{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nJeżeli cos 𝛽= -1\n3 i 𝛽∈(𝜋, 3\n2 𝜋), to wartość wyrażenia sin (𝛽-1\n3 𝜋) jest równa\nA. -2√2+√3\n6\nB. 2√6+1\n6\nC. 2√2+√3\n6\nD. 1-2√6\n6\nJeżeli cosβ = -1/3 i β∈(π,3/2π), to wartość wyrażenia sin(β -1/3π) jest równa A. -2√2+√3/6 B. 2√6+1/6 C. 2√2+√3/6 D. 1-2√6/6.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR6.5) stosuje wzory na sinus […] różnicy\nkątów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWartość wyrażenia \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\dfrac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus różnicy kątów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\) z jedynki trygonometrycznej.**\n\n\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\]\n\\[\\sin^2\\beta = 1 - \\cos^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{1}{9} = \\frac{8}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3}{2}\\pi\\right)\\) - to **III ćwiartka**, gdzie sinus jest ujemny:\n\\[\\sin\\beta = -\\sqrt{\\frac{8}{9}} = -\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\) wzorem na sinus różnicy.**\n\n\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta \\cdot \\cos\\frac{\\pi}{3} - \\cos\\beta \\cdot \\sin\\frac{\\pi}{3}\\]\n\nWartości tablicowe:\n\\[\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy.**\n\n\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\left(-\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right) \\cdot \\frac{1}{2} - \\left(-\\frac{1}{3}\\right) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[= -\\frac{2\\sqrt{2}}{6} + \\frac{\\sqrt{3}}{6}\\]\n\n\\[\\boxed{= \\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nSprawdzamy, czy wynik ma sens liczbowo.\n\nSkoro \\(\\cos\\beta = -\\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\beta \\in (\\pi, \\frac{3}{2}\\pi)\\), zapiszmy \\(\\beta = \\pi + \\alpha\\), gdzie \\(\\alpha \\in (0, \\frac{\\pi}{2})\\):\n\n\\[\\cos(\\pi + \\alpha) = -\\cos\\alpha = -\\frac{1}{3} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3} \\implies \\alpha = \\arccos\\frac{1}{3} \\approx 1{,}2310 \\text{ rad}\\]\n\nZatem:\n\\[\\beta \\approx \\pi + 1{,}2310 \\approx 4{,}3726 \\text{ rad}\\]\n\n\\[\\beta - \\frac{\\pi}{3} \\approx 4{,}3726 - 1{,}0472 \\approx 3{,}3254 \\text{ rad}\\]\n\n\\[\\sin(3{,}3254) \\approx -0{,}1827\\]\n\nSprawdzamy odpowiedź A:\n\\[\\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6} = \\frac{1{,}7321 - 2{,}8284}{6} \\approx \\frac{-1{,}0963}{6} \\approx -0{,}1827 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(|\\sin\\beta|\\).\n\nWzór na sinus różnicy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nTo serce całego rozwiązania - Krok 2.\n\nWartości dla kąta \\(\\frac{\\pi}{3} = 60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\qquad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyte przy podstawianiu w Kroku 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Przyjęto \\(\\sin\\beta = +\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\) - zapomniano, że III ćwiartka daje **ujemny** sinus. Wynik: \\(\\dfrac{-\\sqrt{3} + 2\\sqrt{2}}{6} = \\dfrac{2\\sqrt{2} - \\sqrt{3}}{6}\\) |\n| C | Pomylono wzór: użyto sumy zamiast różnicy, tj. \\(\\sin\\!\\left(\\beta + \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\). Wynik ma inne znaki |\n| D | Jednocześnie zły znak \\(\\sin\\beta\\) **i** wzór sumy - podwójny błąd, który daje pozornie „ładną\" liczbę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W III ćwiartce **oba**: sinus i cosinus są ujemne. Tu cosinus jest dany (\\(-\\frac{1}{3}\\)), więc łatwo zapomnieć dodać minus do \\(\\sin\\beta\\) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na sinus różnicy: \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta \\mathbf{-} \\cos\\alpha\\sin\\beta\\) - minus między wyrazami, nie plus! Pomylenie ze wzorem na sumę zmienia wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\(\\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = \\frac{1}{9}\\), a nie \\(-\\frac{1}{9}\\). Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni!\n\n### Sposób 1. (wzór na sinus różnicy kątów)\n\nZ karty wzorów (dział IX Trygonometria): \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\). Z tożsamości \\(\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\):\n\\(\\sin^2\\beta = 1 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{8}{9}\\), więc \\(\\sin\\beta = \\pm\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\nPonieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3\\pi}{2}\\right)\\) (III ćwiartka), to \\(\\sin\\beta < 0\\), zatem \\(\\sin\\beta = -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n**Krok 2.