3
2𝑥𝐵
𝑥𝐵-3 ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3
Gdy 𝑥𝐵= 0, to równanie jest sprzeczne, więc 𝑥𝐵≠0. Możemy zatem podzielić obie strony
równania przez 2𝑥𝐵
𝑥𝐵-3 , otrzymując
𝑥= (𝑥𝐵+ 3) ⋅(𝑥𝐵-3)
2𝑥𝐵
= 𝑥𝐵
2 -9
2𝑥𝐵
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem 𝑦=
(𝑥𝐵)2 -9
2𝑥𝐵
-1 =
(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9
2𝑥𝐵
, czyli 𝐶= (
(𝑥𝐵)2 -9
2𝑥𝐵
,
(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9
2𝑥𝐵
).
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1
2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 15 i stąd otrzymujemy kolejno
|𝐴𝐵|2 ⋅|𝑆𝐶|2 = 900
((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((
𝑥𝐵
2-9
2𝑥𝐵-
𝑥𝐵-3
2 )
2

\n\n

𝑥𝐵
2-2𝑥𝐵-9
2𝑥𝐵
𝑥𝐵+1
2 )
2
) = 900
(2𝑥𝐵
2 + 18) ((
𝑥𝐵
2-9-𝑥𝐵
2+3𝑥𝐵
2𝑥𝐵
)
2

\n\n

𝑥𝐵
2-2𝑥𝐵-9-𝑥𝐵
2-𝑥𝐵
2𝑥𝐵
)
2
) = 900
2(𝑥𝐵
2 + 9) (
9
4 (
𝑥𝐵-3
𝑥𝐵)
2
9
4 (
𝑥𝐵+3
𝑥𝐵)
2
) = 900
(𝑥𝐵
2 + 9) ((
𝑥𝐵-3
𝑥𝐵)
2

