{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula\nbiała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.\nRzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę\nz pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym\ndoświadczeniu, jest równe\nA. 5\n14\nB. 9\n14\nC. 5\n7\nD. 6\n7\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nDane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe A. 5/14 B. 9/14 C. 5/7 D. 6/7.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR10.3) korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\frac{5}{14}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym\n\n**Schemat doświadczenia:**\n\nMamy dwa zdarzenia wykluczające się, które \"kierują\" nas do urny:\n- \\(B_1\\) = \"wypadła reszka\" (losujemy z urny 1), \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\)\n- \\(B_2\\) = \"wypadł orzeł\" (losujemy z urny 2), \\(P(B_2) = \\frac{1}{2}\\)\n\n**Prawdopodobieństwa warunkowe wylosowania białej kuli:**\n\n\\[P(A \\mid B_1) = \\frac{1}{7} \\quad \\text{(1 biała spośród 7 kul w urnie 1)}\\]\n\n\\[P(A \\mid B_2) = \\frac{4}{7} \\quad \\text{(4 białe spośród 7 kul w urnie 2)}\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:**\n\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\boxed{\\frac{5}{14}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda drzewa zdarzeń (rozpisanie przypadków)\n\nWyobraź sobie pełne drzewo możliwości:\n\n| Ścieżka | Prawdopodobieństwo |\n| Reszka → biała z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{7} = \\frac{1}{14}\\) |\n| Reszka → czarna z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{6}{7} = \\frac{6}{14}\\) |\n| Orzeł → biała z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{4}{14}\\) |\n| Orzeł → czarna z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{7} = \\frac{3}{14}\\) |\n\n**Sprawdzenie:** Suma wszystkich gałęzi \\(= \\frac{1+6+4+3}{14} = \\frac{14}{14} = 1\\) ✓\n\nZdarzenie \"biała kula\" zachodzi na dwóch ścieżkach:\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\frac{5}{14}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2) + \\ldots + P(A \\mid B_n) \\cdot P(B_n)\\]\nUżyliśmy go dla \\(n = 2\\) (dwie urny, dwie gałęzie monety). To jest dokładnie wzór z karty - warto mieć go przed oczami na egzaminie.\n\n**Dział 14 - Prawdopodobieństwo warunkowe:**\n\\[P(A \\mid B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]\nTutaj korzystaliśmy z tego pojęcia intuicyjnie: \"prawdopodobieństwo białej, **wiedząc**, że jesteśmy w urnie 1 (lub 2)\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Dodanie prawdopodobieństw bez ważenia monetą: \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7} = \\frac{5}{7}\\) - zapomnienie, że każda ścieżka ma wagę \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| C | Wzięcie tylko jednej urny (np. tylko urny 2): \\(\\frac{4}{7}\\), albo uśrednienie \"na oko\" \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| D | Np. policzenie \\(\\frac{1+4}{7+7} = \\frac{5}{14}\\) to akurat daje dobry wynik, ale tylko **przypadkowo** - bo obie urny mają tyle samo kul i moneta jest symetryczna. W ogólnym przypadku taki skrót jest błędny! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie mnożenia przez \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\) - uczniowie piszą \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7}\\) zamiast \\(\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\). Moneta \"waży\" każdą urnę - bez niej liczymy tak, jakbyśmy na pewno użyli obu urn naraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat \"moneta → urna → kula\" to klasyczny schemat zdarzeń zależnych. Zawsze rysuj drzewo - pomaga uniknąć pominięcia gałęzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skrót \\(\\frac{\\text{suma białych}}{\\text{suma wszystkich}}\\) zadziałał tu przypadkowo (bo obie urny mają po 7 kul i moneta jest sprawiedliwa). Gdyby urny miały różną liczbę kul lub moneta była niesymetryczna - ten skrót dałby zły wynik!\n\n### Sposób 1. (twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym)\n\nNiech \\(B\\) - zdarzenie: wylosowano kulę białą, \\(R\\) - wypadła reszka, \\(\\overline{R}\\) - orzeł.\n\nZ karty wzorów (dział XI Rachunek prawdopodobieństwa), twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:\n\\(P(B) = P(B|R)\\cdot P(R) + P(B|\\overline{R})\\cdot P(\\overline{R})\\)\n\nObliczamy składowe:\n- \\(P(R) = P(\\overline{R}) = \\dfrac{1}{2}\\) (symetryczna moneta)\n- \\(P(B|R) = \\dfrac{1}{7}\\) (1 biała na 7 w urnie I)\n- \\(P(B|\\overline{R}) = \\dfrac{4}{7}\\) (4 białe na 7 w urnie II)\n\nZatem: \\(P(B) = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{4}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\n### Sposób 2. (drzewo stochastyczne)\n\nGałęzie drzewa:\n- \\(R \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{1}{14}\\)\n- \\(\\overline{R} \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{14}\\)\n\nSumując gałęzie prowadzące do \"białej\": \\(P(B) = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\n**Trik:** W zadaniach z \"dwuetapowym losowaniem\" (warunek + losowanie) zawsze stosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Drzewko stochastyczne to ten sam wzór tylko graficznie.