** Znamy wartości dla \\(\\dfrac{\\pi}{3}\\): \\(\\cos\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\sin\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Krok 3.** Stosujemy wzór:\n\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\beta\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3} \\cdot \\dfrac{1}{2} - \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{6} + \\dfrac{\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n### Sposób 2. (sprowadzenie do kąta ostrego)\n\nNiech \\(\\beta = \\pi + \\gamma\\), gdzie \\(\\gamma \\in \\left(0, \\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\). Wtedy \\(\\cos\\beta = -\\cos\\gamma = -\\dfrac{1}{3}\\), czyli \\(\\cos\\gamma = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\left(\\pi + \\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\sin\\left(\\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\)\n\n\\(= -\\left(\\sin\\gamma\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\gamma\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n**Trik:** Ustalenie znaku sinusa wymaga uwzględnienia ćwiartki! III ćwiartka to ujemny sin i ujemny cos. Zawsze rysuj okrąg trygonometryczny przy zadaniach z przedziałami.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A. 0 pkt inaczej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej i rozwiązywanie równania trygonometrycznego\nRozważmy równanie cos(β) = -[1]i³ . Znamy tożsamość i³ = -1, więc cos(β) = -(-1) = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ szukamy rozwiązania w przedziale (π, 2π), wybieramy k = 1, więc β = 2π. Teraz musimy obliczyć wartość sin(β - 3π). Ponieważ β = 2π, to sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. Jednakże, aby uzyskać odpowiedź A, musimy znaleźć rozwiązanie, które da nam -2√2 + √3 / 6. Zatem, musimy zastosować inne podejście.\n\nZnamy cos(β) = 1, więc β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. To nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\n\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nPonieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:\n\nsin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy, ale inaczej:\n\nsin(β - 3π) = sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1.\n\nZatem, -2√2 + √3 / 6 jest błędną interpretacją.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\n\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nPonieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:\n\nsin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.\n\nMusimy jednak pamiętać, że cos(β) = 1, a β jest w przedziale (π, 2π). Wtedy β = 2π - 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π - 2kπ) = sin(-π - 2kπ) = sin(-π(1+2k)).\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\n**📖 Karta wzorów:** 1, strona 15 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sinus różnicy i manipulacja wyrażeniami\nZnamy cos(β) = -i³ = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ β jest w przedziale (π, 2π), to β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1. Musimy teraz sprawdzić, czy -1 jest równy -2√2 + √3 / 6. To nie jest prawdą.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π)","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Jeżeli cos 𝛽= -1<br>3 i 𝛽∈(𝜋, 3<br>2 𝜋), to wartość wyrażenia sin (𝛽-1<br>3 𝜋) jest równa<br>A. -2√2+√3<br>6<br>B. 2√6+1<br>6<br>C. 2√2+√3<br>6<br>D. 1-2√6<br>6<br>Jeżeli cosβ = -1/3 i β∈(π,3/2π), to wartość wyrażenia sin(β -1/3π) jest równa A. -2√2+√3/6 B. 2√6+1/6 C. 2√2+√3/6 D. 1-2√6/6.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R6.5) stosuje wzory na sinus […] różnicy<br>kątów […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Wartość wyrażenia \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\dfrac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - wzór na sinus różnicy kątów</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\) z jedynki trygonometrycznej.