\n\n

𝑥𝐵+3
𝑥𝐵)
2
) = 200
(𝑥𝐵
2 + 9) (
𝑥𝐵
2-6𝑥𝐵+9+𝑥𝐵
2+6𝑥𝐵+9
𝑥𝐵
2
) = 200
(𝑥𝐵
2 + 9) (
2𝑥𝐵
2+18
𝑥𝐵
2
) = 200
2
𝑥𝐵
2 (𝑥𝐵
2 + 9)2 = 200
(𝑥𝐵
2 + 9)2 = 100𝑥𝐵
2
(𝑥𝐵
2 + 9)2 -(10𝑥𝐵)2 = 0
(𝑥𝐵
2 + 9 -10𝑥𝐵)(𝑥𝐵
2 + 9 + 10𝑥𝐵) = 0
(𝑥𝐵
2 -10𝑥𝐵+ 9)(𝑥𝐵
2 + 10𝑥𝐵+ 9) = 0
(𝑥𝐵-1)(𝑥𝐵-9)(𝑥𝐵+ 1)(𝑥𝐵+ 9) = 0
𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= -9
Gdy 𝑥𝐵= 1, to 𝐵= (1, 0) i 𝐶= (
12-9
2⋅1 ,
12-2⋅1 -9
2⋅1
) = (-4, -5).
Gdy 𝑥𝐵= 9, to 𝐵= (9, 8) i 𝐶= (
92-9
2⋅9 ,
92-2⋅9 -9
2⋅9
) = (4, 3).
Gdy 𝑥𝐵= -1, to 𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (
(-1)2-9
2⋅(-1) ,
(-1)2-2⋅(-1) -9
2⋅(-1)
) = (4, 3).
Gdy 𝑥𝐵= -9, to 𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (
(-9)2-9
2⋅(-9) ,
(-9)2-2⋅(-9) -9
2⋅(-9)
) = (-4, -5).
Sposób 4.
Obliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴= (-3, 2) od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0:
𝑑=
|-3 -2 -1|
√2
= 3√2
Obliczona odległość jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną na prostą 𝐵𝐶. Ponieważ
pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1
2 ∙𝑑∙|𝐵𝐶| = 15 i stąd |𝐵𝐶| = 30
3√2 = 5√2.
Niech 𝐷 oznacza spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej na prostą 𝐵𝐶.
Obliczamy współrzędne punktu 𝐷.
Prosta prostopadła do prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, przechodząca przez punkt 𝐴, jest
określona równaniem 𝑦-2 = -(𝑥+ 3), czyli 𝑦= -𝑥-1.
Punkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷, zatem
𝑥-1 = -𝑥-1
więc 𝑥= 0 i 𝑦= 0 -1 = -1, czyli 𝐷= (0, -1).
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐷𝐶 i wobec
|𝐴𝐷| = 𝑑= 3√2 oraz |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 5√2 otrzymujemy |𝐶𝐷| = 4√2.
Niech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1). Ponieważ |𝐶𝐷| = 4√2, więc
√(𝑥𝐶)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2
a stąd
2(𝑥𝐶)2 = 32
Zatem 𝑥𝐶
2 = 16, czyli 𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4.
Otrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).
Należy rozważyć dwa przypadki.
Przypadek 1. (gdy punkt 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶).
Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ponieważ 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐵𝐶| -|𝐶𝐷| = 5√2 -4√2 = √2. Zatem
√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2
i stąd 2(𝑥𝐵)2 = 2, czyli 𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -1.
Otrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-1, -2).
Gdy 𝐵= (1, 0), to wtedy 𝐶= (-4, -5), a gdy 𝐵= (-1, -2), to 𝐶= (4, 3), gdyż punkt
𝐷 leży między punktami 𝐵 i 𝐶.
Przypadek 2. (gdy punkt 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶).
Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵, 𝑥𝐵-1) .
Ponieważ 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷| + |𝐵𝐶| = 4√2 + 5√2 = 9√2. Zatem
√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2
i stąd 2(𝑥𝐵)2 = 81 ∙2, czyli 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -9.
Otrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (9, 8) lub 𝐵= (-9, -10).
Gdy 𝐵= (9, 8), to wtedy 𝐶= (4, 3), a gdy 𝐵= (-9, -10), to 𝐶= (-4, -5), gdyż punkt
𝐵 leży między punktami 𝐷 i 𝐶.
Ostatecznie otrzymujemy cztery trójkąty spełniające warunki zadania o wierzchołkach
𝐴= (-3, 2) oraz
𝐵= (1, 0) i 𝐶= (-4, -5) lub
𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (4, 3), lub
𝐵= (9, 8) i 𝐶= (4, 3), lub
𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (-4, -5).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Trójkąt ma 4 rozwiązania (dwie możliwe pozycje \\(C\\), a dla każdej - dwie możliwe pozycje \\(B\\)):

\n\n

Sposób 1 - geometryczny (wysokość → długość BC → okrąg)

\n
Krok 1: Wysokość trójkąta z wierzchołka A na bok BC
\n

Prosta zawierająca \\(BC\\) ma równanie \\(y = x - 1\\), czyli \\(x - y - 1 = 0\\).

\n

Odległość punktu \\(A = (-3, 2)\\) od tej prostej (wzór z Działu 11):
\\[
h = \\frac{|(-3) - 2 - 1|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-6|}{\\sqrt{2}} = \\frac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}
\\]

\n

Ta odległość jest zarazem wysokością trójkąta opuszczoną z \\(A\\) na bok \\(BC\\).

\n
Krok 2: Wyznaczenie długości |BC| z pola
\n

\\[
P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h \\implies 15 = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot 3\\sqrt{2}
\\]
\\[
|BC| = \\frac{30}{3\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}
\\]

\n
Krok 3: Wyznaczenie C z warunku |AC| = |BC|
\n

Skoro \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\), punkt \\(C\\) leży jednocześnie:

\n\n

\\[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 50\\]

\n

Podstawiamy \\(y = x - 1\\):
\\[
(x+3)^2 + (x - 1 - 2)^2 = 50
\\]
\\[
(x+3)^2 + (x-3)^2 = 50
\\]
\\[
x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 50
\\]
\\[
2x^2 + 18 = 50 \\implies x^2 = 16 \\implies x = 4 \\text{ lub } x = -4
\\]

\n

Stąd:

\n\n
Krok 4: Wyznaczenie B dla każdego C
\n

Punkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = x - 1\\) w odległości \\(5\\sqrt{2}\\) od \\(C\\).