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza prawdopodobieństwa\nW tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.\n\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):** W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):** W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).\n\nPonieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jako:\n\n\\(P(\\text{biała kula}) = P(\\text{reszka}) \\cdot P(\\text{biała z pierwszej urny}) + P(\\text{orzeł}) \\cdot P(\\text{biała z drugiej urny})\\)\n\n\\(P(\\text{biała kula}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)\n\nTo jest błędne obliczenie. Musimy wziąć pod uwagę, że w przypadku reszki losujemy z pierwszej urny, a w przypadku orła z drugiej.\n\nP(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112.\n\nTo nie jest poprawna odpowiedź. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, biorąc pod uwagę, że wylosowaliśmy kulę z pierwszej urny, gdy wypadła reszka, i z drugiej urny, gdy wypadł orzeł.\n\nP(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w każdym przypadku i je zsumować.\n\nP(biała | reszka) = 1/8\nP(biała | orzeł) = 4/7\n\nP(biała) = P(biała | reszka) * P(reszka) + P(biała | orzeł) * P(orzeł)\nP(biała) = (1/8) * (1/2) + (4/7) * (1/2) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 2: Analiza prawdopodobieństwa (poprawna)\nW tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.\n\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):** W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):** W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).\n\nPonieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:\n\n\\(P(\\text{biała}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula<br>biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.<br>Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę<br>z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym<br>doświadczeniu, jest równe<br>A. 5<br>14<br>B. 9<br>14<br>C. 5<br>7<br>D. 6<br>7</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe A. 5/14 B. 9/14 C. 5/7 D. 6/7.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymagania ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R10.3) korzysta z twierdzenia<br>o prawdopodobieństwie całkowitym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>ZADANIE OTWARTE (KODOWANE)</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\frac{5}{14}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym</h4>\n<p><strong>Schemat doświadczenia:</strong></p>\n<p>Mamy dwa zdarzenia wykluczające się, które &quot;kierują&quot; nas do urny:</p>\n<ul><li>\\(B_1\\) = &quot;wypadła reszka&quot; (losujemy z urny 1), \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\)</li><li>\\(B_2\\) = &quot;wypadł orzeł&quot; (losujemy z urny 2), \\(P(B_2) = \\frac{1}{2}\\)</li></ul>\n<p><strong>Prawdopodobieństwa warunkowe wylosowania białej kuli:</strong></p>\n<p>\\[P(A \\mid B_1) = \\frac{1}{7} \\quad \\text{(1 biała spośród 7 kul w urnie 1)}\\]</p>\n<p>\\[P(A \\mid B_2) = \\frac{4}{7} \\quad \\text{(4 białe spośród 7 kul w urnie 2)}\\]</p>\n<p><strong>Stosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:</strong></p>\n<p>\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\boxed{\\frac{5}{14}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda drzewa zdarzeń (rozpisanie przypadków)</h4>\n<p>Wyobraź sobie pełne drzewo możliwości:</p>\n<p>| Ścieżka | Prawdopodobieństwo |<br>| Reszka → biała z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{7} = \\frac{1}{14}\\) |<br>| Reszka → czarna z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{6}{7} = \\frac{6}{14}\\) |<br>| Orzeł → biała z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{4}{14}\\) |<br>| Orzeł → czarna z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{7} = \\frac{3}{14}\\) |</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> Suma wszystkich gałęzi \\(= \\frac{1+6+4+3}{14} = \\frac{14}{14} = 1\\) ✓</p>\n<p>Zdarzenie &quot;biała kula&quot; zachodzi na dwóch ścieżkach:</p>\n<p>\\[P(\\text{biała}) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\frac{5}{14}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:<br>\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2) + \\ldots + P(A \\mid B_n) \\cdot P(B_n)\\]<br>Użyliśmy go dla \\(n = 2\\) (dwie urny, dwie gałęzie monety). To jest dokładnie wzór z karty - warto mieć go przed oczami na egzaminie.</p>\n<p><strong>Dział 14 - Prawdopodobieństwo warunkowe:</strong><br>\\[P(A \\mid B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]<br>Tutaj korzystaliśmy z tego pojęcia intuicyjnie: &quot;prawdopodobieństwo białej, <strong>wiedząc</strong>, że jesteśmy w urnie 1 (lub 2)&quot;.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Dodanie prawdopodobieństw bez ważenia monetą: \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7} = \\frac{5}{7}\\) - zapomnienie, że każda ścieżka ma wagę \\(\\frac{1}{2}\\) |<br>| C | Wzięcie tylko jednej urny (np. tylko urny 2): \\(\\frac{4}{7}\\), albo uśrednienie &quot;na oko&quot; \\(\\frac{1}{2}\\) |<br>| D | Np. policzenie \\(\\frac{1+4}{7+7} = \\frac{5}{14}\\) to akurat daje dobry wynik, ale tylko <strong>przypadkowo</strong> - bo obie urny mają tyle samo kul i moneta jest symetryczna. W ogólnym przypadku taki skrót jest błędny! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie mnożenia przez \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\) - uczniowie piszą \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7}\\) zamiast \\(\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\). Moneta &quot;waży&quot; każdą urnę - bez niej liczymy tak, jakbyśmy na pewno użyli obu urn naraz.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Schemat &quot;moneta → urna → kula&quot; to klasyczny schemat zdarzeń zależnych. Zawsze rysuj drzewo - pomaga uniknąć pominięcia gałęzi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skrót \\(\\frac{\\text{suma białych}}{\\text{suma wszystkich}}\\) zadziałał tu przypadkowo (bo obie urny mają po 7 kul i moneta jest sprawiedliwa). Gdyby urny miały różną liczbę kul lub moneta była niesymetryczna - ten skrót dałby zły wynik!</blockquote>\n<h5>Sposób 1. (twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym)</h5>\n<p>Niech \\(B\\) - zdarzenie: wylosowano kulę białą, \\(R\\) - wypadła reszka, \\(\\overline{R}\\) - orzeł.</p>\n<p>Z karty wzorów (dział XI Rachunek prawdopodobieństwa), twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:<br>\\(P(B) = P(B|R)\\cdot P(R) + P(B|\\overline{R})\\cdot P(\\overline{R})\\)</p>\n<p>Obliczamy składowe:</p>\n<ul><li>\\(P(R) = P(\\overline{R}) = \\dfrac{1}{2}\\) (symetryczna moneta)</li><li>\\(P(B|R) = \\dfrac{1}{7}\\) (1 biała na 7 w urnie I)</li><li>\\(P(B|\\overline{R}) = \\dfrac{4}{7}\\) (4 białe na 7 w urnie II)</li></ul>\n<p>Zatem: \\(P(B) = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{4}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).</p>\n<h5>Sposób 2. (drzewo stochastyczne)</h5>\n<p>Gałęzie drzewa:</p>\n<ul><li>\\(R \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{1}{14}\\)</li><li>\\(\\overline{R} \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{14}\\)</li></ul>\n<p>Sumując gałęzie prowadzące do &quot;białej&quot;: \\(P(B) = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> W zadaniach z &quot;dwuetapowym losowaniem&quot; (warunek + losowanie) zawsze stosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Drzewko stochastyczne to ten sam wzór tylko graficznie.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza prawdopodobieństwa</h5>\n<p>W tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.</p>\n<ul><li><strong>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):</strong> W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).</li><li><strong>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):</strong> W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).</li></ul>\n<p>Ponieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jako:</p>\n<p>\\(P(\\text{biała kula}) = P(\\text{reszka}) \\cdot P(\\text{biała z pierwszej urny}) + P(\\text{orzeł}) \\cdot P(\\text{biała z drugiej urny})\\)</p>\n<p>\\(P(\\text{biała kula}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)</p>\n<p>To jest błędne obliczenie. Musimy wziąć pod uwagę, że w przypadku reszki losujemy z pierwszej urny, a w przypadku orła z drugiej.</p>\n<p>P(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)<br>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112.</p>\n<p>To nie jest poprawna odpowiedź. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, biorąc pod uwagę, że wylosowaliśmy kulę z pierwszej urny, gdy wypadła reszka, i z drugiej urny, gdy wypadł orzeł.</p>\n<p>P(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)<br>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112</p>\n<p>To jest nadal błędne. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w każdym przypadku i je zsumować.</p>\n<p>P(biała | reszka) = 1/8<br>P(biała | orzeł) = 4/7</p>\n<p>P(biała) = P(biała | reszka) * P(reszka) + P(biała | orzeł) * P(orzeł)<br>P(biała) = (1/8) * (1/2) + (4/7) * (1/2) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112</p>\n<p>To jest nadal błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest nadal błędne.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 2: Analiza prawdopodobieństwa (poprawna)</h5>\n<p>W tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.</p>\n<ul><li><strong>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):</strong> W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).</li><li><strong>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):</strong> W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).</li></ul>\n<p>Ponieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:</p>\n<p>\\(P(\\text{biała}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112</p>\n<p>To jest błędne.</p>\n<p>P(biała) = (1/2) * (1/8</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wybór urny, z której losujemy kulę zależy od wyniku rzutu monetą, zatem stosujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite i otrzymujemy:<br>${\\displaystyle\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{7} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{5}{14}}$.</p>"}]}