</strong></p>\n<p>\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\]<br>\\[\\sin^2\\beta = 1 - \\cos^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{1}{9} = \\frac{8}{9}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3}{2}\\pi\\right)\\) - to <strong>III ćwiartka</strong>, gdzie sinus jest ujemny:<br>\\[\\sin\\beta = -\\sqrt{\\frac{8}{9}} = -\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Rozkładamy \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\) wzorem na sinus różnicy.</strong></p>\n<p>\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta \\cdot \\cos\\frac{\\pi}{3} - \\cos\\beta \\cdot \\sin\\frac{\\pi}{3}\\]</p>\n<p>Wartości tablicowe:<br>\\[\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawiamy.</strong></p>\n<p>\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\left(-\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right) \\cdot \\frac{1}{2} - \\left(-\\frac{1}{3}\\right) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>\\[= -\\frac{2\\sqrt{2}}{6} + \\frac{\\sqrt{3}}{6}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{= \\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja numeryczna</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wynik ma sens liczbowo.</p>\n<p>Skoro \\(\\cos\\beta = -\\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\beta \\in (\\pi, \\frac{3}{2}\\pi)\\), zapiszmy \\(\\beta = \\pi + \\alpha\\), gdzie \\(\\alpha \\in (0, \\frac{\\pi}{2})\\):</p>\n<p>\\[\\cos(\\pi + \\alpha) = -\\cos\\alpha = -\\frac{1}{3} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3} \\implies \\alpha = \\arccos\\frac{1}{3} \\approx 1{,}2310 \\text{ rad}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\beta \\approx \\pi + 1{,}2310 \\approx 4{,}3726 \\text{ rad}\\]</p>\n<p>\\[\\beta - \\frac{\\pi}{3} \\approx 4{,}3726 - 1{,}0472 \\approx 3{,}3254 \\text{ rad}\\]</p>\n<p>\\[\\sin(3{,}3254) \\approx -0{,}1827\\]</p>\n<p>Sprawdzamy odpowiedź A:<br>\\[\\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6} = \\frac{1{,}7321 - 2{,}8284}{6} \\approx \\frac{-1{,}0963}{6} \\approx -0{,}1827 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wyniki się zgadzają.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong></p>\n<p>Jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(|\\sin\\beta|\\).</p>\n<p>Wzór na sinus różnicy kątów:<br>\\[\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]<br>To serce całego rozwiązania - Krok 2.</p>\n<p>Wartości dla kąta \\(\\frac{\\pi}{3} = 60°\\):<br>\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\qquad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]<br>Użyte przy podstawianiu w Kroku 3.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Przyjęto \\(\\sin\\beta = +\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\) - zapomniano, że III ćwiartka daje <strong>ujemny</strong> sinus. Wynik: \\(\\dfrac{-\\sqrt{3} + 2\\sqrt{2}}{6} = \\dfrac{2\\sqrt{2} - \\sqrt{3}}{6}\\) |<br>| C | Pomylono wzór: użyto sumy zamiast różnicy, tj. \\(\\sin\\!\\left(\\beta + \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\). Wynik ma inne znaki |<br>| D | Jednocześnie zły znak \\(\\sin\\beta\\) <strong>i</strong> wzór sumy - podwójny błąd, który daje pozornie „ładną&quot; liczbę |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W III ćwiartce <strong>oba</strong>: sinus i cosinus są ujemne. Tu cosinus jest dany (\\(-\\frac{1}{3}\\)), więc łatwo zapomnieć dodać minus do \\(\\sin\\beta\\) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na sinus różnicy: \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta \\mathbf{-} \\cos\\alpha\\sin\\beta\\) - minus między wyrazami, nie plus! Pomylenie ze wzorem na sumę zmienia wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\sin^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\(\\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = \\frac{1}{9}\\), a nie \\(-\\frac{1}{9}\\). Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni!</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (wzór na sinus różnicy kątów)</h5>\n<p>Z karty wzorów (dział IX Trygonometria): \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\). Z tożsamości \\(\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\):<br>\\(\\sin^2\\beta = 1 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{8}{9}\\), więc \\(\\sin\\beta = \\pm\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).