\n

Niech \\(B = (t, t-1)\\). Wtedy:
\\[
|BC|^2 = (t - x_C)^2 + (t - 1 - (x_C - 1))^2 = 2(t - x_C)^2 = 50
\\]
\\[
(t - x_C)^2 = 25 \\implies t - x_C = \\pm 5
\\]

\n

Dla \\(C_1 = (4, 3)\\): \\(t = 4 + 5 = 9\\) lub \\(t = 4 - 5 = -1\\)

\n\n

Dla \\(C_2 = (-4, -5)\\): \\(t = -4 + 5 = 1\\) lub \\(t = -4 - 5 = -9\\)

\n\n
Weryfikacja (przykładowo dla \\(C_1, B_1\\)):
\n

\\[
|AC_1|^2 = (4+3)^2 + (3-2)^2 = 49 + 1 = 50 \\checkmark
\\]
\\[
|B_1C_1|^2 = (9-4)^2 + (8-3)^2 = 25 + 25 = 50 \\checkmark
\\]
\\[
P = \\frac{1}{2} \\cdot 5\\sqrt{2} \\cdot 3\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = 15 \\checkmark
\\]

\n

Sposób 2 - algebraiczny (parametryzacja punktów na prostej)

\n

Niech \\(B = (b, b-1)\\) i \\(C = (c, c-1)\\) - oba punkty na prostej \\(y = x-1\\).

\n
Warunek |AC| = |BC|:
\n

\\[
|AC|^2 = (c+3)^2 + (c-3)^2 = 2c^2 + 18
\\]
\\[
|BC|^2 = (c-b)^2 + (c-b)^2 = 2(c-b)^2
\\]

\n

Z \\(|AC| = |BC|\\):
\\[
2c^2 + 18 = 2(c-b)^2 \\implies c^2 + 9 = (c-b)^2
\\]

\n
Warunek pola = 15:
\n

Pole trójkąta \\(A(-3,2)\\), \\(B(b,b-1)\\), \\(C(c,c-1)\\) ze wzoru na pole z współrzędnych:
\\[
P = \\frac{1}{2}\\left|(b+3)(c-3) - (b-3)(c+3)\\right|
\\]
\\[
= \\frac{1}{2}|{-6b + 6c}| = 3|c - b| = 15 \\implies |c-b| = 5
\\]

\n
Połączenie obu warunków:
\n

Z pola: \\(|c-b| = 5\\), czyli \\((c-b)^2 = 25\\).

\n

Podstawiamy do warunku |AC| = |BC|:
\\[
c^2 + 9 = 25 \\implies c^2 = 16 \\implies c = \\pm 4
\\]

\n

Dalej: \\(b = c \\pm 5\\) - po 2 wartości dla każdego \\(c\\).

\n

Wyniki identyczne jak w Sposobie 1:

\n

| \\(C\\) | \\(B\\) (opcja 1) | \\(B\\) (opcja 2) |
| \\((4, 3)\\) | \\((9, 8)\\) | \\((-1, -2)\\) |
| \\((-4, -5)\\) | \\((1, 0)\\) | \\((-9, -10)\\) |

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - odległość punktu od prostej:
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia wysokości trójkąta (odległość \\(A\\) od prostej \\(y = x - 1\\)).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość odcinka:
\\[|BC| = \\sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}\\]
Użyliśmy przy weryfikacji \\(|AC| = |BC|\\) oraz przy wyznaczaniu \\(B\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do znalezienia punktu \\(C\\) będącego przecięciem okręgu z prostą.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - pole trójkąta ze współrzędnych:
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyprowadzenia warunku \\(|c - b| = 5\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie ma 4 rozwiązania - łatwo pominąć część z nich! Dla każdego \\(C\\) są dwie pozycje \\(B\\) (po obu stronach \\(C\\) na prostej), a \\(C\\) samo ma dwa możliwe punkty.
\n
⚠️ Uwaga: Obliczając odległość punktu od prostej, trzeba najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z \\(y = x - 1\\) dostajemy \\(x - y - 1 = 0\\). Pomyłka w znakach tu jest bardzo częsta.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\) - oznacza on, że to \\(C\\) jest wierzchołkiem przy ramionach. Gdyby zadanie mówiło \\(|AB| = |BC|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna!
\n
Sposób 1. (odległość od prostej + długość BC)
\n

Krok 1. Odległość \\(A\\) od prostej \\(x - y - 1 = 0\\).

\n

Z karty wzorów (dział VIII Geometria analityczna):

\n

\\(d = \\dfrac{|1\\cdot(-3) + (-1)\\cdot 2 + (-1)|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \\dfrac{|-3-2-1|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}\\)

\n

\\(d\\) to wysokość trójkąta \\(ABC\\) prowadzona z \\(A\\) na bok \\(BC\\).

\n

Krok 2. Długość \\(|BC|\\).

\n

Z wzoru \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot|BC| = 15\\):

\n

\\(|BC| = \\dfrac{30}{3\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).

\n

Krok 3. Wyznaczenie \\(C\\).

\n

\\(C = (x_C, x_C - 1)\\) (leży na prostej). Warunek \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\):

\n

\\(\\sqrt{(x_C+3)^2 + (x_C-1-2)^2} = 5\\sqrt{2}\\)

\n

\\((x_C+3)^2 + (x_C-3)^2 = 50\\)

\n

\\(x_C^2 + 6x_C + 9 + x_C^2 - 6x_C + 9 = 50\\)

\n

\\(2x_C^2 = 32\\), \\(x_C^2 = 16\\), \\(x_C = \\pm 4\\).

\n

Zatem \\(C = (4, 3)\\) lub \\(C = (-4, -5)\\).

\n

Krok 4. Wyznaczenie \\(B\\).

\n

\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(|BC| = 5\\sqrt{2}\\).

\n

Dla \\(C = (4, 3)\\):

\n

\\(\\sqrt{(4-x_B)^2 + (3-(x_B-1))^2} = 5\\sqrt{2}\\)

\n

\\(2(4-x_B)^2 = 50\\), \\(|4-x_B| = 5\\), \\(x_B = -1\\) lub \\(x_B = 9\\).

\n

\\(B = (-1, -2)\\) lub \\(B = (9, 8)\\).

\n

Dla \\(C = (-4, -5)\\):

\n

Analogicznie \\(|4+x_B| = 5\\), \\(x_B = 1\\) lub \\(x_B = -9\\).

\n

\\(B = (1, 0)\\) lub \\(B = (-9, -10)\\).

\n

Odpowiedź: 4 pary rozwiązań:

\n\n
Sposób 2. (wzór na pole + warunek równoramienności)
\n

\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(C = (x_C, x_C-1)\\). Z wzoru na pole trójkąta (karta wzorów):

\n

\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|\\)

\n

\\(15 = \\dfrac{1}{2}|(x_B+3)(x_C-3) - (x_B-3)(x_C+3)|\\)

\n

Rozwijając: \\(15 = \\dfrac{1}{2}|6x_C - 6x_B|\\), czyli \\(|x_C - x_B| = 5\\).

\n

Warunek \\(|AC| = |BC|\\): \\(\\sqrt{(x_C+3)^2+(x_C-3)^2} = \\sqrt{(x_C-x_B)^2+(x_C-x_B)^2}\\)

\n

\\((x_C+3)^2+(x_C-3)^2 = 2(x_C-x_B)^2 = 2\\cdot 25 = 50\\)

\n

\\(2x_C^2+18 = 50\\), \\(x_C = \\pm 4\\). Dalej jak wyżej.

\n

Trik: W zadaniu "pole + równoramienność" zawsze liczymy wysokość jako odległość \\(A\\) od \\(BC\\), potem długość \\(BC\\), a na końcu z warunku \\(|AC|=|BC|\\) szukamy \\(C\\). Pamiętaj że \\(B\\) daje 2 rozwiązania (po obu stronach \\(C\\)) - w sumie 4 pary!

\n
Uwagi o punktacji
\n

(0-6)

\n\n

UWAGA: Rozpatrywanie \\(|AB|=|AC|\\) zamiast \\(|AC|=|BC|\\) = max 1 pkt.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$C = (4, 3)$ i $B = (-1, -2)$ oraz $C = (4, 3)$ i $B = (9, 8)$ oraz $C = (-4, -5)$ i $B = (1, 0)$ oraz $C = (-4, -5)$ i $B = (-9, -10)$

"}]}