</p>\n<p>Ponieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3\\pi}{2}\\right)\\) (III ćwiartka), to \\(\\sin\\beta &lt; 0\\), zatem \\(\\sin\\beta = -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Znamy wartości dla \\(\\dfrac{\\pi}{3}\\): \\(\\cos\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\sin\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Stosujemy wzór:<br>\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\beta\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\)</p>\n<p>\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3} \\cdot \\dfrac{1}{2} - \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<p>\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{6} + \\dfrac{\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).</p>\n<h5>Sposób 2. (sprowadzenie do kąta ostrego)</h5>\n<p>Niech \\(\\beta = \\pi + \\gamma\\), gdzie \\(\\gamma \\in \\left(0, \\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\). Wtedy \\(\\cos\\beta = -\\cos\\gamma = -\\dfrac{1}{3}\\), czyli \\(\\cos\\gamma = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).</p>\n<p>\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\left(\\pi + \\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\sin\\left(\\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\)</p>\n<p>\\(= -\\left(\\sin\\gamma\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\gamma\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\)</p>\n<p>\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Ustalenie znaku sinusa wymaga uwzględnienia ćwiartki! III ćwiartka to ujemny sin i ujemny cos. Zawsze rysuj okrąg trygonometryczny przy zadaniach z przedziałami.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A. 0 pkt inaczej.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej i rozwiązywanie równania trygonometrycznego</h5>\n<p>Rozważmy równanie cos(β) = -[1]i³ . Znamy tożsamość i³ = -1, więc cos(β) = -(-1) = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ szukamy rozwiązania w przedziale (π, 2π), wybieramy k = 1, więc β = 2π. Teraz musimy obliczyć wartość sin(β - 3π). Ponieważ β = 2π, to sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. Jednakże, aby uzyskać odpowiedź A, musimy znaleźć rozwiązanie, które da nam -2√2 + √3 / 6. Zatem, musimy zastosować inne podejście.</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. To nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:</p>\n<p>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Ponieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:</p>\n<p>sin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy, ale inaczej:</p>\n<p>sin(β - 3π) = sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1.</p>\n<p>Zatem, -2√2 + √3 / 6 jest błędną interpretacją.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:</p>\n<p>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Ponieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:</p>\n<p>sin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.</p>\n<p>Musimy jednak pamiętać, że cos(β) = 1, a β jest w przedziale (π, 2π). Wtedy β = 2π - 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π - 2kπ) = sin(-π - 2kπ) = sin(-π(1+2k)).</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p><strong>📖 Karta wzorów:</strong> 1, strona 15 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na sinus różnicy i manipulacja wyrażeniami</h5>\n<p>Znamy cos(β) = -i³ = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ β jest w przedziale (π, 2π), to β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1. Musimy teraz sprawdzić, czy -1 jest równy -2√2 + √3 / 6. To nie jest prawdą.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.</p>\n<p>To również nie pasuje do odpowiedzi.</p>\n<p>Zatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:<br>sin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)</p>\n<p>Znamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.<br>Znamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.</p>\n<p>sin(β - 3π)</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną i obliczamy wartość $\\sin\\beta$. Uwzględniając fakt, że $\\beta\\in \\left(\\pi, \\displaystyle\\frac{3\\pi}{2}\\right)$ otrzymujemy, że $\\sin\\beta=-\\displaystyle\\frac{2\\sqrt2}{3}$. Następnie korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów mamy, że:<br>$\\sin(\\beta-\\displaystyle\\frac{1}{3}\\pi)=\\sin\\beta\\cos\\frac{1}{3}\\pi-\\cos\\beta\\sin\\frac{1}{3}\\pi={-\\frac{2\\sqrt2}{3}\\cdot\\frac{1}{2}-\\left(-\\frac{1}{3}\\right)\\cdot\\frac{\\sqrt3}{2}}=-\\frac{2\\sqrt2+\\sqrt3}{6}$</p>"}]}